Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 74
Текст из файла (страница 74)
сходится положительный ряд: ~~аь~ ~Г"= (аь( '; (а,) Гь )ае~ Г' ь... 4 )а„~.сь —, ... (32) л=0 Прн [х)-г члены ряда (31) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажо ран тн о го ряда, и по признаку В ей ерщтрасса ряд (31) для указанных значений х сходится равномерно. Хотя число г и может быть взято сколь угодно близким к Я, но из доказанного все же н е вытекает равномерная сходнмость в промежутке [-зс, А). На примере прогрессии [428, б)] читатель видит, что как рвэ концы промежутка сходимости могут оказаться точками неравномерности. Теперь, как следствие теоремы 1, получаем: 2'. Сумма з'(х) степенного ряда (31) для всех значений х между — й и Я представляет собой непрерывную функцизо от х.
445 4371 [ а ФункциОнАльные сВОйстВА суммы РядА Какое бы значение х= ха внутри промежутка сходимостн ни взять, можно выбрать число г Л так, чтобы было [х ~ г. Применив теорему 1 в промежутке ( — г, г), ввиду 1', установим непрерывность функции у(х) в этом промежутке, следовательно, в частности, н при х=х . (Обращаем внимание читателя на то, что мы избежали применения теоремы 1 в промежутке (-11, Я), где равномерная сходнмость не может быть гарантирована.) Непрерывность суммы степенного ряда может быть использована для доказательства теоремы о тождестве степенных р я д о в (напоминающей подобную же теорему для многочленов): 3'.
Если два слпепснных ряда ~а„Хи=печа,Х<-а,кял-... Ч.а„Х" Ь а=а Г~ис — Ьа л'Ьлхчдях ' ' Ьах а=а в окрестности точки х= О* имеют одну и ту же сулсму, то эти ряды тохсдсственньь т. е. соответственные коэффициенты их попар;ю равны: аа=Ьа, а,=Ь2, ая=Ь2, ..., а„=Ь„, Пола~ая х =О в тождестве аача,х — ' ... =Ьач-Ьгх '...
сразу убеждаемся в равенстве аа= да. Отбрасывая эти члены в обеих частях написанного тождества и деля их на х (в этом случае мы вынуждены считать хаеО), получим новое тождество а +а -' ... =Ь .Ьях которое также имеет место в окрестности точки х =О, н о и с к л юч а я с а м у э т у т о ч к у.
Не имея права положить здесь х = О, мы, однако, можем устремить х к О; в пределе, пользуясь непрерывностью, мы все же получим, что а, =Ь,. Отбрасывая эти члены и снова деля на хмО, прн х О найдем, что ал=дя, и т. д. Эта простая теорема, устанавливающая единственность разложения функции в степенной ряд, имеет частые применения. С ее помощью, напрныер, сразу устанавливается, что разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд вида (3П может содержать лишь четные сисе (нечетные) степени х. ' Здесь имеется в виду не только д в у с т о р о н н я я окрестность [ — Е, 41 точки л"=О, но и о ли астор о и и я я окрестность вида [О, 4) илн [ — 4, О].
43В1 з г. еункционлльнын своиствл суммы ряда Теорема А б е л я имеет важные приложения. Если для функции у(х) получено разложение в степенной ряд лишь в открытом промежутке (-Я, Я)! 1'(х) = 2;а„х" (- Я х Я), я=а но функция сохраняет непрерывность, а ряд продолжает сходиться,— и на каком-либо из концов этого промежутка, например, при х=Л, то разложение остается верным и для этого конц а. В этом легко убедиться, переходя в написанном равенстве к пределу при х Я вЂ” О.
