Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 63
Текст из файла (страница 63)
412. Вычвсяевше корней. Проще всего корни вычисляются с помощью таблицы логарифмов. Однако если отдельнью корни нужны с большой точностью, то целесообразно прибегнуть к биномиальному ряду (407 (22)ф т(т — 1) т(т — 1)(т — 2) (14х)т=14лие х'+ хз+... 1.2 1 2.3 Предюловнм, что нужно вычислить 1'А, причем Уже известно приближенное значение а этого корня (по недостатку или по избытку), но требуекя его улу ппить. Если, скажем, А — -14х, где )х) есть небольшая правильная дробь, то можно преобразовать корень сле- луюшим образом: 8 )сА =а ~/ — =а (1+х)" 1 и использовать биномиальный ряд при т= —.
Иногда выгоднее исходить из ра- венства lс а" — =1ех', А если )х') снова — небольшая правильная дробь, и прибегвугь к другому пре- образовавиюс )А=,— -а (1+х) ", 8 после чего применвть биномиальный ряд, взяв т = — — . ес Для примера, вычислим с большой точностью 1'2, исходя из его вриблвжен- ного значения 1,4. С этой целью преобразуем кореиыю одному из указанных двух образцов: 1 Уг=),4 1) —.=1,4 1( !+ — '=14 1(1+ — ) ~ 1,96 ~! 1,96 ' ~ 49! 1.4 1,4 Для облегчения вычисленвй естественно предпочесть второй путь.
Итак, имеем: 1 1 3 1 5 5 35 1 63 1 2 50 8 50' 16 ЯР 128 50' 256 508 ) 384 ГЛ. Хь БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1413 Ограничимся напнсавнымн членами; все ошг представляются конечвымл десятичными дробями: 5 1 1+ " ° + — — = 1,0! 01525 16 5(п 35 1 — — = 0,00000004375 128 504 63 1 — —, = 0,0000000007875 256 50'" 1,0101525445375 х 1,4 = 1,4!421356235250. 1 Так как коэффициенты нрн степенях — убывают, то поправка может быть 50 оценена, как обычно: 231 ( 1 1 1 1,4 231 2,1 1024 Я)' ( 50 50' / 1024 50'49 1Он Поэтому 1,414213562352 )Г2 1,414213562373, 1Г2= 1,4142135623, все десять знаков после запятой верны.
Использовав преобразование 1 )(2=1,41 ~1- ) ', легко получить значительно болыпее количество знаков. Приведем еще несколько прнмеров подобных преобразований (предоставляя вычисления с помощью бнномиального ряда читателю): 1 10 (, 1 ), 1 ~ГЗ = — ~1+ — )'. л(х) „с (- 1)ииьэи=аз а,х+агхз - ... +( — 1)иаихи е ..
и-о (3) где х»0. Мы лишь для удобства представляем lг-ый коэффициент его пол вндом (-1)"аьэ вовсе не предполагая все а» О. Для варианты аа(/с=О, 1, 2, ...) Мы введем в рассмотренна последовательные разности (наподобие того, как сделали это в 122 по отношению к функция у(х) от вепрерыию меняющегося аргумента х): Лик=ни+э — иы 5'аг=Лаиээ — г)ли=ах+э-2аи+э+ии 413.
Преобразование рядов не Эйлеру. При использования ряда для приблнжевных вычислений иной раз оказывается выгодным предварительно подвергнуть его преобразованию. Так называется замена данного сходящегося ряда — по тому нин иному правилу — друпгм рядом с той же суммой. Конечно, применять такое преобразованне целесообразно лишь в том случае, если новый ряд быстрее сходвтся н удобнее для вычпслевнй. Выведем формулу для классического преобразоваши, носящего лмя Э й л е р а. Пусть дан сходящийся ряд 335 413) 1 а. Вычисления с пОмОщью РядОВ и, вообще, Арак АР-закрз-АР-зак акчр-срак+Р з<сракчр з — ...+(-1)Рак.
(4) Перепишем данный ряд так: ао а,х-а,х а,х' — а,х' азха-акта Б(х) = + ° ° 1+х 1+х 1фх 1+х Это дозволительно, так как /о-я частичная сумма нового ряда разнится от авало- 1 гичной суммы ряда (3) лвшь слагаемым — (-!)К+'ак+гх"+', стремыпимся к О 1+х при й- ввиду сходнмостн исходного ряда (Зб4„5'). Введем теперь разности для упрощения записи: 1 5(х)= — (ао — Аао.х-1-Аа .хз- Аа„.хз ! ) 1+х Сохраняя первый член — —, остающийся ряд ао 1рх х — — (Аао-Аа, хеАа, х'- ...) 1+х перепишем, как и 5(х), в форме х 1 — —.— (Аа,-А'ао х+А'а, х'-...), 1-Ьх 1фх так что, если снова выделить первый член, имеем: а, Лао х' 5(х)= — — — х+ — (Л'а,-А'а, х 5-...).
1+х (!+х)' (1+х)' Продолжая поступать так н далыпе, после р щагов получвм: ао Аао А'а, Ар 'а, Я(х)= — — —.х+ х* — ...+(-1)Р-з —.хр-'-рйр(х); (5) 1+х (1+х)з (1+х)з (1+х)Р где хр хр йр(х) = ( — 1)Р— (Арао — Арак. х+ Арак х' — ...) = ( — 1)Р— 2', (-1)КАРаах". (1+х)Р (1+х)як=о Обратимся к доказательству того, что лр(х) при р- стремятся к О. Заменив р-ую разность Арак ее разложением (4) н переставив суммирования, получим 1 Р )(Р(х) ~ (-1)кеерхк+Р,~( — 1) Срак!.р (1-1-х)рк с з=с Р ХСзр 'Л(-1)кчр-! „;,, ~чр-!.
И+х)Р! с к с 25 Г. М, Фоз е и, з. П гл(х)=,~(-1)х+"ля+лясс+я (л=б, 1, 2, ...), с=о то выражение для )ср(х) окончательно может быть написано в виде Л, Срх ° ср (х) ~, Срхс~ ~ с,(х) )(р(х) = П+х)Р (1-1-х)Р н так как с„(х) О, то в силу 391, 6', и )(р(х) -О. Переходя в (зз к пределу при р, йайдем, что х '1Р 5(х) = — — — ~лс — Лас — +Лсас.
~- — ! —... +(-1)РЛРР,. — ~ .! Подставляя вместо 5(х) его выражение(3), мы и придем х лреобразохаяяю Э йх х ра: 1 х )р ~.( — 1)хатха= — — ~ (-1)РЛРа, ~ — — ~ . 1+к р=о '1 -4 (6) Чаще всего его применяют при х=1; тогда оно преобразует числовой ряд в числовой же: (-1)РЛРл, с=а р-о 2Р+' 1 414.
Примеры. 1) Положим ая, где х — любое постоянное число, от- 7 ссс личное от О, — 1, — 2, — 3, ... Ряд ( 1)й 2': с=о хф)с если отбросить в нем достаточное число первых членов, скалится рядом огейбиицееского типаз и, следовательно, сходится. Легко вычисляются последовательные разности Лам Л'ам ..., и с помощью математической индукции находим: рс Ляля = ( 1)~ (хч-)с)(г+)с+1)...(г~-lс+р) в частности, р) Лясс .( 1)р г(х+ 1) . ° ° ° (г-~-Р) Таким образом, по формуле (7) Л:=2', —,- - ( 1)» " 1 р. о ггч-)с =о2Р+' г(г+1) . ° ° (х+Р) 386 ГЛ. Хг. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ (414 Если ввести обозначение для о с т а т к а исходного ряда (3), положив 414! 281 1 8.
ВЫЧИСЛЙНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ Если положить здесь 8=-1, то получится преобразование известного ряда для !п2:, !п2 — ~" ( 1)т-л 1 1 е=л ал «=ля 2" Читателю ясно, что вторым рядом для приближенного вычисления!и 2 пользоваться гораздо выгоднее; чтобы получить точность в 0,01 в первом ряде потребовалось бы 99 членов, в то время квк во втором достаточно было бы взять 5 членов! 1 2) Пусп а»=- - (г отлично от О, — 2л — 4, ...). Представив а» в виде: 8+ 2» а» = — — —.—, для выражения л) Ро«мы можем воспользоваться прежней формулой: 2 г — ьlл 2 1 2Р+л.рл г)ра«=(-1)Р— — — .=( — !)Р.—— 2 г л'г '! (г ! 2 г(842) ...
(г-Р2р) 2(2 ~ (2' ) В этом случае преобразование Эйлер а имеет вид: 1 1 р! Л (-1)' — =- Л л=с г+2)л 2 р=вг(г+2) ... (г' 2р) В частности, при 8-1 отсюда получается преобразование ряда Лейбница, выражающего —: 4 ( 1)/л и 1 1 " р! 4 л.=о 2» (.! 2 Р=-с (2Р+1)!! 3) Для 0«их-..1 мы имели в 404 (в) разложение 1 агс18х-- ~, (-1)» — х'к"'. л,=о 2/с+! Желая применить к этому общему ряду преобразование Э и л е р а, положим 1 в (б) а» = —; тогда для г)ро«можно использовать формулу предыдущего при- 2»-Ь1 ' мера (при 8= 1); 2р!! г)ра„= ( — Л!ЛЛ (2р+1)0 Кроме того, заменим в (6) х иа хг и обе части равенства еще умяожим иа х.
В ре- зультате получим: 1 „х 2рй Л х' )Р агс!8 х= ~; (-1)» — хм+'= — ~ " ~ — ! . (8) л.—..с 2»Р1 1+х'Р=о (2Р+1)В 1+х' 388 ГЛ. Х!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1415 4) Не следует думать, что эйлерово преобразование сходящегося ряда в с е г д а приводит к улучшению сходимости. )При этом, сраввввая качество сходвмости двух рядов „~~ сн и .~~ сг с члеыами любых знаков, мы, как и в 375, 7), исходим г=.о г о !Ус из поведения отиошевия их соответственных остатков у„и У„: если —, --О, то Уп первый ряд сходится быстрее, а второй — медленнее.) Вот примеры: 1 1 1 ~', ( — !)" — „переходит в бы от рее сходящийся ряд ь-о 2" г=о2 4Р 1 — переходит в м е д л е и и е е сходяшнйся ряд л, — ~ — ) .
г. О2к „=о2 '!4) ' 5) При использовании преобразования раца для вычислеиий часто бывает выгодно первые несколько члеыов ряда вычислить непосредственно и преобразованию подвергвуть лишь о с т а т о к ряда. Проюшюстрируем это еа примере вычисления числа н с помощью ряда, выведеыыого в 2): 1 12 123 12 .."р н.=2г1-Р— -1- — 1- — + ° . ° + + ° ° ° 3 35 357 3.5 .. !2р+1) р 1 Так как отыошевие последующего члена к предыдупгему — —, то отбрасы2рч! 2 воемый остаток ряда всегда будет меньше последнего вычисленного члена. Например, мы получим шесть верных цифр числа л после запятой, вычислив 21 член лаписаиыого ряда, ибо 21-й член 1 2 3 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
