Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 76
Текст из файла (страница 76)
„20 2ч-1 с Так как этот ряд сходится и при х.= х! [370, 5) (а))", то„по теореме Абеля, разложение действительно и при этих значениях. В частности, при х=-1 будем иметь такой ряд для числа л: л (2л- 1)й 1 — =1+ ~ 2 я=! 2лй 2л+1 Аналогично, разложив производную [!и (хе ~Г+хп))' = 1 [(1 Ч-х' в ряд н почленно проинтегрировав его, найдем разложение (2л-1)й хю+' !и (х+ [Я+хз) = х+ ~ ( — !) — ".'— а=т 2л!! 2л4 1 ( — 1~к 1). Функция эта есть не что иное, как АгзЬ х, т. е. фуикпия, обратная з[з х [49, 4); 339, замечание). 4) С помошью почленного интегрирования рядов получаются разложения в бесконечные степенные ряды для некоторых интегралов, н е в ы р а ж а ю ш и хе я в конечно м ни де через злементарныс функции [см.
272). Эти разложения могут быть использованы дли приближенных вычислений. Так, исходя из известного разложения х* х' хэл е — '= ! — — + — — ...+( — !)" — -> 1! 2! и! (2л — 1)!! 1 ч Впрочем, скодимость ряда 1Ч-,~~ — теперь может быть дока2лй 2ль1 тана проще. Имеем — при любом ави†(2л-1)!! хм+' л х+ ~ — «агснп х к=г 2л!! 2л+1 2 Переходя здесь к пределу при х -1, получим (2л — 1)!! 1 х !+~ а г 2л!! 2и+1 2 откуда [363[ н следует требуемое. 459 1 з. пгиложннил (ср.
404 (11)), найдем хз 1 хь 1 хм+э е-М4х=х- — Ч вЂ”.— -" 4(- 1У' — — +". 3 2! 5 л1 2л+1 е Поставим себе задачу: вычислить с точностью до 0,0001 интеграл 1 И= ~е-ы,(х, с Взяв верхний предел интеграла равным 1, получим для И' знакопеременный ч и- с л о в о й ряц с убьаающими по абсолютной величине членами: 1 1 1 1 1 1 1 3 1О 42 216 1320 9360 75600 Вычисляя оставленные члены с пятью знаками после запятой, найдем: 1 1 1+ — = 1,10000 — = 0,33333 (4 ) 10 3 1 1 — =0,00463 ( — ) — =-0,02381 (-) 216 42 1 1 — = 0 00011 (-) = 0 00076 (-) 9360 ' 1320 1,10474 0,35790 1,10474 0,35790 Если учесть все поправки, то окажется, что 0,74684 0,74681 И' 0,74685, И'= 0,7468... и все четыре знака верны.
(Ср. ЗЩ 5).) 5) Аналогично, так как [ср. 404 (12)) з)п х х' х' хчл — з — -= 1 — — + — —...+( — 1)" + ° ° х 3! 5! (2л — 1)1 зшх х' х' хкп -1 — Фх=х- — + — — ...+(-1)" х 3! 3 51 5 (2л — 1)1(2л-1) е Предложим себе вычислить, с помощью этого разложения, интеграл с точностью до 0,001. Так как восьмой член уже значительно ниже заданной границы, то мы сохраним лишь первые семь членов.
Соответствующая (отрицательная) поправка 5 легко оценивается 1 1,5 )г)( 75600 10' 460 гл. хп. ез нкцнональнын поалндоватнльности н виды [440 Имеем, полагая х=л, 1 1 1 1 1 (з=-л- — лх+- — лх- лг4 .Р— лхгч 18 600 35 280 3 265 920 439 084 800 т. е. снова зиакопеременный ряд с убывающими по абсолютной величяне членами. Так как шестой член меньше, чем 0,0007, то мы ограничимся пятью членами. Вычисляем на четыре знака: а=3,1416 (-) 1,8082 1,8525 Учитывая поправки, приходим к заключению: 1,8517 д 1,8527, д = 1,852 а 0,001. 6) Поставим себе задачей представить в вице р1шов интегралы (а) Вспоминая разложение арктангенса, имеем: агсгйх Г/ ! 1, 1 ) 1 1 1 — г(х= ~ ~1- — хх-~- — х4- — хз+. ~ Их=! — — -~- — — — + .. х ) ~ 3 5 7 3 3' 5' 7' о Так как ряд, стовций под знаком интеграла, сходится при х=1, то почлениое интегрирование допустимо [438, 7'[.