Таким образом, например, получен разложение х' х' хя !и (1+х)=х- — + — — ... +(-1)" ' — +." 2 3 л лишь для — 1 л 1, но, зная, что ряд 1 1 ,1 1- — о — — ...-';( — 1)" ' — +... 2 3 и т(т-1) т(т-1)(т-2) ... (т — ио!) 1-1-тх+ х'+ ... О хи+ ... 1 2 123 ...п и при х = -!. ! имеет своей суммой (1+ х)я', если только ряд оказывается сходящимся. 438. Интегрирование н дифференцирование степенных рядов. Применим теперь к степенным рядам теоремы ппе 434 и 435. Сопоставляя доказанные уже свойства 1' и 5' с теоремой 5 и' 434, получим: 7'. Степенной ряд (31) в промежутке (О, х), где ) х !. Я, всегда можно интегрировать почленно, так что х у'(х) с(т=а,хо — 'х'+ — 'хач-...
ч- — "='х" '- е (33) Значение х здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходилтости, если на этом конце ряд (31) сходится. Переходим к вопросу о дифференцировании степенного ряда. 8'. Степенной ряд (31) внутри его промежутка сходимости можно ди!р!реренцировать и о ч л е и н о, так что У'(х)=~па„х" — '=а,+2аях',-За,х' '- . +па„х" ' г.=1 (34) сходится, заключаем, что сумма его есть 1п 2. Точно так же оправдывается и утвер- ждение л' 407 о том, что биномиальныи ряд 448 гл. хп. еянкционкльныа последовктяльности и гяды 14эа Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конке сходится.
Возьмем л ю б о е х внутри промежутка сходимости исходного ряда, так что ~х(. Я, и вставим число г' между (х( и Я: )х! «г' Я. Ввиду сходимости ряда ~а„г '" = а -. 'а г ' е азг "- ч... е а„г '" -.' =1 его общий член ограничен: ]а,~г"'-й (Т,=сопя!; п=1,2,3,...). Тогда для абсолютной величины и-го члена ряда (34) получается оценка (л-1 ! т ! (и-1 п!а„( ° )х~" — =п(а„) ° г'" ° —; ! ° —,=, ° и ) —, ( Ряд —, г" пЦ = —,]1-ь2! —,~, ...-гпЯ сходится; в этом легко убедиться с помощью признака Д а л а мх б е р а [Збй], если учесть, что ь — г ~ 1. В таком случае абсолютно сходится ряд (34).
Отсюда ясно, что радиус сходимости Я' этого ряда не мень|не Я. Если теперь взять любое г~Я, то одновременно и г~Я', в силу 1' ряд (34) равномерно сходится в промежутке [ — г,г], так что — по теореме 7 и' 435 — в этом промежутке допустимо почленное дифференцирование ряда (3!). Так как г~Я произвольно, то основное утверждение теоремы доказано. В случае сходимости ряда (34), скажем„при х= Я„эта сходимость равномерна [5'] в промежутке [О,Я], и теорема 7 приложима ко всему этому промежутку — почленное дифференцирование оказывается допустимым и при х=Я. Замечание.
Мы убедились в том, что Я'-Я. С другой стороны, члены исходного ряда (31) не превосходят по абсолютной величине соответственных членов ряда ~па„х"=а,х-ь2агхэ~-... -,па„х'4..., =ь имеющего тот же радиус сходимости Я', что и ряд (34). Следовательно, Я=Я'. Таким образом, окончательно, Я'=Я: радиусы сходи.ности степенного ряда (31) и ряда (34)„полученного иэ пего почлепны.и дифференцированием, совпадают. Это, впрочем„легко устанавлн- З 2. ФУНКГШОНАЛЬНЫБ СВОЙСТВА СУММЫ РЯДА 449 4361 вается и с помощью теоремы К о ш и-Ад а ма р а (380], если вспомн нить, что Уп 1 при и (32, 10)].
Так как ряд (31) получается почленным дифференцированием из ряда (33), то и эти ряды имеют один и тот же радиус сходимости. Последняя теорема 8' открывает возможносп последовательно м н о г о к р а т н о г о дифференцирования степенного ряда. Таким образом, по-прежнему обозначая через Лх) функцию, представляемую степенным рядом (31) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка: з (х) = ан ~- а,х -е агхз ч- азхз -~...
Ф а„х" +... з '(х) = 1 аз Ф 2 а,х Ф 3 а х' Ф... + и а х"-'+... Г"(х)=1 2 азь2 ° 3 ° агхь... Ф(п — 1) ° и а„х" 2-~,. з'"(х) = 1 ° 2 ° 3 ° а +... Ф (и — 2)(п — 1)п ° а,х"-2 ь... зтн>(х) = 1 ° 2 ° 3 °... ° (и — 1) ° па„+... Если положить во всех этих равенствах х = О, то придем к хорошо нам знакомым выражениям коэффициентов степенного ряда: а =ЛО), а,=з'(0), аз= ~,-* аз= 31 Г (о) у"'(о) зт 1(о) [ср.
403 (7)]. Если бы речь шла о ряде общего вида (31*), то лишь пришлось бы здесь вместо значения х=О подставить х=х„. Итак: 9'. «Рункция, представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Самый ряд, по отношенито к этой функции, являетсл не чем иным, как ее рядом Тейлора. Это замечательное предложение проливает свет на вопросы разложения функций в степенные ряды, которыми мы занимались в предыдущей главе.
Мы видим, что е спи функция вообще разлагается в степенной ряц, то необходюло — в ряд Т е й л о р а; поэтому-то мы и ограничивались исследованием возможности для функции быль представленной именно своим рядом Т е й л о р а. Заметим, что функция, которая разлагается в ряд Тейл ар а по степеням х-хн, называется аналитической в точке хн.
29 Г. М. Фнттентеньн, т. П 450 Гл, хьь Функпноняльные пОслеДОВАтельнОсти и РЯДЫ 1439 Изложенная теория распространяется и на кратные степенные ряды. Остановимся для определенности на ряде с двумя переменными: ае,(х - х )'(у - уе)я. ьг=а Внутри области сходимости 1396) такой рдц также можно почленно дифференцировать по любой из переменных и любое число раз. Отсюда, как и только что, легко получаются выражения для коэффициентов г(хе 1'Е) г( е Уе) аао= хо уо им= д„— —, воз = 1 др(х., у.) ою 31 дхз и, вообще, 1 деев(хе у~) "" = ЛРЛ дхг ду Таким образом, разложение функции Дх, у) (если только оно возможно) необходимо имеет вид 1 д'~- Лх„у,) ,1(х,у)=- ~ —,, —,, у', (х-х)(у-у„)".
И этот ряд называется рядом Тейлора; он естественно примыкает к формуле Тейлора, о которой была речь в 195. При наличии такого разложения функция у(х, у) называется а и а л ити ч еской в точке (хе,уе). $ 3. Приложения 439. Примеры на непрерывное|в суммы рада в ва почлеввый переход к пределу. 1) Исследовать па непрерывность суммы ряда х Лх)- 2 е=г ЛР+Х'гл в предположении, что р ежо и один из этих показателей 1 (чем обеспечивается сходимость ряда для всех значений х).
Очевилно, достаточно ограничиться неотрицательными х. Если р 1, то для х кхе (хе ко — л ю б о е число) ряд мажорируется сходящимся рядом 1 хо' Е «-з ял следовательно, по признаку Вене рш трасса сходится равномерно, и его сумма в промежутке (О, хе) непрерывна. Ввиду проювольности х это относится ко всему промежутку (О, + ). 451 439) 1 3. пРилОжения Если же рай!, но 4 1, то, переписав ряд, для «О, в виде Д ля+( — ) яя заключаем, по предыдущему, о непрерывности его суммы для всех «»О. Таким образом, нужно лишь решить вопрос о точке « = О. Методами диффеРенциального исчислениЯ можно Установится что л-й член РГ ряда достигает своего наибольшего значения при «=и х и это значение равно 1 1 2 Р~ч л х Если р+4 2, то наш ряд мажорируется сходящимся рядом 1 1 2,=1 -~ РМ и х чем обеспечивается непрерывною.ь функции /(«) для всех х, в к л ю ч а я т о ч к у «=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
