Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Предел частичной суммы ряда п и ...,...,,=л л 2;,,,...,, «1 «=1 «=т при п, из, ...,р - (конечный нли бесконечный) есть с у м и а ряда. Ряд называют сходящимся„если он имеет конечную сумму. Важнейшим классом кратных рядов являются с т е п е н н ьт е ряды с несколькими переменными: а, з «х'уз... т'.
ь«,...и=о На кратные ряды также распространяются основные понятия и предложения изложенной выше теории. й б. Бесконечные произведеняя 399. Основные понятия. Если ЫЫ Рз Рп есть некоторая заданная последовательность чисел, то составленный из них символ" Рз'Рз'Рз' ° 'Рп ° = П Рп (2) называют бесконечным произведением. а У нвс уже встречалось таксе обозначение длн произведения, но лишь конечного числа сомножителей. 351 ! б. БЕСКОНЕЧНЪ|Е ПРОИЗВЕДЕНИЯ Станем последовательно перемножать числа (1), составляя частичные произведения Р| =Р! Рз= Р| 'Рз Рз =Р! 'Ря 'Рз Рл =Р| 'Рз ' ° 'Ря Эту последовательность частичных произведений (Р„) мы всегда будем сопоставлять символу (2). Предел Р частичного произведения Р„при п- - (коиечный или бесконечный) 1пп Р„= Р называют значением произведения (2) и пишут: Р=Р!'Рз ° ° ° 'Ри' = При ° ч=! Если бесконечное произведение имеет коле ч но е значение Р и пр итом отличное от О, то само произведение называют сходни)имея, в противном э|се случае — расходяиуимсяч.
Достаточно одному из сомножителей произведения быть нулем, чтобы и значение всего произведения также было равно нулю. В дальнейших рассмотрениях мы этот случай будем исключать, так что д л я нас всегда р„мО. Читатель легко установит аналогию с бесконечными рядами ~362) и уяснит себе, что — подобно рядам — и рассмотрение бесконечного произведения также есть лишь своеобразная форма изучения варианты (нли последовательности) и ее предела. С этой формой полезно познакомиться, так как в иных случаях она представляется более удобной, чем другие. 1! 4ав.
Пр р . !) Д' ! 1- — ) . "! Твк квк чвстячиое произведеиие 1 то бесконечное провзвелевие сходится, и его значением будет —. 2 2) Формула В ел лв с а [3!2) и 2 2.4.4 ...2л 2л — 11!и 2 я 1 3 3 5 °... (2» — 1).(2я+!)' ' Таким образом (подчеркием это), если Р О, то произведение для иас будет расходящимся. Хотя эта терминология идет в разрез с термилологие», прииятов для бесконечных рядов, ио сия общепринята, ибо облегчает ФормулиРовку многих теорем.
352 гл. хк ьнсконпчныс ряды с постоянными члннлми [400 очевидно, равносильна разложению числа — в бесконечное произведение 2 и 2 2 4 4 2л 2л 2 1 3 3 5 2л — 1 2л+1 Она же приводит к формулам (2л1+1)Б1 4 н — т ~ 4лгл1 ч, 3) Докажем, что (при )х[ 1) 1 (!фх)(1+хл)(1+хл) ... (1+х' ) °...=- — —.
1 — х Действительно, как легко убедиться последонательным умножением, (1- т).Р„=(1 — л)(1+х)(1+х) ... (14хлл ) =1-х'-", 1 — х' Рл=— 1-х Отсюда в пределе и получается требуемое равенство. 4) Мы имели в и' 54, 7а) предел: Б 11п| соз — соз — ...° соз — = — — ((л л О). л 2 2л 2л 0 Теперь мы можем записать это так: е Б(пр 1[ соз — =. — —. л=т 2" (л В частности, при Бл = —, придем к разложению: 2 2:т и л — -СОБ — СОБ — ... СОБ —.. л 4 8 '' 2л-Й Если вспомнить, что соа — =. — и соз — = — + — сочи, 4 [( 2 2 [' 2 2 то разложение зто можно переписать в виде [Вне т а (Е.
У(ее а)ф Эта формула вместе с формулой В а л лиса представляет первые примеры бесконечных произведений в истории анализа. 5) В 315 (1О) для полного зллиптического интеграла 1-го рода мы установили формулу К(/л) = — Вю (1+)Б,)(1+13).... (1+ )л„), 2л 353 4ЕЦ 1 б. Бес!гонечные пРОизВедения где варианта lг«определяется рекурреитным соотношением: Эта формула дает разложение К(В) в бесконеченое произведение 6) Рассмотрим еще такое бесконечное произведение: 1 У7 л=1 1 я В данном случае часпзчное произведение имеет вид 1 1 1+ — Ь...
