Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Пусть теперь 4) Ях) = — или 1 5) !'(х) = 2лзх. е л'"' Невозможность равномерного приближения в [О, 1) к предельной функции, которая для х ~0 в обоих случаях равна О, следует из того, что, соответственно или Рис. 60 Во втором случае высота го рб о в, которые мешают равномерному стремлению к О, вдобавок еще бесконечно возрастает. Покажем на примерах функций х и — еще другой путь для 1 исследования вопроса. Неравенства !них 1 Х" «.и И е !+ их равносильны, соответственно, таким: !а В 1 /1 л= — и л. — ~ — — 1) (О х<1; 0«-В 1). 1ах х~ Так как выражения справа неограниченно возрастают, первое — при приближении х к 1, а второе — при приближении х к О, то ясно, что никакой номер л сразу при всех значениях х этим неравенствам удовлетворить не может.
Перенесем теперь все сказанное выше о сходимости функций на случай функционального ряда (3). Предполагая ряд с х о д я щ и м с я, введем в рассмотрение его сумму !'(х), частичную сумму 1'„(х) [см. (4)! и, наконец, его остаток после л-го члена Тп(х) = 2;" их(к) =-Лх) — Х'(х). В=и+1 424 ГЛ. ХП. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 1428 При любом фиксированном х 1гшЯх)«Дх) и 1[ш р,(х)=0.
Если частичная сумма у'„(х) стремится к сумме ряда Дх) р а в н ам е р н о относительно х в области л (или, что то же, остаток рлда у„(х) р а в н о м е р н о стремится к О], то говорят, что рлд (3) р а яном ер но сходитсл в этой области. Это определение, очевидно, равносильно следующему: Ряд (3), сходящийся для всех х из области л', называется р а в н ам ер н о сходлщимся в этой области; если дия каждого числа вы0 существует такой независящий от х номер 11г, что при п )у неравенство фх) — Ях)! «в или /ср„(х)( в (6) выполнлется одновременно для всех х из!ь". Примеры равномерно н неравномерно сходящихся рядов, конечно, можно составить, преобразовав приведенные выше примеры последовательностей.
Мы присоединим к ним еще несколько новых примеров. б) Рассмотрим прогрессию ~ х" ', опа сходится в открытом промежутке п ! Ю-(-1,!). Для любого х нз Л остаток после л-го члена имеет вил: ха 9'л(х)" — — ° 1 — х Если и произвольно фикса ровать, то очевядно: 1 1пп )р„(х)1 —, 1пп е„(х) х»-!+в 2 х т-е И то, и другое доказывает, что осуществить для всех х од повременя о неравенство 1) ~р„(х) ~ е (если е — ! при одном н том же номере я невозможно.
Сходимость прогрессии в промежутке (-1, 1) н е р а в и о м е р и а; это же относится к промежуткам ( — 1, 01 и [О, 1) по отдельности. ( !)л-1 7) Ряд ~ при любом значении х нз Л (-, + ) сходится, ибо х'+ л он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница [881). По замечанию, сде- * Понятие равномерной сходимостн ряда было введено в науку одновременно (в!848 г.) 3 ай дел ем (Рп. 1.. ч. нейе!) н Сто к сом (П. С. 81окез), но еще до них примещщось не не р щтр ассо м на его лекциях. 425 4291 1 ь РАВнОмеРнАя сходимост! ланному после доказательства теоремы, остаток ряда опенивается, по абсолют- ной величине, своим первым членом: 1 ! )рл(х) [ а х'+лч1 л+1 Отсюда ясно, что во всем бесконечном промежутке ряд сходится р а в н о м е р н о. (- 1)" гхз 8) Аналогично, и ряд ~ — сходится равномерно в ГЬ =(-, + ), ! (1+хг)л ибо при хно х' х' 1 [рл[х) [ (1+х')" 1ьлх'+...
