Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Мы получим разложение фх) в степенной ряд 342 Гл. хг. Бесконечные Ряды с постоянными членАми !Зйб Например, полагая а» =. 1 или а» -. »*, будем иметь соответственно л» »л» 2 — х„=- Л т( ) ". Š— '„= 2 а(л)л" !.-! 1-х» «=1 ' а=! 1-х» л=! где т(л) означает число, а а(я) — су мы у делителей л 6) Расположив те же члены иначе, без пропусков: г а,х а,х' а,хл а,хв а хв 1 ха а,хв а«ха а,х' авхп лала ааХ" а«ХМ явям Например, взяв а»=а», где ~а~ 1, будем иметь ах )(х) = —, 1 — ах так что (ах)» а х« — — (~а~ 1, (х( 1). а ! 1 — х" «=! 1 — а.х« 7) Полученный результат можно обобщить. Пусть даны два степенных ряда К(~)=ЛЬ.х .
«.=1 !'(х) =. ~ а„хл л 1 Ограничимся значениями к, для которых !х! 1, и оба ряда абсолютно сходятся. Составим матрицу из элементов а«Ь,„хла". Так как (для г«1 и и 1) лал~щЧ-л, то ~ а„Ьмхмл~ ~ ! а«к« ~ ° ~ а«хм л Отсюда легко заключит!в Чта дВОИНой Ряц, соответствующий взятой матРице, абсолютно скодится. Приравнивая, на основании следствии, суммы повторных рядов, найдем тождество: ~ Ьлаг(хлв) =- ~ а«К(х«). ла 1 л=1 " В обоих случаях, как легко проверить, й= 1„ так что достаточно считать просто !х! 1. мы сохраним те же суммы по строкам, по столбцам жс получим, по порядку: )'(х), г(ха), )'(хл), Дх'), ... Таким образом, мы приходим к тождеству, связываю- ЩЕМУ фУНЛЦВИ За Н Га Ча(х) = ~ у(хл). л=! Зйб! 343 ф 5.
ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ Огсюда тождество предыдущего упражнения получается при Ьа,=1 [так что х :(х) =- --4. 1-х! 8) Ряд 2'," х'уа 05=о получается умножением рядов ~; х' и ~ у", которые (абсолютно) сходятся при ~-о т-е !х~ 1 и ~у~ 1; для этнх значений (абсолютно) сходится и двойной ряд. Если !х! 1 или ~у!»1, то нарушается необходимое условие сходимости: общий член не стремится к О, ряд расходится.
Легко проверить непосредственно, что расходимость налицо и в случае, если ~ х! = 1 или !у ~ — !. 9) Рассмотрим ряд ! — (а О, () О). т ! )гл 1 " 1 Ол также получается умножением рядов ~; — и ~ —, которые сходятся при 5=5 ! г=г)гд' и 1 и )) 1, так что и двойной ряд при этих предположениях сходится. Наоборот„ если ам51 (или )) 1), то двойной ряд наверное раскодится, ибо тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам) (ср. следствие предыдущего и'). 10) Исследуем сходямость ряда ! (а О). ! (1'.!.
В)ч Для этого представим его в вице простого ряда, расположив члены его по д и а г о н а л я м. Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то, объединив их для удобства подсчета, получнм ряд 1 (л-1) —. «=э ач Ввиду очевидных неравенств 1 -выл-1 л, 2 деля на ло, будем иметь 1 1 1 1 — — — (л-1).— ~ — —. 2 л~-' ла ла-' ОтСЮда ЯСНО, ЧтО ЛснуЧЕННЬ5й НаМИ ПрОСтОИ ряд СХОдИтСя Прн аж 2 И раСХОдИтСя при аж 2. По теореме 7, то же справедливо и длк двойного ряда.
11) Рассмотрим теперь более сложный ряд 1 Л,4"' Л, „...„, „г. (Рьб), где форма Ах'+2Вху+Су* предполагается определенной положительной, так что А АС- В' О, а таике А н С О. Если через В обозначать наибольшее нз чнсел [А[, [В[, [С[, то, очевидно, А!'+ 2Всх+ С/сс~у(с+ /с)', ас в —.— ОО су (с+сс)м В таком случае нз 10) ясно, что прн 0 м1 наш ряд расходится. С другой стороны, вмеем 1 Л Ар+ 2ВВс+Сссс — [(АС- В*)Н+(Вс+С/сс)] -сс, С С са) Сс 1 (а> Аг 1 ас *н — ° — н, аналОгнчНО, аС Ас сйв ср йм Отстода легко получить, что Сопоставляя зто с 9), видим, что при р»1 рассматриваемый ряд сходится.