1— 2 «е!» «С.~У» Рл = — .е '.ет", л С я-1-1 л-Ь1 яь1 где С вЂ” э Иле ров а и о от о анна я„а у«бесконечно малая 1367 (4)1. Таким образом, произведение сходится, и его значение 401. Основные теоремы. Связь с рядами. Отбросив в бесконечном произведении (2) первые т членов, получим о с т а т о ч н о е произведение и =Р ы'Р ьз' .. ° 'Рлыь' ° ° ° = П Р (4) «= ля 1 которое вполне аналогично о с т а т к у бесконечного ряда. 1'. Если сходится произведение (2), то сходится, при любом гп, и произведение (4); обратно, из сходимости произведения (4) вытекает сходимость исходного произведения (2)л. Доказательство предоставляем читателю (ср. 364, 1'). Таким образом, и в случае бесконечного произведения отбрасывание конечного числа начальных множителеи или присоединение вначале нескольких новых множителей на его поведении не отражается. 2'.
Если бесконечное произведение (2) сходится, то 1пп 22„=1 «~ (см. (4)). * напомянм, что мы раз навсегда предположили р«2» о. 23 Г. М. Фл 2»«гол»л, 2. П ЗЗ4 ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ [40! Это следует из равенства Р и м РА1 и из того, что Р стремится к Р-, О. 3'. Если бесконечное произведение (2) сходится, то 1ппр,=1. и Действительно, вместе с Р„, и Р,, стремится к Р, йи1 ЄРйшр л !Бв Р„, Р 5 [пр„. п=1 При выполнении этого условия, если Ь есть сумма ряда, ил1еем Р=е".
Обозначив через Е„частичную сумму ряда (5), будем иметь: Ь„=1п Р„, Р„=Е1- . Из непрерывности логарифмической и показательной функций теперь следует, что если Р„стремится к конечному положительному пределу Р, то Ея стремится к 1п Р, и обратно — если Е„имеет конечный предел Ь, то для Р„пределом будет еь. При исследовании сходимости бесконечного произведения (2) часто представляется удобным, полагая р„=[+ а„ записывать сго в виде Д([л а„), л 1 (2") [Ср.
364, 5'.1 Не перечисляя других свойств бесконечных произведений, аналогичных свойствам бесконечных рядов, мы обратимся к установлению связи между сходимостью бесконечных произведений и рядов, что позволит нам непосредственно использовать для произведений подробно развитую для рицов теорию. В случае сходящегося произведения, множители р„, начиная с некоторого места, будут положительны (3'). Впрочем, ввиду 1', мы не нарушим общности, если будем впредь предполагать все р„=.О. 4'.
[[яя того чтобы бесконечное произведение (2) сходилось, необходимо и достал!очно, чтобы сходился ряд 4011 355 1 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ а ряд (5) — в виде .~ !п(1 4 а„). л г (5*) В этих обозначениях имеем простую теорему: 5'. Если, по кровлей мере для достаточно больнгих и, будет а„- О (или а„О), пго для сходимости произведения (2*) необходима и достаточна сходимость ряда ' а„. (6) Так как для сходимости как произведения (2) так и ряда (6) во всяком случае необходимо, чтобы было 1пп ап=О (7) [см. 3'), то предположим это условие выполненным. Тогда имеет место соотношение гв (14 а,д 1пп л а и [77, 5) (а)).
В таком случае, ввиду того, что члены обоих рядов (5*) и (6), начиная с некоторого места, сохраняют определенный знак, по теореме 2 и' Збб зти ряды сходятся или расходятся одновременно. Отсюда, в связи с 4', и следует наше утверждение. Возвращаясь к общему случаю а„О, докажем еще такое предложение: 6'. Если, вместе с рядом (6), сходится и ряд ~аз, п=г (8) то бесконечное произведение (2*) сходится. В самом деле„из (8) прежде всего следует (7). Вспоминая разложение функции !Н(1ех) по формуле Т ей ло р а [125, 5))„имеем: 1п (1 е ал) = а„- — аз ч о(аг), 1 так что в„- 1в (1 Ь а„) 1 1цп " $2' ап (9) 23" По теореме 2 п' 366 сходимость ряда (8) влечет за собой сходимосгь ряда .л [а„- 1П (1 ч а„)].