л хз Любопытно отметить, что ряд, составленный из абсолютных величин .г —; (1+ х')" хотя и сходится, но неравномерно. Действительно, его остаток, при хно, таков: (! + Хг) л+ г 1 (1+х) * 1 —— 1+ х' при любом фиксированном л он стремится к 1, когда х-О. Замечание. Если в примере 2), вместо промежутка [О, 1], рассмотреть любой промежуток [а, 1], где О а 1, то в нем сходимость уже будет равном е р н о й.
Действительно, для всех хмв лх л 1 Зл(х) = — г 1+ л'х' 1+ в"а' ла' В любом же промежутке [О, а] сходимосп, очевидно, н е р а в н о м е р н а. Таким образом, вокруг точки х = О как бы чсгутпаезсяз свойство неравномерности; назовем ее точкой неравномерности. То же относится и к примерам 4), 5) н 8). Авалогичную роль в примере 3) играет точка х = 1, а в примере 6) — обе точки х= — 1 и х=1. В более сложных случаях точки, неравномерностн могут встречаться в бесковечном количестве.
429. Условие равномернон сяоднмостн. Теорема Б о л ь ц а н о- К о ш и (39), устанавливающая условие существования конечного предела для заданной числовой последовательности (чпринцнп сходимостиь), естественно приводит к следующему условию р а в н о м е р н о й сходнмости для заданной в области л последовательности функций (1): ~7ля того чтобы последовательность (1) 1) имела предельную функ!(ию и 2) сходилась к этой функ!риз р а в и о м е р н о относи!лелька х в области г, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа и О существовал такой не зависящий от х номер Ф, чтобы 426 ГЛ. ХН. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 1429 при и М и любом т= 1,2, 3, ...
неравенство )У,+ (х)-у„(х)( е (7) имело мести для всех х из л одновременно. (Требование это можно кратко сформулировать так: принцип сходимости для последовательности (1) должен осуществляться р а в н омерно для всех х из л'.) Доказательство. Необходимость.
Если последовательность (1) имеет предельную функцию Дх) и сходится к ней р а виомерно в ь, то по заданному е Онайдется не зависящий от х номер Ф, такой, что при н Ф будет для всех х. Аналогично и ~ 7;.Р (х)-З'(х)~ =е (гн=-1, 2, 3, ...), 1 а нз этих обоих неравенств вытекает (7). До с тат о ч н о с ть. Пусть условие, указанное в теореме, выполнено. Тогда, какое бы значение х из Рь ни фиксировать, в лице последовательности (1) мы будем иметь ч и с л о в у ю последовательность, для которой выполняется условие В о л ь ц а н о — К о ш и. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, чем доказано существование для последовательности (1) предельной функции Лх).
Теперь, взяв по произволу н»1У' и х из ь, станем в неравенстве (7) безгранично увеличивать гн (при постоянных н и х). Переходя к пределу, получим: (Дх) -7„(х) ! —.е. Этим устанавливается равномерное стремление З„(х) к з(х). Нетрудно перефразировать доказанное условие для случая функционального ряда: Для того чтобы ряд (3) сходился равномерно в области л, необходимо и достаточно, чгнобы для каждого числа е ~0 существовал такой не зависящий от х номер л7, что при н А1 и любом т= = 1, 2, 3, ... неравенство ! л+т и„(х) = ~и„.Рд(х)-Ри„+я(х), ... +и,в (х)). е (8) «-и+1 имеет место для всех х из Ф одновременно. Отсюда, в частности, вытекает полезное с л е д с т в и е: 4301 427 1 1. РАВномеРнАя схОдимость Если все члены ряда (3), равномерно сходяи7егося в ооласи1и Х, умножить яа одну и тг же 1рункцию о(х), ограиичеииую в ь: 1о(х)( =-М, то равномерная сходимость сохранится.
Для установления на практике равномерной сходимооги конкретных последовательностей нли рядов выведенные условия мало пригодны. С этой целью пользуются — на них же основанными, но более удобными в применении — достаточными признаками, которые формулируются обычно применительно к р ядам. 430. Признака равномерной сходнмостн рядов. Вот простейший н чаще всего применяемый признак: Признак Вейершгирасса.
Если члены сбуик9иоиального ряда (3) > довлетворяют в области Х неравенствам /и,(х)!* с, (и=1,2,3, ...), (9) где сл сУть члены некотоРого сход ли7егосл числового Рида то ряд (3) сходится в Х равномерно. При наличии неравенства (9) говорят, что ряд (3) м аж ор нруется рядом (С), или что (С) служит мажорантным рядом для (3). Действительно, из (9) получаем неравенство (ил~1(Х) Ьи,+ (Л).. ил.„,л(Х)(* Сл.„л-ЛСлЬ1 ... Сл„л, справедливое одновременно для всех х из области Ж. Согласно принципу сходимости, который мы применяем к числовому ряду (С), для любого г.
О найдется такое Ф, что при и 11' правая часть предыдущего неравенства будет уже меньше е, а с нею — и левая, притом для всех х одновременно. Этим, по условию и' 429, наше утверждение доказано. Таким образом, например, в любом промежутке р а в номе р н о сходятся ряды г'а„ып их, г'а„сов их, л=1 " л 1 если только ряд Д' а, сходится абсолютно. Ведь л=1 )а, з1п их) ~ (а„~, )а„сов их(-(а„~, так что роль м а ж о р а н т н о г о здесь играет рял ~~, ~а„~.
л=1 428 !н х!!, езнкционнльныв последовнгеяьности и еяды 14ЗВ Заме ча н не. Каждый равномерно сходя!лайся в Х ряд ~'и„(х) в=! путем расстановки скобок может быть преобразован в ряд, к которому улсе применим признак Вейер !и трасса. Действительно, возьмем какой-нибудь положительный сходящийся ряд ~с„. По числу с, [429] найдется такой номер т„что ~и,+!(х) ь ь-1 ь... +и„(х)! «с, в л! для и. т,. Затем, по числу св найдется такой номер тз»т„что )и„,ьз(х)е... -ьи„(х)( сз в ь для и т„и т.
д. Тогда, группируя члены данного ряда следующим образом: [и,(х) —, ... во,(х)1 в [и,+з(х)+... ь и,(х)) ь [ин,ьз(х)ь....! и,(х)) ь .. получим ряд, члены которого — начиная со второго — по абсолютной величине не превосходят в ь последовательных членов взятого числового ряда. Если к данному ряду (3) признак Вейерштрасса оказался применим, то ряд(3) необходимо абсолютно сходящийся. Больше того, одновременно с рядом (3) будет р а в н о м е р н о сходиться и ряд, составленный нз абсолютных величин его членов: ~ (и„(х)(. (10) Между тем возможны случаи, когда ряд (3) сходится равномерно, будучи не абсолютно сходящимся. Примером этого служит ряд 7) п' 428 (что ряд этот не сходится абсолютно, следует из сравнения с гармоническим рядом).
Возможно даже такое положение вещей, когда ряд (3) сходится абсолютно и равномерно, но ряд (10) все же сходится неравномерно [см. ряд 8) в 428). Подобные случаи заведомо не охватываются признаком Вейерштрасса; для их исследования нужны более тонкие признаки. Сейчас мы установим два признака, относящихся к функциональным рядам вида: ~а„(х) ° Ь„(х) = а,(х) ° Ь,(х) + а,(х) ° Ь,(х) ч ... - а„(х) . Ь„(х) - ..., (й') л=! где а„(х), Ь„(х) (и=1„2, 3,...) суть функции от х в Х.
Мы скопируем эти признаки с признаков Абеля и Дирихле [3841 из теории числовых рядов; у с л о в н о будем называть н их по именам этих ученых. 4301 429 1. РАВВОмеРнАя сходим(1сть Признак Абеля. Пусть ряд Хб„(х) = б1(х) бз(х) ... ь б„(х) —.1 (В) сходи1пся равно, черно в области Л:, а функции а„(х) (ири каждом х) образуют монотонную последовательность и в совокупности — ири любых х и и — ограничены; )а„(х)) =-К. Тогда ряд (И') сходится р а в н о м е р н о в области К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