12) В теореме 4, вместе с предположением о сходвмости двойного ряда, делается особо предположение о сходвмостн всех рядов по строкам. Следующий простой пример показывает, что без второго предположения обойтись нельзя — оно не вытекаег из первого. Двойной ряд по схеме 3 3 3 3 СХодится, его сумма равна О. Между тем все ряды по строкам расходятся.
13) )сегаловича суммы следующих двойных рядов; 1 1 (а) Я вЂ” = (р--1)1 , =з(р+л)'" р+1 1 (б) ~ — = 1и 2,' ~ =а я=1 (2Л)св 1 1 (г) 4,,' — йс 2,' гья 1(4в-1)ьв 4 1 в 1 (в) ~ = — — 1п 2; 1 (4л — 1)вя+' 8 2 1 л От) 2' 1(4л — 2)см 8 344 гл. х1. Бнсконнчныв РЯДЫ с постОЯнными члвнхми [398 345 3951 ! к повтогнып и двойиын гиды Указание. Перейти к повторному ряду, начав с суммирования по т, 34спользовать разложения 1 1 ! 1 — — Ь вЂ” — — 4 ...=!п2 2 3 4 1 1 1 л 1 — — 1- — — — ! ...==— 3 5 7 4 как известные. 14) Рассмотрим функцию двух переменных х г!г — г '! р(х, г)=е (гаО). Перемножая абсолютно сходящиеся ряды х получим для этой функции (также абсолютно сходящийся) двойной ряд (х !и-а ( 1)к Ч(х, г)- с!=о !123 !!Л! Собирая (следствие) члены с одинаковыми степенями г, можно преобразовать его в повторный ряд е р(х, г) = ~ Оа(х) г",ь где для и- О ( 1)к .
я л у,(х)=- 2 !,-о )г!()г-Ь я)! 1 2 ! адлял О "() „~„)г!()г+ )!'(г) Впрочем, легко видеть, что У а(х)=(-1)а,7„(х). Функция Оч(х) (а=О, 1,2,...) называется фун к циси Бесселя со значком л; зги функции играют важную роль в математической физике, небесной механике и т. д. Функция р(х, г), яз разложения которой они получаются, носит название !производящей функцииь для бесселевых функций. * Сумма .~~а„, по определению, есть сумма двух рядов ~па+ 2'а а.
я=о л=! ЗВЬ) В 5, ПОВТОРНЫЕ Н ДВОЙНЫЕ РЯДЫ Если хоть для одного луча Я(0) = +, то, в силу леммы, ряд оказывается сходящимся (и притом — абсолютно) на асей плоскости„ которая и играет роль вобласти сходимостив овК Исключим теперь этот случай всюду сходящегося ряда. Тогда Я(0) будет конечной функцией от 0, и на каждом луче Ос, пай дется пограничная точка М„для которой ОМ„=Я(0). Она отделяет точки М луча, в которых ряд (абсолютно) сходится, от точек, где он расходится; в самой точке М„смотря по случаю- может иметь место и сходимость, и расходимость. Рис. 55. Если провести через М, вертикаль РР' и горизонталь ДД' (см.
рисунок), то в и у т р и прямоугольника ОРМвм ряд заведомо сходится, а в н у т р и угла Я'МвР' — заведомо расходится (по леьеис!). Поэтому на новом луче ОЬ', отвечающем какому-нибудь другому углу 0', вдоль ОЯ будет сходимость, а вдоль ол.' — расходнмость. Следовательно, пограничная точка М,. на этом луче должна лежать между Я и О'. Отсюда легко усмотреть, что, при изменении 0 от 0 до —, Я(0) изменяется непрерывным образом, так что точка М„ описывает в первом координатном угле непрерывную и о г р а и и чную кривую. Так как при уменьшении 0 абсцисса хв точки М, не убывает, а ордината ее ув не возрастает, то обе имеют предельные значения при 0-0.