Мы уже упоминали [328, 6)), что значение этого интеграла С= 0,915965... известно как гпостоянная К а т а л а н аз. Теперь мы видим, что !)л-г 6= 5' а=1 (2я — 1)' б) Переписав полинтегральное выражение в виде с — «~л», разлагаем его в показательный ряд хл1плх ч х — х=!.1 ~( !)л п 1 и! е При х= О члены ряда, начиная с и= 1, заменяем предельными значениями, т. е. нулями. 1 — ах= 0,5100 (4) 600 1 л'= 0,0091 (+) 3 265920 агсгй х (а) Нх, х е 1 лз = 1 7226 ( 18 1 3,6607 лг = 0,0856 (+ ) 35 280 1,8082 ! (б) ~х хЫх.
е 1 3. ПРИЛОЖЕНИЯ который сходится равномерно для 0 хт1, ибо максимум функции [х1пх[ 1 (как легко установить методами дифференциального исчисления) есть —, так что е написанный ряд мажорируется рядом Итак, допусти1ио и о член н ое интегрирование. Так как [312, 4)) 1 л! х" [п" х Пх = (- 1)" (л+ 1) "Ог о то окончательно ! х —."г(х=- ~ —. и=1 тт о 7) Мы имели [414 (8)) разложение х 2рй 1' хо )Р агсгйх- .
~ ~ —. ~ (О х 1). 1+х'р-о(2р41)П 1+х4 у у Полагая здесь х= и учитывая, что агс18 = агсчш у [50) найдем: 1 у [/1 у) агса1п у " 2РП, ! 1 ! у РЕ ~ОлаУ ), )11 уо р=о(2р+1)П ~ '[/2) Проинтегрируем зто равенство от О до у, причем справа выполним интегрирование почлснио: 1 2р13 у'РОР [2(т — 1))П уот — (агсаш у)' =,~ 2 р о(2р41)П 2р+2 и=т (2т-1)П 2т Этот результат можно переписать так: «(т — 1)!)Р 2 (агсип у)'= ~ (2у)'"'.
2лй 1 При у= — получим отсюда 2 [(т — 1)!)' Л и=г 2т! 18 Но мы вццсли уже [395 (13); см. также 416), что 1 [(т - 1)!)2 л 1л' и 1 2т! 462 гл. иы. еуикниональнь«н послндовлтальностм н вялы [440 так что, окончательно, 1 л» »л' б (4) К этому интересному результату Эйлера мы будем возвращаться еще не раз. 8) Вычислить интеграл Если воспользоваться логарифмическим рядом [400 (17)], то для подинтегральной Функции получим разложение 1 1 1 1 — — х+ — х»- ...+(-1)л» вЂ” хл — «+ 2 3 л которое действительно во всем промежутке [О, 1].
Интегрируя почлсиио, найдем 1 1 1 1 у ! ~» ...ч( 1)л» г...= 3"( Пл» 2' 3' л' » з л» Мы только что устаиовилн равенство (4); из него следует: =,~~ — — 2,~~ ( — 1)" ' 1 1 л' л',=гл' »=г(2л)» 12 Таким образом, мы приходим к «конечному» выражению для искомого интеграла л» «= —, 12 9) Пусть требуется найти интеграл (]а] 1) Пользуясь разложением логарифма, имеем: !п(1+ассах) ел+» =а+ ~(-1)л — соз х, со«х»=г л+1 причем ряд сходится р а в н о ма р но в промежутке [О, л]. Заметив, что [312 (8)] созна 'х«[х О, е ( л При х = — приписываем 2 х - — значение а.) 2 1и (1-~- х) 1= «(х.
х е ! л (1 4 а соз х) Нх. соз х е подиитегральному выражению предельное при (2л» - 1)!! соз«мхах=2 ~ со«»мхах= ай е е 463 5 3. пРилОжения произведем почленное интегрирование: 1л(1еасовх) | " (2т-1)й от+' | Ых=л ае ~ совх ( л~.=1 21п1! 2т-|-1] е ° |в (1+ а соз х) Ых=л агсв!л а. СО5 Х 5 10) Рассмотрим разложеняе (при |г| 1): 1 — г' =1+2 Лгл сов пх. 1-2гсовх+г' 5=1 (5) Доказать его легко, умаслив правую часть на знаменатель 1 — 2г сов х-1-г'; мы получим: 1-2г сов х+ гв|-2 ~г" сов ПХ-2~го+'2 сов пх.сов х+ 2 ~гл+' соз пх. 1 1 Если заменить 2 сових сов х через сов(п+1)х-|-сов(» — 1)х и соответственно разбить вторую сумму на две, то после сокрашений останется лишь 1 — г', что и завершает доказательство.
