Главная » Просмотр файлов » Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2

Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 74

Файл №947424 Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления) 74 страницаФихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424) страница 742013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

сходится положительный ряд: ~~аь~ ~Г"= (аь( '; (а,) Гь )ае~ Г' ь... 4 )а„~.сь —, ... (32) л=0 Прн [х)-г члены ряда (31) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажо ран тн о го ряда, и по признаку В ей ерщтрасса ряд (31) для указанных значений х сходится равномерно. Хотя число г и может быть взято сколь угодно близким к Я, но из доказанного все же н е вытекает равномерная сходнмость в промежутке [-зс, А). На примере прогрессии [428, б)] читатель видит, что как рвэ концы промежутка сходимости могут оказаться точками неравномерности. Теперь, как следствие теоремы 1, получаем: 2'. Сумма з'(х) степенного ряда (31) для всех значений х между — й и Я представляет собой непрерывную функцизо от х.

445 4371 [ а ФункциОнАльные сВОйстВА суммы РядА Какое бы значение х= ха внутри промежутка сходимостн ни взять, можно выбрать число г Л так, чтобы было [х ~ г. Применив теорему 1 в промежутке ( — г, г), ввиду 1', установим непрерывность функции у(х) в этом промежутке, следовательно, в частности, н при х=х . (Обращаем внимание читателя на то, что мы избежали применения теоремы 1 в промежутке (-11, Я), где равномерная сходнмость не может быть гарантирована.) Непрерывность суммы степенного ряда может быть использована для доказательства теоремы о тождестве степенных р я д о в (напоминающей подобную же теорему для многочленов): 3'.

Если два слпепснных ряда ~а„Хи=печа,Х<-а,кял-... Ч.а„Х" Ь а=а Г~ис — Ьа л'Ьлхчдях ' ' Ьах а=а в окрестности точки х= О* имеют одну и ту же сулсму, то эти ряды тохсдсственньь т. е. соответственные коэффициенты их попар;ю равны: аа=Ьа, а,=Ь2, ая=Ь2, ..., а„=Ь„, Пола~ая х =О в тождестве аача,х — ' ... =Ьач-Ьгх '...

сразу убеждаемся в равенстве аа= да. Отбрасывая эти члены в обеих частях написанного тождества и деля их на х (в этом случае мы вынуждены считать хаеО), получим новое тождество а +а -' ... =Ь .Ьях которое также имеет место в окрестности точки х =О, н о и с к л юч а я с а м у э т у т о ч к у.

Не имея права положить здесь х = О, мы, однако, можем устремить х к О; в пределе, пользуясь непрерывностью, мы все же получим, что а, =Ь,. Отбрасывая эти члены и снова деля на хмО, прн х О найдем, что ал=дя, и т. д. Эта простая теорема, устанавливающая единственность разложения функции в степенной ряд, имеет частые применения. С ее помощью, напрныер, сразу устанавливается, что разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд вида (3П может содержать лишь четные сисе (нечетные) степени х. ' Здесь имеется в виду не только д в у с т о р о н н я я окрестность [ — Е, 41 точки л"=О, но и о ли астор о и и я я окрестность вида [О, 4) илн [ — 4, О].

43В1 з г. еункционлльнын своиствл суммы ряда Теорема А б е л я имеет важные приложения. Если для функции у(х) получено разложение в степенной ряд лишь в открытом промежутке (-Я, Я)! 1'(х) = 2;а„х" (- Я х Я), я=а но функция сохраняет непрерывность, а ряд продолжает сходиться,— и на каком-либо из концов этого промежутка, например, при х=Л, то разложение остается верным и для этого конц а. В этом легко убедиться, переходя в написанном равенстве к пределу при х Я вЂ” О.

