Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ь 1. е> нкционьльныа свонствя сьммы гядк 439 4ЗЗ1 Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и р а в >со- м е р н о сходится ряд, составленный из производных: ,л и„'(х) = и,'(х) > из(х) ь... -> и„'(х) + . л=1 (24) то и сумма у(х) ряда (3) имеет в ь' производну>о, причем > '(х) =- ~и„(х). л 1 (25) х ()1 (с) й= Я ~и(с) дс. а л-'а Но, очевидно, ~ и„(С) й = ил(х) - и„(а), так что а х у а(С) Й =.г,'(и„(х) — ил(а)) = ~и„(х) — ~и„(а) =ях) -яа). л=1 л 1 л 1 а [Это преобразование оправдано наперед известной ох одимос т ь ю РЯдов Д'и„(х) н ~ил(а); см.
Зб4, 4а.1 Так как интегРал слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную у'а(х) (305, 12'), то ту же производную имеет и функция з'(х), которая от интеграла отличается лишь на постоянную. Равенство (2эз можно переписать (если воспользоваться, следуя Коши, обозначением 4> для производной) в виде Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустилсо п о ч л е н н о е дифференцирование ряда.
Доказательство. Обозначим через за(х) сумму ряда (24); ввиду теоремы 1, это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 5, проинтегрируем ряд (24) почленно в промежутке от а до произвольного значения х из ь; мы получим 440 гл. хп. ФуйкЦиОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОЕАТЕЛЕНОСТН И Ряды [43$ Рассмотрим ряды ~ [Л-(л — 1)х — Л-л'Н] л=1 1 11 1 — 1и (! +х') Р,у', ~ — 1и (1+ л'х') - 1н (1+(л — 1)'х') ~ . 2 л=я 2л 2(л — 1) Теорема 7 может быть освобождена от некоторых лишних предположений ценою небольшого усложнения доказательства.
Теорема 8. Пусть функции и„(х) (и = 1, 2, 3,... ) определены в промежутке К=[а, [1) и имеют в нем конечные производные и„'(х). Если ряд (3) сходится хоть в одной точке, например при х=а, а ряд (24), составленный из производных, р а в н о м е р н о сходится во всем промежутке л', то тогда [) ряд (3) сходюпся равномерно во всем промежутке и 2) его сулгма г'(х) имеет в Х производную, выражаемую равенством (25). Доказательство. Возьмем в промежутке [а„[1) две различные точки хл н х н составим ряд ~, ил(х) -ил(хл) х — хл (26) Мы докажем, что прн любом фиксированном х, этот ряд сходится для всех хм хе и притом р а в н о м е р н о относительно х.
С этой целью, задавшись произвольным числом е О, ввиду р а в- номе р н о й сходимостн ряда (24), найдем такой номер ][г, что прн и .]1[ н т=1,2, 3,... неравенство лчл и„(х) е (27) я=я+1 выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент и н т, рассмотрим функцию я+а П(х) = г' ия(х)1 1 я+1 ее производная У'(х) = ~ ия(х), я=я+1 Первый иэ них сводится к О прн х О и к 1 в остальных точках, я сумма второго везде равна О.
Рслн проднфференинровать нх почленно, то получатся уже энакомью нам ряды (15) [431[, сходящиеся во всем промежутке [О, 1] к О, но оба н еравномерно. В первом случае ряд нз производных сходится н прн х=о, где сумма первоначального ряда прОНЗВОдной ИмЕ1Ь НЕ МОжЕт, нбо рязрывня в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное днффере1щнрояаине повсюду приводит к яериому результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования,чтобы рядпронэводныхсходился ран но мерно: оно суще с твен н о, ио не необходимо.
4361 1 а ФункциОнАльные свОистеА суммы РядА в силу (27), по абсолютной величине всегда и. Но, очевидно, "~+ и„(х) — и„(хо) у(х) — П(х„) 1=,Ф1 Х ХО Х ХО где с содержится между х и х (по теореме Лагранжа, 1121. По- этому, окончательно, для всех хмхо и„(х) — и„(х,) 1= оч1 Х ХО так ьак это неравенство имеет место, лишь только и Л1, каково бы ни было т=1,2, 3, ..., то равномерная сходимость ряда (26) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения. Прежде всего, взяв х =а, из равномерной сходимости ряда ~ и~(х) — и„(а) х-а а с ним и ~(и„(х) — и,(а)) о=1 (см. следствие и' 429], и из сходимости ряда ~и„(а) заключаем о равномерной же сходимости ряда Р'и„(х).
о ! Если через ('(х) обозначить его сумму, то суммой ряда (26), где х есть снова любое значение х в промежутке (а, Ь), — очевидно, буях) — у(а) дет — . Так как в равномерно сходящемся ряде можно перех-а ходить к пределу п о член но (по теореме 4), то, устремляя х к х, получим: Замечание. Все эти теоремы о почленном предельном переходе, почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями,вхарактеристикекоторых равномерная с ходим ость занимает исключительное место. 436.
Точка зрения последовательности. Представляет интерес перефразировать полученные результаты с точки зрения последовательности функций. Это позволит отчетливо поставить в связь рассматриваемые вопросы с общим вопросом о перестановке двух предельных процессов, который играет столь важную роль 7'(хо) = 1ип — — — = ~ ~ 1ип — — = ~ = и,'(хо), ч.