Ввиду сходимости ряда ~] г|" (при ] г| «1), ряд в (5) справа сходится р а в н о- 1 мерно относительно х в промежутке [ — л, л]. Возьмем теперь интегралы от -лдол и слева и справа, причем ряд можно интегрировать и оч лен и о (теорема 5). Так как ~ сов пх1(Х=О, то мы получим: 1 — гв 5(х = 2;5 1 — 2Г со5 х + 1'5 -л [ср. 309, 8)]. Аналогично, умножив обе части тождества (5) на сов тх (т=1, 2, 3, ...) и интегрируя почленно, легко получить со5 тх гт ах 2л —.
1 — 2г соз х+ г' 1- гг — л При этом используется извеспвый результат [309, 4) (г)] л | 0 при тып, сов тх сов пх ~(х = ~ ~ л при т=п. В полученном ряде мы узнаем разложение Функции арксииус [см. 3)]. Таким обра- зом, окончательно находим (в конечном виде!) 11) Воли в тождестве (5) перенести едишшу налево и разделить обе части на 2г, то получим: соз х — г „~~ г" 'созах.
1 — 2г соз хе г' На этот раз фиксируем по произнолу х и станем рассматривать г, как переменную с областью изменения ( — 1, 1). Проинтегрируем обе части равенства по г от 0 до любого г в этом промежутке, причем степенной ряд справа будем интегрировать и о ч л е н н о; так как слева числитель (с точностью до числового множителя) есть производная знаменателя по г, то в результате получим: 1и (1 — 2г соз хе гг) = — 2 ~ — соз вх ([ г [ 1).
о=г и Теперь снова фиксируем г, а х будем изменять от 0 до и. Легко видеть, что ряд справа сходится равномерно относительно х в этом промежутке, так что допустимо п о ч л е и н о е интегрирование (теорема 5). Выполнив его придем к интегралу: !п (1 — 2г соз х |- г ) Лх = 0 ([ г[ 1) о [ср. 307, 4); 314, 14)). Отсюда, как мы уже видели, легко получить значение интеграла и при [г[ 1. 12) Спелуюшие интегралы, зависягцие от х: 2 г Уо(х) = — ~ саз (х з!и О) г(О. о 2 2х" уо(х)= "соз(хз|пО)совы О Ю (в=1, 2, 3, ...), (2л — 1)НЛЗ о представляют так называемые бесселевы функции [ср.
395, 14)). Разлагая подивтеграпьные выражения по степеням хан О и интегрируя почленно, легко получить уже знакомые нам разложения этих функций в ряды по степеням х. Например, ивтегрирул ряд хгь з(пм О соз (х зш О) = 1 Ф ~ (- 1)" 1=1 2)с! и вспоминая формулу [312 (8)) (211-1)11 в з|пгй О ЛО= 2)г)1 2 о (б) 404 ГЛ. ХП, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЕЯДЫ [440 1 3. пРилОжения найдем для бесселевой функции с н у л е в ы м значком х м Х,(х)=1+ 2 (-1)» —. (х1)'2м 13) Нам уже встречались так называемые полные эллиптические и н т е г р а л ы 1-го и 2-го р о д а [315 и др.): Поставим себе задачей — разложить их по степеням модуля й (О )г 1).
Полагая в формуле (24) и' 407 х - — й' ып р, получим: 1 " (2л-1)П /СЗЛ, З1ПЗЛ Ф Этот ряд сходится равномерно относительно и, ибо мажорируется при всех значениях р сходящимся рядом " (2л-1)П 1-1. ~~ "/гал л=г 2лП следовательно, по теореме 5, здесь допустимо ловленное интегрирование, которое мы и выполним. Используя снова формулу (6), таким путем получим: Аналогично, исходя из формулы (23) и' 407, найдем л " 1'( -1)П'1' й 1 Е(й) = 1'1 — хн яп' и л(н = — 1 —,ьз, 2 ~ «=1) 2ЛП ) 2л — 1) е Этими рядами также можно воспользоваться для приближенных вычислений. Для примера рассмотрим ряд 1 ) л 1' 1 3 5 175 441 )г21 2 ( 8 256 2048 262 144 2 097 152 ) Если сохранить здесь только написанные члены, то соответствующая поправка будет отрицательна и оценивается следующим образом: ~ )~ ( — П) — (14 — -ь...)-0,00024; ЗС 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