Таким образом, например, получен разложение х' х' хя !и (1+х)=х- — + — — ... +(-1)" ' — +." 2 3 л лишь для — 1 л 1, но, зная, что ряд 1 1 ,1 1- — о — — ...-';( — 1)" ' — +... 2 3 и т(т-1) т(т-1)(т-2) ... (т — ио!) 1-1-тх+ х'+ ... О хи+ ... 1 2 123 ...п и при х = -!. ! имеет своей суммой (1+ х)я', если только ряд оказывается сходящимся. 438. Интегрирование н дифференцирование степенных рядов. Применим теперь к степенным рядам теоремы ппе 434 и 435. Сопоставляя доказанные уже свойства 1' и 5' с теоремой 5 и' 434, получим: 7'. Степенной ряд (31) в промежутке (О, х), где ) х !. Я, всегда можно интегрировать почленно, так что х у'(х) с(т=а,хо — 'х'+ — 'хач-...

ч- — "='х" '- е (33) Значение х здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходилтости, если на этом конце ряд (31) сходится. Переходим к вопросу о дифференцировании степенного ряда. 8'. Степенной ряд (31) внутри его промежутка сходимости можно ди!р!реренцировать и о ч л е и н о, так что У'(х)=~па„х" — '=а,+2аях',-За,х' '- . +па„х" ' г.=1 (34) сходится, заключаем, что сумма его есть 1п 2. Точно так же оправдывается и утвер- ждение л' 407 о том, что биномиальныи ряд 448 гл. хп. еянкционкльныа последовктяльности и гяды 14эа Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конке сходится.

Возьмем л ю б о е х внутри промежутка сходимости исходного ряда, так что ~х(. Я, и вставим число г' между (х( и Я: )х! «г' Я. Ввиду сходимости ряда ~а„г '" = а -. 'а г ' е азг "- ч... е а„г '" -.' =1 его общий член ограничен: ]а,~г"'-й (Т,=сопя!; п=1,2,3,...). Тогда для абсолютной величины и-го члена ряда (34) получается оценка (л-1 ! т ! (и-1 п!а„( ° )х~" — =п(а„) ° г'" ° —; ! ° —,=, ° и ) —, ( Ряд —, г" пЦ = —,]1-ь2! —,~, ...-гпЯ сходится; в этом легко убедиться с помощью признака Д а л а мх б е р а [Збй], если учесть, что ь — г ~ 1. В таком случае абсолютно сходится ряд (34).

Отсюда ясно, что радиус сходимости Я' этого ряда не мень|не Я. Если теперь взять любое г~Я, то одновременно и г~Я', в силу 1' ряд (34) равномерно сходится в промежутке [ — г,г], так что — по теореме 7 и' 435 — в этом промежутке допустимо почленное дифференцирование ряда (3!). Так как г~Я произвольно, то основное утверждение теоремы доказано. В случае сходимости ряда (34), скажем„при х= Я„эта сходимость равномерна [5'] в промежутке [О,Я], и теорема 7 приложима ко всему этому промежутку — почленное дифференцирование оказывается допустимым и при х=Я. Замечание.

Мы убедились в том, что Я'-Я. С другой стороны, члены исходного ряда (31) не превосходят по абсолютной величине соответственных членов ряда ~па„х"=а,х-ь2агхэ~-... -,па„х'4..., =ь имеющего тот же радиус сходимости Я', что и ряд (34). Следовательно, Я=Я'. Таким образом, окончательно, Я'=Я: радиусы сходи.ности степенного ряда (31) и ряда (34)„полученного иэ пего почлепны.и дифференцированием, совпадают. Это, впрочем„легко устанавлн- З 2. ФУНКГШОНАЛЬНЫБ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА 449 4361 вается и с помощью теоремы К о ш и-Ад а ма р а (380], если вспомн нить, что Уп 1 при и (32, 10)].

Так как ряд (31) получается почленным дифференцированием из ряда (33), то и эти ряды имеют один и тот же радиус сходимости. Последняя теорема 8' открывает возможносп последовательно м н о г о к р а т н о г о дифференцирования степенного ряда. Таким образом, по-прежнему обозначая через Лх) функцию, представляемую степенным рядом (31) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка: з (х) = ан ~- а,х -е агхз ч- азхз -~...

