Главная » Просмотр файлов » Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2

Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 72

Файл №947424 Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления) 72 страницаФихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424) страница 722013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Достаточность. Допустим теперь, что ряд (3) сходится к своей сумме Дх) квази-равномерно. Задавшись числами а и М', построим промежутки (аь Ь,) и выберем номера л; (1.--1, 2, ..., )г) с указанными в определении свойствами. Возьмем по произволу в л точку х„; пусть она содержится в промежутке (а,„ьч). Как и при доказательстве теоремы 1 !431 (12)1, можем написать ! Дх) — Р(х ) ! з !)Н(х) — ~л<(хч) ! Ф ! Рм(х) ! -1- ! Рл (х ) ! . (12а) При эгоч, очевидно, !(ОФ(хр) ! > если х тоже принадлежит этому промежутку (а,„ЬА), то и !Рм(х) ! Можно найти такое число 6 О, что, при !х — хя! Ь, не только х содеряштся в указанном промежутке, но и первое слагаемое в (12а) справа будет «г, а значит !Дх) -Дхч)! Зг, и непрерывность 3'(х) в точке хч доказана ч.

Из этой теоремы с легкостью выводится теорема Ди ни предыдущего л'. Действительно, если ряд (3) состоит из положительных непрерывных функпий и сходится к непрерывной же сумме, то, как мы видели, сходимость необходимо будет квази-равномерной. Пользуясь тем, что в данном случае остатки р„(х) с возрастанием л убывают, достаточно взять номер )У большим всех и; (1=1, 2, ..., л), чтобы для л )ч" неравенство (б) выполнялось одновременно для всех х из сь: сходимость оказывается равномерной. 433.

Почлепный переход к пределу. Приведем еще одну теорему, которая является обобщением теоремьг !. В ней л =(х) есть и рон 3 в о л ь н о е бесконечное множество, имеющее точку сгущения а (конечную или нет) 152); эта точка сама может и не принадлежать множеству. Теорема 4. Пусть каэкдая из функций и„(х) (и=1, 2, 3,...) определена в области Х и имеет, при стремлении х к а, конечный предел: (1 6) !Нп и„(х) =с„.

а Если ряд (3) в области ь" сходится равномерно, то 1) сходится ряд, составленный из этих пределов: (с) ~с„= С, в=1 " Как читатель заметил, предположение, что все номера и; могут быть выбраны сколь угодно большими, на деле нигде ие используется. 455 4зз1 а 2 ФункциОБАльные сВОйстВА суммы РядА и 2) сумма ряда (3), Ях), также имеет при х а предел, именно: 1нплх) =С. х а (17) До к а за тел ьств о.

Согласно условию равномерной сходимости и' 429, для произвольно взятого а =.0 существует такой номер зу', что при и 2!' и т= 1, 2, 3, ... неравенство (8) выполняется для всех х из ль. Переходя здесь к пределу при х а с учетом (16), найдем, что !Си+! 1 Си+В ! ° ° ° ' Сиз-т~ *»а Вычитая зто равенство почленно из (11), легко получить: )7(х) — С(:)7„'(х)-С„~ е (42„(х)!-ь )у„(.

(18) Ввиду равномерной оходимости ряда (3) и сходимости ряда (С), по любому в 0 можно фиксировать л столь большим, чтобы для всех х из л было: )лр„(х)(»'-, а также (у„~. е. (19) Тэ,к как, очевидно, и и 1нп Ях) = 1нп ~ илл(х) -- ~ сл = С„, и !=1 то — если ограничиться случаем конечного а — найдется такое 6- О, что при ~х-а~ -д будет: !Ях) — С„~ =а (20) Тогда, при указанных значениях х, в силу (18), 119) и (20), будет выполняться неравенство (г(х) — С, 'Зг, что и приводит к (17) *. Равенство (17) можно написать в форме (см.

(16)): 1пп л,"ии(х) = ~ (11пз и„(х)); а и=! и=! х и * Читатель узнает в атом рассужленвн то, которое уже было применена Лля доказательства теоремы !. так что для ряда (С) выполняется условие сходимости 13761. Если С, Си и у„означают, как обычно, его сумму, частичную сумму и остаток, то С=с„-.у„. 436 ~л. кн.

егнкциоььлльныв послвдовлзвльносчи и вялы 1434 таким образом, при наличии равномерной сходимости, предел суммы ряда равен сульме ряда, составленного из пределов ега членов, или, иными словами, в ряде допустим предельный переход п а ч л с н н а. 434. Почленное интегрирование рядов. Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда. Теорема 5. Если 1йункциьь и (х) (и=1, 2, 3, ...) непрерывны в промезкутке К=[а, Ь), и составленный из пих ряд (3) сходится в этель прольезкутке р а в н а ль е р и а, та интеграл апь сульыы з(х) ряда (3) представляется следуьащиль оаразаль: ) Р(х)ьбх= ~ [и„(х)Их=- ь ь ь ь =- ~ иь(х) свахе '[из(х) Их-ь...