Тогда, очевидно, имеет предельное значение и Я(0). Если этот предел йш Я(0) = Я в-о 348 ГЛ. Х!. ЬЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 139т конечен, то, точка М, стремится к некоторой предельной точкс Мв (Я„О) на оси х, в противном же случае пограничная кривая имеет аснмптоту, параллельную оси х (которал может совпадать и с самой осью х).
Легко перефразировать все сказанное и для случая, когда Π—, меняя 2' ролями оси х и у. 3 а м е ч а н и е. Не следует, однако, думать, что предельная точка Мьв, о которой только что шла речь, необходимо совпадает с п О- гранич и ой точкой Мв на самой оси х. Точка М, может оказаться и правее Мв (и даже лежать в бесконечности).
Возможность зта не должна удивлять читателя, ибо лемма и построение на ней рассуждения относятся лишь к точкам в н е координатных осей. Дополним теперь построенную в первом координатном угле кривую симметричными ей (относительно обеих осей и начала координат) кривыми в остальных углах. Таким путем мы получим полную п ог ранич ну ю кривую, которая в существенном и определит интересуюшую нас »область сходимости» суг: в пюй части плоскости, которая извне ограничена этой кривой, ряд (14) сходипия (и притом абсолютно), во внешней части плоскости ряд расходится*, в точках же самой пограничной кривой может иметь л!есто как сходимость, »пак и расхо»димость. Рассмотрим примеры. 397. Примеры.
1) Для ряда х, х»у", ь »=-с квк мы внделн в 393, 8), »Область схаднмссти» '- Уг сводится к о!яры!Ому прямоугольнику ( — 1, 1; — 1, 1) (рпс. 56), в пре- 1 1 делах которого суммой его будет 1 — х 1 — у 2) Двя аналогично ряда .~~ х'у" !, »=! (где указатели », /с изменяются, н а ч пи в я о г 1)»область сходвмсств» будет сссгоягь яз этого же прямоугольника, и о с присоединением обеих координвтиых осей. В этом случае, хотя Ряс. 56, пограничная точка М», О которой речь п»яа выше, и стремится при О 0 к предельной точке М„* (1, 0) нв оси х, но сходимость имеет место иа в с е й этой оси (см.
замечание). » Если не считать координатных осей, вдоль которых в иных случвях, как указывалось, ряд может сходиться и зв пределами этой кривой. 597[ 349 1 з повтовнын и двойныи гады З) Р д х'у" х! ук — =~ — х~ ьт=о !!)с! ~-о й к=о )с!' очевидно, абсолютно сходится иа всей плоскости.
4) Для того чтобы сходился абсолютно ряд — х!ук, (И-/с)1 ст-о е%! т. е. сходился ряд (!+ В)1 ~ х 'г' ) у [", ст о йй! необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 1 =о ,Д' ([х[-Ь[у~)л= 1 — ((х[+)у[) который получается из предыдущего суммированием по диагоналям, Это приводит нас к условию )к[+~у~ -1. Следовательно, здесь юбласть скодвмостие представляет собой косо поставленный квадрат с вершинами в точках (Я1, 0), (О, Я1) (рис.
57). Рис. 5В. Рис. 57. 5) Рассмотрим, в заюпочение, следующий двойной ряд: ~ Х!ух =1ЧХ+Х'Ч-... +Хм+... 4Ху+Х уи... лмк ° ° ° +яму+ ° ° ° +х~у~з- ° . ° Ч-яму~+ ° ° ° чхмумь... Ясли, предположив его абсолютную сходимость, просуммировать его по строкам, то получим: 1 1 (1 4 хЧ х'Ч-...)[1+ху+(ху)"-1- ° ) = — —.
° —- 1 — х 1-ху 350 гл. х«. весконгчныг. гяды с постоянными членами (зрй Отсгодвясно,что длвзбсовютнойсходнмостн необходимо: (х! 1)ху1«1; вместе с тем, этн неранено«нз н д о с т з т о ч н ы. «Область сходнмостна изображена нв рнс. 58; кривые нв ней — рзвнобочные гиперболы. 398. Кратные рады. Дальнейшее расширение понятия бесконечного ряда происходит совершенно естественным образом. Пусть задана бесконечная система ч осел наз...,л занумерованных «(з- 2) значками з, и,..., «', каждый из которых — независимо от других — принимает всевозможные натуральные значения. Тогда символ .2~ па з,...д «з,,л-1 носит название кратного (точнее: з-кратного) ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
