Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Мы получаем возможность сослаться на теорему 7 и' 435 и тем докажем и самос сушествованые производной от 1п [Г(х) ~, а следовательно, и от Г(х) и т. д. Прибавляя к правой части полученной формулы ряд !+ Я ( — — )=0, можно привести ее к виду: --с+ ~( — — — ). Легко убедиться в существовании для функции Г(х) производных всех порядков. 442. Метод иосведоватевьвых вриблвкеинй в теории неявных функций. Для того чтобы показать в действии теорию функциональных рядов (ины послсдовательыостсй), рассмотрим вновь вопрос о существовании»неявных» функпнй [206 и следф Ограничимся для простоты случаем одного уравнеыия: (7) Р(х, у)=0, из которого у подлежит определению, как однозначная функция от х. На этот раз мы прибегнем к методу ноеледовательных нриблюкений, который лозвотп ыам не только установить существование этой фуыкцни, но и дать указаны относительно ее фактического вычисления.
Пусть (йункыия Р(х, у) неярерывна, вместе со своей нроизводной еЯх, у) в некотором каадрате со=[к» А х» Ь А1 У» г( У»+г)1 с Веюнром в точке (хн у»), нричем Р(х», у»)-0, но е»(х», у»)нб, (8) Тогда уравнение (7) в окрестности точки (хь, у») онределяет у как однозначную и непрерывную 4»линию от х, которая лри х х» оброк»автол в у». Нам удобнее рассмотреть сначала частный случай, когда уравнение (7) имеет форму у=у»+9(х, «), (7») где фувкцин р вместе с Ч»» удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что н е, ыо с замеыой условий (8) следующими: (8») р(хм у»)-0, [Ф „,уь)[ 1.
Ввиду непрерывности производной мы можем с самого начала считать область ой) настолько малой, чтобы в се пределах вообще было (9) [ч»»(х, у)! 1, где 2 есть некоторая постоянная, меньшая единицы. Затем, сохраняя промежуток нзменеыия переменной у, нам придется еще сжать промежуток изменения переменной х, заменив его столь малым промежутком [х, — д„х,+д), чтобы 44г) 475 Ф 3.
Пвиложвния в его пределах непрерывная функция от х: 1а(х, у,), которая обращается в 0 прн х = х„удовлетворяла неравенству 1У(х, уо) 1«(1 — 1)а). Таким образом мы подготовили область Габ*= (хо б хо+01 Уо 4 Уа4 а)). (10) к которой н будут относиться наши дальнейшие рассуждения. Подставив в пр аную часть уравнения (7*) вместо у постоянную у„мы получим некоторую функцию от х: Уа = Уа(х) = Уо+(а(х, У,). Аналогично, полагаем последовательно Уа = Уа(х) Уо РР(х, Уа), Уа- Уа(х) Уо+9'(х Уа) Ул=у~(х)=уо+%(х, Ул-а).
У,(х), У,(х), ..., Ул(х), ... и осуществляют последовательные приблюкеиия к искомой функции у(х). Правда, остается еще проверить, что все они не выходят за пределы промежутка (уо - 5, уо-. 'а)1, ибо, если бы каквя-нибудь из пих вышла из этого промежутка, то ее уже нельзя было бы подставлять вместо у в правую часть уравнения (7о). Установим это и нд у к гиви о.
Пусть, скажем, Из (П): Но Первое слагаемое справа преобразуется по теореме о среднем значении, и, на основании (9), 1р(х,у а)-р(х,уа)1 - 1(офх,а)) (у,,-уо)! 1. 5, а второе меньше (1 — 1)5, в силу (10), так что по совокупноспа 1У«-Ы 15+(1-1) 5- 5, что и доказывает наше утверждение. В то же время индуктивно устанавливаетсн, что все построенные указанным путем функции будут непрерывны. Обратимся теперь к вопросу о и р е д е л е для последовательности функций (ул). Удобнее, однако, рассмотреть рцц Уо+ Л(тл Ул — а). л Г (12) Из самого определения нашей последовательности ясно, что Ул-Ул-а "Р(х. Ул-а) — %(х.
Ул-д. Воспользовавшись снова теоремой о среднем и неравенством (9), найцем Ьл-У -а! а1У вЂ”.-1' -Ы. и вообще Эти функции Уо -')~Ул — а'нуа 1' ". Ул Уо=~Р(х Ул — а). !Р(х,у — )~~1Р(х. У вЂ” а)-Р(х, Уа)1+~9(х, УаН. 47б гл. хц. ееункционьльнып цослпдовятвльности и гиды 1442 Отсюда, заменяя л на л-1, на л-2 и т.
д., окончательно получим |Уо — У вЂ” | йе '|У -У |~йа '(1-2) т), ввиду (10). Таким образом, ряд (12) мажорируется геометрической прогрессией (1-Л)И.Д', йе 1 (13) а следовательно, сходится н притом равномерно для всех значений х в промежутке |х,— д, хее-д]. А тогда, по теореме 1 и' 431, и предельная функция у=у(х) = 1пп у (х) будет в указанном промежутке н е и р е р ы в н а. В том, что эта функ"чя удовлетворяет исходному уравнению, легко убедиться переходя к пределу при в равенстве (11).