(!О) 556 ГЛ, Х1. БЕСКОНБЧНЫБ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1402 Так как ряд (6) предположен сходящимся, то отсюда следует сходимость и ряда (5*), как разности двух сходящихся рядов. Остается применить предложение 4'. Остановимся бегло на случае, когда бесконечное произведение «расходится» к О. 7'. Для того чтобы бесконечное произведение [(2) или (2*)) имело н у л е в о е значение, необходимо и достаточно, юпобы ряд (5) или [(5*)) имел сумлюй — -. В частности, это будет так, если а„«О и ряд (6) расходится, или если ряд (6) сходится, но расходится ряд (8). Предоставляем доказательство читателю.
Лишь по поводу последнего предположения заметим, что из расходимости ряда (8), в силу (9), вытекает расходимость ряда (1О), который будет иметь суммой -~- -. А тогда, ввиду сходимости ряда (6), ясно, что суммой ряда (5*) будет '- -.
В заключение используем связь между произведением (2) [или (2*)) и рядом (5) [нли (5«)) для установления понятия абсолютной сходимости бесконечного произведения. Произведение называют а бсо люти о сходящимся именно в том случае, когда абсолютно сходится соответствующий ряд из логарифмов его множителей. Исследования пп' 387 н 388 сразу же позволяют заключить, что абсолютно сходящиеся произведения обладают переместительным свойством, в то время как не абсолютно сходящиеся заведомо им не обладают. Легко доказать по образцу 5', что 8'. Для абсолютной сходимости произведения (2«) необходима и достаточна абсолютная же сходимосте ряда (6), 402.Примеры. 1) Прнменнм доказанные теорем»1 к бесконечным пронзв«денням: 1) (а) Д 1(1+ — ~ (х О) сходится при х 1 н расходится прн х 1, в согласнн с «=1 [, лх) 1 11 таким же поведением ряда Л, — (5'); аналогично, 11 ~1 — — ) прн х 1 сходится «гпх '»=» [, л4 (5'), а прн 0 х 1 рвсходнтся к нулю (7'), (-И -11 (б) 11 11+ 1прн х — сходится; именно, прн х 1 произведение абпх 2 1, 1 солютно сходится, поскольку сходится ркд ~ — (8'), в при — х~! лро2 1)л — » нзведенне н е в б с о л ю т н о сходнтск, твк квк сходятся ряды ~; » 1 1 1 н .5, — (б'); наконец, прн 0 х~ — значение произведения есть О, нбо первый «=1 Л»х 2 нз этих рядов сходится, а второй уже нег (7').
357 1 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 2) Пусть хл — произвольная варианта, содержащаяся в промежутке ~О, — ) . Тогда произведения и П '-' — "" 1( СО2Х« «=1 сходятся или нет, смотря по тому, сходится ли ряд ~; х,', или нет. .=1 " Предположим сначала, что варианта хл 0; тогда эти заключения вьпекают из 5' и 7', если воспользоваться разложениями [125, 2) и 3)) « и Хл «2!Пкл Хп « соз хл = 1 — — до(хл) — = 1 — — + о(хл). 2 хл б Если же хл к 0 не стремится, то одновременно и ряд расходится, и оба произведения имеют нулевые значения«. 3) Из теории бесконечных произведений легко получить теорему Абеля: если,4; ал — динный нолопюнтееыгый рлд, и Ал о«пинает его числ«юную сумму, то «=1 а, рлд .У, — сходится ини расходится одно«реме«но с данным [ср. 375, 4)).
В дока«=1 Ал зательстве нуждается лишь случай расходимости. Если Ал, то бесконечное ал'1,", А ~ л ал произведение 1( ~1 — — ) т !1 расходитси к О, а тогда(в силу 5') ряд А,— п=2 Ал п=2 Ап и=-2 Ал расходятся. 4) Рассмотрим важное произведение хЦ~1 — -) [ниже, в и' 408, мы увидим, что оно представляет ч1уикциго 2!и х). пусть хи/сл, где /с=О, 21, 22, ... Его сходимость (конечно — абсолютная) сразу вытекает из сходих' мости рида .у †.
Если каждый множитель разложить на два и написать «=1 Л'Л' произведение в виде: х то — так как 1 — — -1 — сходимость при указанном расположен«- Сгг и ив многкителей сохранится, сохранится и значение произведения. Но * Что произведении имеют определенные конечные значения, явствует из того, что все множители их — правильные дроби; однако значения их не могут быль отличны от О, так как нарушено необходимое дгы Зтсга уСЛОвие (3 ), 358 ГЛ ХЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1402 на этот раз сходимость станет и е а б с о л ю т н о й, ввиду иеабсолюгной сходи- мости ряла х я к х х х и х 2ч 2л лл лл так что множители эти произвольно перемещать нельзя, к Х / х)Е— Заменим теперь каждый множитель 1 т — множителем 11 Б — )е "; легко лл лл видетгь что это не отразится ни на сходимости, ни на значении бесконечного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