Ф а„х" +... з '(х) = 1 аз Ф 2 а,х Ф 3 а х' Ф... + и а х"-'+... Г"(х)=1 2 азь2 ° 3 ° агхь... Ф(п — 1) ° и а„х" 2-~,. з'"(х) = 1 ° 2 ° 3 ° а +... Ф (и — 2)(п — 1)п ° а,х"-2 ь... зтн>(х) = 1 ° 2 ° 3 °... ° (и — 1) ° па„+... Если положить во всех этих равенствах х = О, то придем к хорошо нам знакомым выражениям коэффициентов степенного ряда: а =ЛО), а,=з'(0), аз= ~,-* аз= 31 Г (о) у"'(о) зт 1(о) [ср.

403 (7)]. Если бы речь шла о ряде общего вида (31*), то лишь пришлось бы здесь вместо значения х=О подставить х=х„. Итак: 9'. «Рункция, представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Самый ряд, по отношенито к этой функции, являетсл не чем иным, как ее рядом Тейлора. Это замечательное предложение проливает свет на вопросы разложения функций в степенные ряды, которыми мы занимались в предыдущей главе.

Мы видим, что е спи функция вообще разлагается в степенной ряц, то необходюло — в ряд Т е й л о р а; поэтому-то мы и ограничивались исследованием возможности для функции быль представленной именно своим рядом Т е й л о р а. Заметим, что функция, которая разлагается в ряд Тейл ар а по степеням х-хн, называется аналитической в точке хн.

29 Г. М. Фнттентеньн, т. П 450 Гл, хьь Функпноняльные пОслеДОВАтельнОсти и РЯДЫ 1439 Изложенная теория распространяется и на кратные степенные ряды. Остановимся для определенности на ряде с двумя переменными: ае,(х - х )'(у - уе)я. ьг=а Внутри области сходимости 1396) такой рдц также можно почленно дифференцировать по любой из переменных и любое число раз. Отсюда, как и только что, легко получаются выражения для коэффициентов г(хе 1'Е) г( е Уе) аао= хо уо им= д„— —, воз = 1 др(х., у.) ою 31 дхз и, вообще, 1 деев(хе у~) "" = ЛРЛ дхг ду Таким образом, разложение функции Дх, у) (если только оно возможно) необходимо имеет вид 1 д'~- Лх„у,) ,1(х,у)=- ~ —,, —,, у', (х-х)(у-у„)".

И этот ряд называется рядом Тейлора; он естественно примыкает к формуле Тейлора, о которой была речь в 195. При наличии такого разложения функция у(х, у) называется а и а л ити ч еской в точке (хе,уе). $ 3. Приложения 439. Примеры на непрерывное|в суммы рада в ва почлеввый переход к пределу. 1) Исследовать па непрерывность суммы ряда х Лх)- 2 е=г ЛР+Х'гл в предположении, что р ежо и один из этих показателей 1 (чем обеспечивается сходимость ряда для всех значений х).

Очевилно, достаточно ограничиться неотрицательными х. Если р 1, то для х кхе (хе ко — л ю б о е число) ряд мажорируется сходящимся рядом 1 хо' Е «-з ял следовательно, по признаку Вене рш трасса сходится равномерно, и его сумма в промежутке (О, хе) непрерывна. Ввиду проювольности х это относится ко всему промежутку (О, + ). 451 439) 1 3. пРилОжения Если же рай!, но 4 1, то, переписав ряд, для «О, в виде Д ля+( — ) яя заключаем, по предыдущему, о непрерывности его суммы для всех «»О. Таким образом, нужно лишь решить вопрос о точке « = О. Методами диффеРенциального исчислениЯ можно Установится что л-й член РГ ряда достигает своего наибольшего значения при «=и х и это значение равно 1 1 2 Р~ч л х Если р+4 2, то наш ряд мажорируется сходящимся рядом 1 1 2,=1 -~ РМ и х чем обеспечивается непрерывною.ь функции /(«) для всех х, в к л ю ч а я т о ч к у «=О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,78 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее