Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ел к-з-.о 1 л(л+1) Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что н ел =А-ао. л(»+ 1) так что х-1 при Ж . Пусть теперь Ф выбрано достаточно большим, чтобы 1) выполнялось неравенство дн+т«е' и 2) соответствующее х было настолько близко к1, что 420! 401 ! 9. СУММИРОВАНИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ С другой стороны, » 2~ -2'" — -Š— "- =-Л"— — Л " = — — "" +2 а .
т «я(ш+1) 2 тл з т+1 з т ! т л-ь! Отсюда, так как первое сяагаемое справа стремится к нулю 1лц ~а --А — а«, ь 1 что и завершает доказательство теоремы. Впоследствии различными авторами был установлен целый ряд тоихих теорем подобного типа (их принято называть «тауберовскимя» теоремами), ввдовзмешпошях н расширяющих условия Т а у б е р а . На иих мы не будем останавливаться, 420, Метод средних арифметических. Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Ф р о б е н и у с у (О. ЕРОЬеп(нз), но связывают его обычно с именем Ч е з а р о (Е. Сезаго), который дал методу дальнейшее развитие. Вот в чем самый метод состоит: зУО частичным суммам А„данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические А» ! А«А«+А«+ ° .
З Ап Ао 1 2 ''' а л+1 если варианта а„при п имеет предел А, то зто число и называют «обобщенной (в смысле гт е з ар о) суммой» данного ряда. примеры. 1) Возвращаясь к ряду 1 †141 †1+1 ... имеем здесь «г-Р1 1 а !«--.—, аы 2!«+1 2 1 -Р Л возле (- =В~,) частичные суммы будут (еслн только 0 О) 26 Г. М. Фктт«««тояьц, т.
П 1 так что а„- — . Мь« 2 Абеля (418, 1)). 2) Для ряда пршпли к той же сумме, что и по методу Пу а с с о па†з!и ~л+ — ) 6 Ад 1 402 Гл. хз. ББсконнчные Ряды с постоянными члннлми [426 Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические: л (иф1)и„= — ~ 5!и ~и!+ — ) В- 1 и 0 2 25[в — В 2 л — [Ссз .,1 и=с 4 ап< — В 2 тВ -соз(т-1-1)В[:.— В Нп (и 41)— 2 1 — сок(и-Ь! )6 ! В нп— 2 1 2 45!п' — В 2 Итак, окончательно 6 !и (и+1)— 2 1 а =.
2(и-!-1) В пп— 2 Очевидно, а„-О! для значений О и 0 «обобщенной суммоя< и здесь служит 0 [ср. 416, 2)!. 3) Наконец, пусть снова предложен ряд 2' зш БВ (-и=О~и). л 1 Имев при О 1 ( 11 соз — Π— соз ![и+-) О 2 ~ 2) Ал 1 2«ш — В 2 -!-1 [5ш (!и+! )6 — 5!и тВ! = 6 и=! 1 1 Отсюда ясно, что и„-- с!я — 6. 2 2 Но всех случаях по методу Ч е з а р о получилась та же <обобщенная сумма<, что и выше, по методу пуассона — Абеля. ниже [421! будет выяснено, что зто — не случайность. И здесь также непосредственно ясна л и н е й н о с т ь метода.
Известная же теорема К о ш и [ЗЗ, [3)) в случае существования предела [!Б1 Ал — — А и затем и«1 1 1 (и+ 1)кл = — с«я — В— 2 2 „1 4 5<п!— 2 ио1 1 пп(и+2)6-зшО с«я-О- 2 2 1 45<в' — О 2 401 4211 1 9. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ удостоверяет наличие того же предела и для средних арифметических по. Таким образом, метод Че заро является регулярным. 421. Взаимоотношение между методамн Пуассона — Абеля и Чезаро.
Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу гргдт>т арифметических к конечной «гул>ме А, пю необходимо ал - = о(п). л41 Дейс~вительно, из ал , А н — — ил А следует, что (л+1)хлс — ивл-с Ал л л а тогда и лл Ал л 1 Ал-с — =- — — — — =-О, и л л и-1 что н требовалось доказать. Поставленный в заголовке вопрос исчерпывается следующей теоремой, принадлежащей Ф р о бе ниус у: Ес.«и ряд (А) суммируем по методу средних арссфлсетических к конечной «сумме» А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и прито и к той же сумме. Итак, пусть хл А. Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда >'(х) = л а„х" и о для О х«1.
Выполнив дв аж ды преобразование А беля (см. 383 и особенно 385, 6)], последовательно получнмо Лх) = (1 — х)~Алки =(1 — х)зл(п ч 1)алхл и=о и о "' В справедливосгн этого тождества легко убедиться и непосредственно, отправляясь от заведомо сходящегося, ввиду ограниченности ал, ряда справа: (1 — 2х ->-х»)Х, (л+ 1)алхл = о =21(л+1)в — 2 л с-Р(л-1)а~ »)тл= о = «»(Кл+1)ссл — лвл  — (лил,— (л-1)ил»))хл= о = Л(А л — Ал — с)х™ = ~алло. о о (При этом мы полагаем л «с и . -А,-О.) Сходимость последнего ряда здесь получается сама собой. 26« 404 ГЛ.
ХЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1421 [при этом следует помнить, что А»+А»+... +А„= (и+ 1)ЕА1. известно, что (длк О х 1)(1 — х)»=~(л+1)х" или о ! = (1 — х)»~(п -» 1)л"'. Умножнм обе части этого тождества на А и вычтем из него почлеено предыдущее тождество: А — У'(х) =(1-х)»~(п ' 1)(А -и )х'. »=0 Сумму справа разобьем на две: (1-х)»~ е(1 -х)»~, причем число Х выберем так, чтобы лри и Л~ было )А -а.„) е, где е — произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине н сама будет меньше г (независимо от х1), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения х к 1.
Этим и завершается доказательство [ср. с доказательством теоремы Абеля в 4181. Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чеза ро, приложим и метод Пуассона — Абеля с тем жерезультатом. Обратное же неверно: существуют ряды, суммируемые методом Пуассона — Абеля, но не имеющие»обобщенной суммы» в смысле Ч е з а р о. Рассмотрим, например, ряд 1-243 †...
Так как здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средник арифметических, указанное вначале, то этот метод не приложим, В то же время ряд 1 — 2х+3:Р-4х'+... имеет (при О х«-1) сумму, которая при х 1-0 стремится 1 (1+к)' ' 1 к пределу 4. Это и есть»обобщенная сумма» нашего ряда по Пу асс ону-Абелю. Таким образом, метод П у а с с о н а- А б е л я является более мощным, т, е. Нриложвм в более широком классе случаев, чем метод Че заро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложнмыми оба. 4221 1 Э.
СУММИРОВАИИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 422. Теорема Ха рди — Ландау. Как и в слу«ас мЕтоДа П у а с со па†А б е л я, для метода Ч е з а р о также могут быть доказаны теоремы отауберовского> типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при налични которых из суммируемости рида по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно. что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона — Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода «1езаро. Например, сама теорема Таубер а перефразируепж теперь так: если ил-А и вылолннетс.ч условие а, +2ав 1-...
Ьлал 1йп - — =О, (9) то одновременно и Ал-А. Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества а,+2а,+... +«ал* Ал ил= и которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9). Харди (П. Н. Наеду) установил, что заключение от ««„А к Ал А можно /1) сделать не только, если ал = о ~ — ) (это содержитсн в предыдущем!), Во и при более (л) нароком предположении, что ~««а«л~ «С (С=сопв1; т=1, 2, 3, ...).
Л а н д а у (Е. валдаи) показал, что можно удовольствоваться даже «односторонним> выполнением этого соотношения: Если ряд (А) сул«мируется к >сумме«А «о методу сред«их арифметических и нри этом вылолняется условие «лат — С (С=сопи; т-), 2, 3, ), гло одновременно и Лал =.4. о (Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смыслю тат С. В частност>ь теорема, очевидно, приложима к рядам с членами и о с т о я н н о г о з в а к а.) Для доказательства рассмотрим сначала сумму о« Ат, и=о+1 ' Имеем (л >1)А« — («Р1)ил=(л+1)Ал — (АодА,+...
ЬА„) = =(Ал-Ао)+(Ал-А«)Р -~.(Ал-Ал-«)— =(а«+«>-~-" +ал)+(а>-ь +ал)+". >а«~= =а Р2а>ч ... +«ал. 406 ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ (422 где л и /г — произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводитсв к виру пег и 5= ~~Ам- ~', А,п=(я+0+1)«п/а (л-/1)ап=йгп+/~Ч (л-/1)(«п+1 «и). (10) п-Е т-Е если взять любое Ат (при л т лч-к), то, используя предположенное неравенство С лп, » — —, можно получить такую оценку снизу: /г Ат — — Ап-~-(лп+1+...-Рлт) Ап — -С.
и откуда, суммируя по т, найдем /г' Ю ЕАп — — С. Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству; и+1 Е Ап «пч ь+ — («пел-«и) -~-- С. /г л Станем теперь произвольно увеличивать л до бесконечности, а изменение /с /г подчиним требованию, чтобы отношение — стремилось к наперед заданному числу е О. Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу А+гС, так что для достаточно больших значений л будет Ап А+21С.
(12) Совершенно аналогично, рассматривая сумму и 2~ Ат /г«п — /ГР(п~ 1)(«п «и — в) ю= — ге 1 и проведя лля Ат (при л — /г т л) оценку сверху: /г Ат = А„— (атьгЬ ° .. Бал)-Ап 1 -- . С, л-/г придем к неравенству /ге о /гАп-Р— — С л — /г Отсюда ль! А, ап 1+-- — («и-«и 1)-.— С. /г 1/-Е Если л- и одновременно — -г, как и прежде 1но на зтог раз пусть г- — ~, то л 2~ правая часть этого неравенства стремится к пределу А — — — С-А — упС. Следо1 — е вательно, для достаточно больших л окажегся АА»А — 21С (13) Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно, 1!п1.4п= 4 Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