Остается еще доказать, чта ие существует других значений у, кроме доставляемых ею, которые удовлетворили бы уравнению (7"). В самом деле, если бы, при некотором х, наряду с (7') имели У=хоей(х, У), то, вычитая и оценявая разность значений (о, как обычно, получилн бы |у-У| |Е(х, у) -уе(х, У)| 2 |у-у|, что невозможно, если уву.
Отсюда уже вьпекает, что У(хе) Уо1 Г(х, у) У Уо< [У Уо , 1 по(хо, Уе)1 который отождествляется с (7*), асли положить г(х, у) (е(х У) У Уе иу(ко Уо) Эта функщи удовлетворяет требованиям (8о), в частности второму из них, потому что (о (х„уе) оказывае~с~ Ра~~ой О.
Как уже упоминалась, изложенный процесс облегчает и фактическое вычисление искомой функции у(х) по приблнжению. Погрепщость от замены у(х) на у„(х) легко оценивается, так как остаток ряда (12) после л-го члена мажорируется соответствующим остатком геометрвческой прогрессяи (13). Отсюда и получается: |у(х)-у„(х)| Л.)е (л=1, 2, 3, ...). Весьма поучительно сопоставление доказательства теоремы о нежепой функцви в 206 и только что проведенного.
Там мы имели дело с чистым едоказательством существовавияо, здесь же — с п о с т р о е н и е м искомою объекта. это, впрочем, пепосрецственно ясно и из того, что все у„(х,) = у,. Теорема — в рассматриваемом частном случае — доказана. Общий случай легко приводится к частному; именно, уравнение (7) можно перелисать в виде 477 1 з. плиложнния Подобаым же образом могут быть эффективно доказаны н общие теоремы и' 208.
Мы ограничились простейшим случаем, чтобы лучше выявить идею метода. 443. Алялятяческое опредеаелае трягономегрлческях фуякцнй. Читатель видел, какую важную роль в анализе играют тригонометрические фушщнн. Между тем вводятся онн на осноае чисто геометрических соображений, анализу совершенно чуждых. Поэтому приобретает принцнпнальную важность вопрос о возможности определения трвгонометрнческнх фуюсцнй и нзучения нк основных свойств средствами самого анализа.
Бесконечные ряды как раз н есть то орудие, с помощью которого все это может быть осуществлено, н мы посвятим этот л' изучению тригонометрических функций по нл аналитическому определению, в качестве нового примера приложения изложенной выше теории. Итак, рассмотрим две функплн С(х) и б(х), форьшльно определяемые для всех вещественльзк значений х всюду сходящимися рядами: С(х-~у)= С(х) С(у) — о(х) Б(у), б(х 1-у) 5(х) С(у) ЬС(х) 5(у), (14) (15) справедливые прн всех значениях х н у. Продолжим исследование свойств функций С(х) н 5(х). Заменяя х на -лт сразу усматрняаем, что С(х) есть функция четная, а 5(х) — нечетная, С(-х)- С(х), Я-х)= — 3(х).
Полагая же х= О, найдем, что С(0) = 1, з(0) = О. Если теперь, сохраняя х произвольным, положить в (14) у= -х, то — с учетом только что установленных равенств — получнм соотношение, алгебраическл связывающее обе функции С'(х) 4 бл(х) - 1. (16) Легко получить и формулы удвоеявя ллн депеши пополам аргумента.
Из теоремы 2*, 437 и 9', 438 заключаем, что обе функции С(х) и Я(х) не только непрерывны, но и имеют производные всех порядков. В частности, применив к рядам, определяющим наши функции, почленыое дифференцирование 8', 438 легко убеднмся в том, что С'(х) = — б(х), У'(х) = С(х). (17) Все этл свойства, как видим, устанавливаются легко. Несколько ббльшнк усилий требует доказательство иеря оди ч ности рассматриваемых функций, к чему мы теперь обратимся. Установим сначала, что в промежутке (О, 2) существует, и притом единственный, корень функции С(х).
В самом деле, мы знаем, что С(0) 1. Значение же С(2) можно ни в какой мере ве отождествляя их покуда с ранее известными нам функциями соз х и в(п х. Мы уже имели однажды дело с так определенными фупкциямн 1390, 7)); с помощью умножения раков, как там указывалось, для нлл можно установить две основные формулы: 478 гл, н!!.
фуннцноняльнын послндовятнльыооти н виды (443 написать в следующем виде (отделив первые три члена соответствуюшего ряда, а остальные члены объединив попарно): 2' гт (2' 2П С(г) =1- — ь-- ~ — --) - .. 2! 4! (6! 8!~ Так как все скобки положительны: гзл ггя+з гзл ~ 2.2 2л! (глч-2)! 2л! ( (2л+1)(2лт2)) 1 1 а сумма первых трех членов дает --, то С(2) --, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
