Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Достаточность. Допустим теперь, что ряд (3) сходится к своей сумме Дх) квази-равномерно. Задавшись числами а и М', построим промежутки (аь Ь,) и выберем номера л; (1.--1, 2, ..., )г) с указанными в определении свойствами. Возьмем по произволу в л точку х„; пусть она содержится в промежутке (а,„ьч). Как и при доказательстве теоремы 1 !431 (12)1, можем написать ! Дх) — Р(х ) ! з !)Н(х) — ~л<(хч) ! Ф ! Рм(х) ! -1- ! Рл (х ) ! . (12а) При эгоч, очевидно, !(ОФ(хр) ! > если х тоже принадлежит этому промежутку (а,„ЬА), то и !Рм(х) ! Можно найти такое число 6 О, что, при !х — хя! Ь, не только х содеряштся в указанном промежутке, но и первое слагаемое в (12а) справа будет «г, а значит !Дх) -Дхч)! Зг, и непрерывность 3'(х) в точке хч доказана ч.
Из этой теоремы с легкостью выводится теорема Ди ни предыдущего л'. Действительно, если ряд (3) состоит из положительных непрерывных функпий и сходится к непрерывной же сумме, то, как мы видели, сходимость необходимо будет квази-равномерной. Пользуясь тем, что в данном случае остатки р„(х) с возрастанием л убывают, достаточно взять номер )У большим всех и; (1=1, 2, ..., л), чтобы для л )ч" неравенство (б) выполнялось одновременно для всех х из сь: сходимость оказывается равномерной. 433.
Почлепный переход к пределу. Приведем еще одну теорему, которая является обобщением теоремьг !. В ней л =(х) есть и рон 3 в о л ь н о е бесконечное множество, имеющее точку сгущения а (конечную или нет) 152); эта точка сама может и не принадлежать множеству. Теорема 4. Пусть каэкдая из функций и„(х) (и=1, 2, 3,...) определена в области Х и имеет, при стремлении х к а, конечный предел: (1 6) !Нп и„(х) =с„.
а Если ряд (3) в области ь" сходится равномерно, то 1) сходится ряд, составленный из этих пределов: (с) ~с„= С, в=1 " Как читатель заметил, предположение, что все номера и; могут быть выбраны сколь угодно большими, на деле нигде ие используется. 455 4зз1 а 2 ФункциОБАльные сВОйстВА суммы РядА и 2) сумма ряда (3), Ях), также имеет при х а предел, именно: 1нплх) =С. х а (17) До к а за тел ьств о.
Согласно условию равномерной сходимости и' 429, для произвольно взятого а =.0 существует такой номер зу', что при и 2!' и т= 1, 2, 3, ... неравенство (8) выполняется для всех х из ль. Переходя здесь к пределу при х а с учетом (16), найдем, что !Си+! 1 Си+В ! ° ° ° ' Сиз-т~ *»а Вычитая зто равенство почленно из (11), легко получить: )7(х) — С(:)7„'(х)-С„~ е (42„(х)!-ь )у„(.
(18) Ввиду равномерной оходимости ряда (3) и сходимости ряда (С), по любому в 0 можно фиксировать л столь большим, чтобы для всех х из л было: )лр„(х)(»'-, а также (у„~. е. (19) Тэ,к как, очевидно, и и 1нп Ях) = 1нп ~ илл(х) -- ~ сл = С„, и !=1 то — если ограничиться случаем конечного а — найдется такое 6- О, что при ~х-а~ -д будет: !Ях) — С„~ =а (20) Тогда, при указанных значениях х, в силу (18), 119) и (20), будет выполняться неравенство (г(х) — С, 'Зг, что и приводит к (17) *. Равенство (17) можно написать в форме (см.
(16)): 1пп л,"ии(х) = ~ (11пз и„(х)); а и=! и=! х и * Читатель узнает в атом рассужленвн то, которое уже было применена Лля доказательства теоремы !. так что для ряда (С) выполняется условие сходимости 13761. Если С, Си и у„означают, как обычно, его сумму, частичную сумму и остаток, то С=с„-.у„. 436 ~л. кн.
егнкциоььлльныв послвдовлзвльносчи и вялы 1434 таким образом, при наличии равномерной сходимости, предел суммы ряда равен сульме ряда, составленного из пределов ега членов, или, иными словами, в ряде допустим предельный переход п а ч л с н н а. 434. Почленное интегрирование рядов. Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда. Теорема 5. Если 1йункциьь и (х) (и=1, 2, 3, ...) непрерывны в промезкутке К=[а, Ь), и составленный из пих ряд (3) сходится в этель прольезкутке р а в н а ль е р и а, та интеграл апь сульыы з(х) ряда (3) представляется следуьащиль оаразаль: ) Р(х)ьбх= ~ [и„(х)Их=- ь ь ь ь =- ~ иь(х) свахе '[из(х) Их-ь...