~ и„(х) Ихь ... (21) и ь Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду непрерывности функшьй и„(х) и Лх) [431, теорема 1), существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество З'(х) = и,(х)-';иь(х) -' ... ь и„(х) -: у„(х) в пролюжуткс [а, Ь), получим: ь ь ь ь ь ~ ь"(х) с!х= ~ и,(х)ь(хч ~ ььз(х) Йсь.... ~ и„(х) Их '- ) ~р,(х) гХх. Таким образом, суьпиа п членов ряда (21) разнится от интеграла ь ь Лх) ььх дополнительным членом ~ р„(х) ах. Для доказательства раз- О ь поженит (21) нужно лишь установить, что 1пп [у„(х) дх=-О.

(22) В силу равномерной сходимости ряча (3), для любого е О найдется номер рьь такой, что прн п Ж ~ьр„(х)! -.е О 2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОИСГВА СУММЫ РЯДА 437 434! сразу для всех х в рассматриваемом ггромежутке. Тогда для тех же значений п будет: ь о !.. )1рл(х)г(х ~ (гу„(х)(г(х (,Ь-а) г, что и доказывает предельное соотношение (22). Равенство (21) может быть написано в виде ~ ! 2 и„(х)(о(х= Л 1 ~"и„(х) с(х~(, 1 )'г П а так что в случае равномерно сходящегося ряда гавпвграл от сум,ны ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его членов, иди, иными словами, допустимо по ч ленное интегрирование ряда. Кяк и в случае теоремы 1, требование равномерной сходимости сущес г в е н н о для верности разложения (21), т. е.

Не может быть просто опущено, но все же не является необходимым. Ряды (15), рвсслготренньге в 431, как раз и иллюстрируют это обстоятельство. Оба они в промежутке (О, Н сходятся к (гункцни г(х) О неравномерно. Но, интегрируя первый почлепно, мы в качестве суммы ряда интегралов полу гим 1 !нп (!2ях.с — "" г(х=!!щ (1 — е-о) 1, хотя ! Г(х) 1(х=-О; о о о для второго же ряда аналогично найдем 1 1 ях 1п (1-1- л') игл 1 г(х=!пп =О= ) у"(х) Ит. о о Любопвпен пример ряда 1 — 1 — хвхо —... +(-1)"хо+...

(Омгх 1). 1+х Здесь г(х 1 ! =1и 2= 1 — — + — —... 1Чх 2 3 о тяг что ряд м о жн о интегрироввтыючленио, хотя при х=! он и вовсе р ас- ходится. Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требования непрерывности рассматриваемых функций. Теорема 6.

Если функ!Дои ио(х) (и=1, 2, 3, ...) интегрирувмы * в промелгсутке д = (а, (г], и составленный из них ряд (3) сходится р а в н о- А В смысле и' 295, 438 гл. хц. ФУЯКЦИОНАЛЬНЫе ПОСЛЬДОЕАТЕЛЬНОСтн и Ряды [435 мер н о, пго сумма Дх) ряда также будет интегрируехга, и имеет местно разложение (21). Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции 1(х).

Ввиду равномерной сходнмостн ряда, по заданному наперед е, мы можем фиксировать и столь большим, чтобы во всех точках промежутка (а, Ь] было: [Лх) — 1,'(х) / « — или Ях) — — 1(х) Ях) г — . (23) Возьмем какую-нибудь часть (и, [[] промежутка [а, Ь], и пусть т, М будут точные границы функции Ях) в (х, р], а о> = М-т — ее колебание; соответствующее колебание функции Лх) обозначим через П.

Ввиду (23), в пределах промежутка (н, гг)]: пг — — =Ях)-. М: — — так чзо П -ь>, е. 2 '2' Разобьем теперь промежуток [а, Ь] обычным образом на частичные промежутки [х„хг+г] и станем значком !' отмечать колебания, относящиеся к 1-му промежутку. Тогда П, о>!.Рв, и ~П! г[хг-.л,ш! ..4хг;-в(Ь вЂ” а).

! ! Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к нулю вместе с ) .=>нах >хг, то зто же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции 1'(х) [297 (8)]. Что же касается равенства (21), то оно доказывается буквально так же, как и выше. Покажем иа примере, что при нарушении равномерности ряд, состоюлий из интегрируемых функций, может иметь неинтегрируемую сумму. Положим ггч(х) (для л=1, 2, 3, ...) равным 1, если х выражается нес акра т и мой дробью л! —, и равным Π— в прочих точках промежутка 10, Ц, Эти функции, имеющее лишь конечное число разрывов, интегрируемы в [О, Ц, а суммой ряда будет .гаведомо неинтегрируемая функция Д и р и х л е [300, (2)1.

Вместе с тем, разумеется (мы это видели на примерах), равномерная сходимость ие является н е о б х о д и м ы м условием для интегрируемости суммы ряда, составленного из интегрируемых функций. И для этого случая Ар цел а указал условие, одноврелгенно не о б ходи мое и д о с тат о ч н о е (гквазиравномерная сходимость вообпге!), ср. и 432. 435. Почлеииое дифференцирование рядов, С помощью теоремы 5 предыдущего по легко доказывается следующая Теорема 7, Пусть функции и„(х) (и =1, 2, 3,...) определены в пролгежутке Ж= [а, Ь] и имеют в нем непрерывные производные и'(х).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,78 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее