Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Если элют ряд, по крайней мере для х, достаточно блюких к и, сходитсл и его сумма при х-оз стремшлс.ч к пределу А, то это число и принимается за чобобщеюзую суммуз данного ряда. Мы получаем, таким образом, некий метод суммирования рядов, связанный с выбором последовательности (Ф) и предельной точки сл По самому построению метода нона его линейность. Предположим тенер«, чтоб)ункциирл(х) удовлетворяют следующим трем требованиям: (а) при,набом лостоллно,н л 1вп рп(х) =- О„ 4261 1 О. Сз ММИГОВИНИН ИЯСХОДЯШИКСЯ ИЯДОВ 411 Дока за тельство. Итак, пусть 1пп Аи-А. и Тогда по произвольно заданному е О найдется такой номер и', что для и и' будет )Аи — А( (23) ЗК Ввиду ограниченности Аи и абсолютной скодимости ряда ~(тл(х), по крайней л=а мере для (х — От~ д' (х л') будет сходиться также и ряд,~~Ал(нл(х).
при зтом, л=е очевидно, и' Г ЛАлстл(х) — А= Л(АО А)Ри(х)Ч- „~~ 1тАл А)Рл(х)т'-А~ .~~ Рл(х) — 1 и=о л О и=и'.1-1 л О так что, переходя к абсолютным величинам, и' хз АОРл(х) — А ж~ 2 [Аи-А)ил(х) + .~~ !Ал-А~!(тл(х))+!А! ° Лтул(х)-1 л О л=е и= л'+1 л О Второе слагаемое справа —, в силу (23) и условия (б). Что касается первого 3 и третьего слагаемого, то каждое из ник можно сделать —, приблизив доста- 3' точно х к Оь в силу условия (а) и условия (в).
следовательно, йш ~Аиста(х) А, х и=с т. е, 1Обобшенная сумма» оказывается сушествуюшей н равна обычной сумме. если х есть натуральный параметр лт (так что то = + ), то последовательность функций (Ф) заменяется бесконечной прямоугольной м а т р и ц е и: Г 1 Гм Гп 1и гтлт г, (Т) глн ги1 1ит ' гллт 21 Г. М. Фн ттнтллнн, т. П 418 Гл. х!. БескОнечные Ряды с НОстОянными членами (426 За ьобобщенную сумм!'ь ряда (А) принимается предел при т - св варианты Тт=Аьгьт+Аьгьт+ "° +Апгпт+ " ' в предположении, что этот ряд сходится, по крайней мере для достаточно больших значений т.
Условия ре гул яр нос т и преобразуются для этого случая следующим образом; (а) при любом тютояином п 1'пп г„, =О, Ш (б) при досьььаточио больших т 2]гпт]=.)( (К-соим) =в (в) наконец, йп ~!и =1. м--.-п По существу все эти идеи принадлежат Теплицу ]ср. 391], у которого лишь, как читатель помнит, матрица предполагалась треугольной.
Э т о г о ч а с тного случая нам по большей части и было достаточно. Упомянем еще, что под упомянутую выше схему непосредственно подходит как суммирование по П у асс о ну — Абелю, так и суммирование по В о релю. В первом случае имеем 2 апхп = ~(1 — х)хпАп, п=в и В так что роль цьп(х) в области о - (О, 1) (св = 1) играет множитель (1- х)х". Во втором «и же случае цьп(х)=е х — в д =(О, + ) (н=+ ). Соблюдение условий (а), (б), п] (в) легко проверяется, и тем — на основании доказанной выше общей теоремы— сиопа устанавливается регулярность этих методов. Общее опредеяенне метода суммирования, данное выше, я теорему об его регулярности легко перефразировать так, чтобы в них участвовали не частичные суммы А„, а непосредственно члены ап суммируемого ряда (А).
Останавливаться на этом не будем. ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ й 1. Равномерная сходнмость 427. Вводные замечания. Мы изучали выше бесконечные последавательности и их пределы, бесконечные ряды и их суммы; элементами этих последовательностей или членами рядов были постоянные числа. Правда, иной раз в нх состав и входили, в роли параметров, те или иные переменные величины, но во время исследования нм неизменно приписывались определенные постоянные значения. Так, например, когда мы устанавливали, что последовательность 1' ~ 2) ' ( '3) ''''' ~ 'л) имеет пределом е" или что ряд хз з-в 7 Хя ,.
1 ( 1)я-7 2 3 н имеет суммой 1и(1 ' х), для иас х было числом постоянным. Ф у н кциональная природа элементов последовательности и ее предела или членов ряда и его суммы — нами вовсе не учитывалась; сейчас же именно к этому моменту будет привлечено наше внимание.
Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции 721х), уа1х), ..., ун1 х), ... (1) от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения о =(х)е. Пусть для каждого х из 2ь эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х (в Д7): Лх) = 11т Ул1х), (2) которую мы будем называть предельной функцией для последовательности (1) ~или для функции 7'л1х)1. * Чаше всего зто будет промежуток; но мы сохраняем пока нанбольшую обшность, разумея пол х любое бесконечное числовое множество. 27 42С ~ л хп. 4 гнкционлльные послвловАтьльности и еяды [427 ~и„(х) =ид(х)+из(х) ь .., ьи„(х)4- ..
и=1 (3) Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в ь'; тогда его сумма также представит собой некоторую функцию от х: 7(х). Эта сумма определится предельным равенством вида (2), если под у'„(х) раз- уметь частичную сумму у'„(х)=и,(х)-~ и,(х)4 ... ьи„(х). (4) Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (!) можно рассматривать под видом суммирова- ния ряда (3), если положить ,(х) =у',(х), и,(х) =у,(. ) — у,(. ), и„(х)=7,(х)-1", ~(х),... Нам чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.
Теперь мы будем интересоваться не одним лишь существованием предела при каждом отдельном значении х, но ф у н к ц и о н а л ьным и свойствами предельной функции. Чтобы читатель уяснил себе наперед, какого характера новые задачи при этом возникают, упомянем для примера об одной из ник.
Допустим, что элементы последовательности (1) все суть непрерывные функции от х в некотором промежутке Х = (а, Ь1; гарантирует ли это непрерывность предельной функции? Как видно из следующих примеров, свойство непрерывности иногда переносится и на предельную функцию, иногда же нет. Примеры. Во всех случаях!ь=(0, !). 1) у',(х) =х", Дх) =О при х 1 и у'(1) =1 (разрыв при х=-1); 1 2) !'„(х) — -- —,—, г"(х) =0 при х =0 и ДО) = ! (разрыв при х=-0); 3) У„(х) -- ... 1(х)=0 при всех х (везде непрерывна); 4) Ях) = 2гРх. е "*"', у(х) = 0 при всех х (то же). Естественно возникает задача — установить условия, при которых предельная функция сохраняет непрерывность; этим мы займемся в 431 (и 432). Мы уже видели (3621, что рассмотрение числового ряда и его суммы есть лишь другая форма исследования последовательности чисел и ее предела.
Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной х в некоторой области К: 4281 421 1 ь РАВномвРНАя сходи мость 428. Равномерная и неравномерная сходимости. Допустим, что для всех х из Ю имеет место равенство (2). По самому определению предела это значит следующее: лишь только фиксировано значение х из К (для того чтобы иметь дело с определенной числовой последовательностью), по любому заданному е О найдется такой номер Ф, что для всех и Ф выполняется неравенство 12'„'(х)-1(х)( .е, (5) где под х разумеется именно то значение, которое было заранее фиксировано. Если взять другое значение х, то получится другая числовая последовательность, и — прн том же е — найденный номер У может оказаться уже непригодным; тогда его пришлось бы заменить ббльшнм.
Но х принимает бесконечное множество значений, так что пред нами бесконечное же множество различных числовых последовательностей, сходящихся к пределу. Для каждой нз них в отдельности найдется свое Ф; возникает вопрос: существует ли такой номер Ж, который (при заданном е) способен был бы обслужить сразу все эти последовательности? Покажем на примерах, что в одних случаях такой номер Ф существует, а в других — его нет. 1) Пусть сначала Так как здесь то сразу ясно, что для осуществления неравенства Ях) е доста- 1 точно, каково бы ни было х, взять и —. Таким образом, например, 2е 111 число Ф=Е[ — ~ в этом случае годится одновременно для '12 ~ всех х. И здесь также следует подчеркнуть, что предметом наших ближайших исследований будут не одни лишь вопросы сходимости ряда (3), но функциональные свойства его суммы. В виде примера можно назвать вопрос о непрерывности суммы ряда, в предположении непрерывности всех его членов; зто — та же задача, которая уже упоминалась выше.
Как оказывается, функциональные свойства предельной функции (или — что то же — суьння ряда) у(х) существенно зависят от самого х а р а к т е р а приближения 1'„(х) к г(х) при различных значениях х. Изучением типических возможностей, которые здесь представляются, мы займемся в следующем и'. 422 гл хп. ознкцнонлльные последовательности и еяаы 1428 2) Положим теперь (427, 3)): з„(х) =, „, 1ипЯх) =0 (О «х~1). л Для любого фиксированного х»О достаточно взять н- Е! — 11, /! ! '(хе! ' 1 чтобы было: Ях)« — е. Но, с другой стороны, сколь большим ни взять н, для функции 1„(х) в промежутке (О, Ц всегда 1 1 найдется точка, именно точка х=- в которой ее значение равно — : н 2' 11! 1 ! /'„ц=--. Таким образом, за счет увеличения и сделать Ях)«.— для всех значений х от 0 до 1 зараз — никак нельзя.
Иными 1 ах словами, уже для е =- не существует " 1+Гю' номера К, которое годилось бы для (а всех х одновременно. На рис. 59 изображены графики этих функций, отвечающие я=4 и -7 0 Х. ! о=40: характерен г о р б высоты к У в 1 —, передвигающийся с возрастанием и справа налево. Хотя по каждой вертикали, в отдельности взятой, точки последовательных кривых с возрастанием н бесконечно приближаются к оси х, но нн одна кривая в целом не примыкает к этой оси на всем протяжении Рис. 59 от х=О до х=1.
Иначе обстоит дело с функциями, рассмотренными на первом месте; мы не приводим нх графиков, ибо они, например при я =4 или н = 40, получаются из графиков, изображенных на рнс. 59, путем уменьшения всех ординат, соответственно, в 4 или в 40 раз. В этом случае кривые сразу на всем своем протяжении примыкают к оси х. Дадим теперь основное определение: Если 1) последовательность (1) имеет в й предельную функйинз ф(х) и 2) для каждого числа е»О существует такой не зависящий й отх номерзч, что ври и Мнеравенство(5) вылолнлется ср азу для всех х из К, то говорят, чтоноследовательность (1) сходится (или — функция Ях) стремится~) к функции Дх) р авиа.черн о относительно х в области К. Таким образом, в первом из приведенных примеров функция з„'(х) стремится к нулю равномерно относительно х в промежутке (О, Ц, а во втором — нет.
4Щ 1 Е РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСГЬ Нужно сказать, что и для прочих функций, рассмотренных в предыдущем и', сходимость н е будет р а в н о м е р н о й. Установим это. 3) Для функции Д(х) =х" [427, 1)) невозможность неравенства х" «е (при и ~ 1) с р а з у д л я в с е х х ~ 1 видна хотя бы из того, что х' 1, если (при фиксированном л) х 1. Рнс. 60 дает представление о своеобразном характере нарушения равномерности: здесь предельная функция изменяется скачком, а горб неподвижен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