~ и„(х) Ихь ... (21) и ь Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду непрерывности функшьй и„(х) и Лх) [431, теорема 1), существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество З'(х) = и,(х)-';иь(х) -' ... ь и„(х) -: у„(х) в пролюжуткс [а, Ь), получим: ь ь ь ь ь ~ ь"(х) с!х= ~ и,(х)ь(хч ~ ььз(х) Йсь.... ~ и„(х) Их '- ) ~р,(х) гХх. Таким образом, суьпиа п членов ряда (21) разнится от интеграла ь ь Лх) ььх дополнительным членом ~ р„(х) ах. Для доказательства раз- О ь поженит (21) нужно лишь установить, что 1пп [у„(х) дх=-О.
(22) В силу равномерной сходимости ряча (3), для любого е О найдется номер рьь такой, что прн п Ж ~ьр„(х)! -.е О 2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОИСГВА СУММЫ РЯДА 437 434! сразу для всех х в рассматриваемом ггромежутке. Тогда для тех же значений п будет: ь о !.. )1рл(х)г(х ~ (гу„(х)(г(х (,Ь-а) г, что и доказывает предельное соотношение (22). Равенство (21) может быть написано в виде ~ ! 2 и„(х)(о(х= Л 1 ~"и„(х) с(х~(, 1 )'г П а так что в случае равномерно сходящегося ряда гавпвграл от сум,ны ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его членов, иди, иными словами, допустимо по ч ленное интегрирование ряда. Кяк и в случае теоремы 1, требование равномерной сходимости сущес г в е н н о для верности разложения (21), т. е.
Не может быть просто опущено, но все же не является необходимым. Ряды (15), рвсслготренньге в 431, как раз и иллюстрируют это обстоятельство. Оба они в промежутке (О, Н сходятся к (гункцни г(х) О неравномерно. Но, интегрируя первый почлепно, мы в качестве суммы ряда интегралов полу гим 1 !нп (!2ях.с — "" г(х=!!щ (1 — е-о) 1, хотя ! Г(х) 1(х=-О; о о о для второго же ряда аналогично найдем 1 1 ях 1п (1-1- л') игл 1 г(х=!пп =О= ) у"(х) Ит. о о Любопвпен пример ряда 1 — 1 — хвхо —... +(-1)"хо+...
(Омгх 1). 1+х Здесь г(х 1 ! =1и 2= 1 — — + — —... 1Чх 2 3 о тяг что ряд м о жн о интегрироввтыючленио, хотя при х=! он и вовсе р ас- ходится. Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требования непрерывности рассматриваемых функций. Теорема 6.
Если функ!Дои ио(х) (и=1, 2, 3, ...) интегрирувмы * в промелгсутке д = (а, (г], и составленный из них ряд (3) сходится р а в н о- А В смысле и' 295, 438 гл. хц. ФУЯКЦИОНАЛЬНЫе ПОСЛЬДОЕАТЕЛЬНОСтн и Ряды [435 мер н о, пго сумма Дх) ряда также будет интегрируехга, и имеет местно разложение (21). Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции 1(х).
Ввиду равномерной сходнмостн ряда, по заданному наперед е, мы можем фиксировать и столь большим, чтобы во всех точках промежутка (а, Ь] было: [Лх) — 1,'(х) / « — или Ях) — — 1(х) Ях) г — . (23) Возьмем какую-нибудь часть (и, [[] промежутка [а, Ь], и пусть т, М будут точные границы функции Ях) в (х, р], а о> = М-т — ее колебание; соответствующее колебание функции Лх) обозначим через П.
Ввиду (23), в пределах промежутка (н, гг)]: пг — — =Ях)-. М: — — так чзо П -ь>, е. 2 '2' Разобьем теперь промежуток [а, Ь] обычным образом на частичные промежутки [х„хг+г] и станем значком !' отмечать колебания, относящиеся к 1-му промежутку. Тогда П, о>!.Рв, и ~П! г[хг-.л,ш! ..4хг;-в(Ь вЂ” а).
! ! Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к нулю вместе с ) .=>нах >хг, то зто же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции 1'(х) [297 (8)]. Что же касается равенства (21), то оно доказывается буквально так же, как и выше. Покажем иа примере, что при нарушении равномерности ряд, состоюлий из интегрируемых функций, может иметь неинтегрируемую сумму. Положим ггч(х) (для л=1, 2, 3, ...) равным 1, если х выражается нес акра т и мой дробью л! —, и равным Π— в прочих точках промежутка 10, Ц, Эти функции, имеющее лишь конечное число разрывов, интегрируемы в [О, Ц, а суммой ряда будет .гаведомо неинтегрируемая функция Д и р и х л е [300, (2)1.
Вместе с тем, разумеется (мы это видели на примерах), равномерная сходимость ие является н е о б х о д и м ы м условием для интегрируемости суммы ряда, составленного из интегрируемых функций. И для этого случая Ар цел а указал условие, одноврелгенно не о б ходи мое и д о с тат о ч н о е (гквазиравномерная сходимость вообпге!), ср. и 432. 435. Почлеииое дифференцирование рядов, С помощью теоремы 5 предыдущего по легко доказывается следующая Теорема 7, Пусть функции и„(х) (и =1, 2, 3,...) определены в пролгежутке Ж= [а, Ь] и имеют в нем непрерывные производные и'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