и тр. д. У(х) - /(хо) " ! . ио(х) — ио(хо)1 х х, х хо о=! х х, х хо 1 о 1 442 ГЛ. ХП. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [436 во всем анализе. С другой стороны, наметится и путь к обобщению этих результатов. Итак, мы снова сопоставляем последовательность функций (1) и функциональный ряд (3), считая, что они связаны соотношениями: Ях) = ~ ик(х) (и = 1, 2, 3, ...) или равносильными им: и(х) = лд(х), ™„(х) =ли(х) -ли-,(х) (п = 2, 3, ...). Предельная функция для последовательности есть то же, что и сумма соответствующего ряда. Равномерная сходимость может иметь место лишь одновременно и для последовательности, и для ряда. 1. Рассмотрим сначала вопрос о и р е д е л е упомянутой предельной функции. Пусть множество Ф =(х), в котором определены все рассматриваемые функции, имеет точкой сгущения а.
Тогда теорема 4 и 433 перефразируется так: Теорелаа 4". Если каункиии ['„(х) имеют пределы 1пп Ях)=Дх) (х из л,) (28) 1пп 1'и(х) = С„(и = 1, 2, 3,, ), и а (29) к пределу происходит р а в н осуи[ествуют оба конечных пре- причем в первом случае стремление мерно относительно х (в Х), то дела [пп Дх) и 1пп С„, л которые равны между собой. Равенство 1! пДх) =!НпС„, и а Л если принять во внимание (28) и (29), может быть переписано так; 1пп!Нп 1'„(х) = 1пп 1ппУ'„(х). и-а и п и а Таким образом, рассматриваемая теорема устанавливает для функции Ях) от двух переменных, х и п, условия существования и равенства двух повторных пределов и непосредственно примыкает к исследованиям и' 168. Предоставляем читателю перефразировать для последовательностей и две теоремы и' 431. 436! Ь 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА ~ Дх) аьх = 1пп ~ Ях) ах. а а Последнее равенство перепишем в виде: ь ь !Нп [Ях)ььх= [ (йш У'„(х)) дх, и и а а (30) так по предел, относяюийся к интегралу, оказывается возможным отнести непосредственно к подинтегральной функции. В этом случае говорят, что допустйм предельный переход под знаком интеграла. В равенстве (30) переставляются знаки предела н интеграл а. Так как определенный интеграл также получается в результате некоего предельного процесса, то рассматриваемый здесь вопрос оказывается родственным тому, который изучался в 168.
П1. Наконец, перейдем к вопросу о производной предельной функции. Перефразируем теорему 8 [435): Теорема 8*. Пусть все функции Ях) диффереицируемы в промежутке [а, Ь), и иоследователвноств производнввх (Д(х)) сходится во веем промежутке, р а в н ам ер и о относительно х.
Если известно, что последовательность функций (Ях)) сходится хоть в одной точке промежутка [а, Ь), то можно утверждать, что 1) зта последовательноппв сходится во всем промежутке, и дазке рави омер и о, 2) предельная функция Дх) дифференцируема, причем Г(х) = !Нп г„'(х). и Если переписать это равенство более выразительно: зз(!ппЯх)) = !Нп (ЮЯх)), то сразу станет ясно, что речь идет о перестановке знаков п р е д е л а н производной. Так как производная также есть предел, то и этот вопрос связан с перестановкой двух предельных переходов.
В заключение заметим следуюшее. Если стоять на точке зрения бесконечного ряда, то натуральный параметр п, естественно, не мо- !1. Теперь пусть область ьв представляет собой промежуток [а, Ь), и рассмотрим вопрос об интеграле предельной функции. Вот аналог теоремы 6 [434); Теорема 6*. Если последовательность ( Ях)) состоит из функций, интегрируемых в промежутке [а, Ь), и сходится к своей предельной функции Дх) равномерно относительно х в [а„Ь), то функция Лх) будет иитегрируема в [а, Ь), причем 444 гл.
хп. эзнкцноньльныв последовктвльностн и гяды 1437 жет быть заменен более общим. Иначе обстоит дело, если речь идез о последовательности функций. Здесь функция Д„(х) может быть заменена функцией 1(х, у) от двух переменных, где у изменяется в произвольной области л=[у), имеющей точкой сгущения число у„(конечное или нет).
Предельный переход при и заменяется предельным переходом при у уь. Формулировка и доказательство теорем, относящихся к этому общему случаю, не представляют трудности. К некоторым нз этих обобщений мы вернемся ниже, в главе Х!Ч. 437. Непрерывность суммы степенного ряда. Важнейшим примером применения всей изложенной теории является изучение свойств с т епенных рядов. Мы ограничимся степенными рядами вида Уа„Х =аь-~.а,Х-ЬакХЗ4... ча,Х" ь=ь (31) нбо, как мы видели в 403. ряды более общего вида „л,а„(х — х„)" = аь -ь а,(х — хь) 4 аз(х — хь)', . --. 'а„(х — хь)" - ... (31") п=0 непосредственно приводятся к виду (31) простой заменой переменной.
Пусть ряд (31) имеет радиус ох од им ости Я О [379). Прежде всего, можно утверждать: 1'. 1(акое бы положительное число г. Я ни взять, ряд (31) будет сходиться р а в и о м е р н о относительно х в залскнутом промежутке [ — г, г). Действительно, так как г. Я, то прн х=г ряд (31) сходится а бсолютно, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
