Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В то же время ноаое произведение будет уже а б с о л ю т н о сходящимся, ибо [125, 1)] к к и множители, начиная с некоторого места, становятся положительными правильными дробями. 5) Доказать тождество (при О . и 1) 1 (1+ С)(1 т и')((+ и') (1 «)(1 ЧкД1 Чк)... (Эйлер). У к а з а н и е. Сходимость обоих произведений устанавливается с помощью 5'. Представить первое из иих в виде б) Доказать, что (при и ()) ()(б ~- 1) "(]) ч- л - 1) 1пп О. а(а+ 1)... (и+ и- 1) Для этого достаточно установить расходимость бесконечного произведения или (см.
7'] расходимосгь ряда А это легко вытекает из сравнения написанного ряда с гармоническим. Замечание. Этот пример, равно как и следующие, получительны а том отношении, что показыяают, как иной раз действительно выгодно сводип разыскание предела варианты (или последовательности) к исследованию бесконечного произведения, с использованием развитой для бесконечных произведений теории.
359 482] 1 б. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ " (лх)" 7) Вернемся к ряду .~~ - —, который мы уже рассматривали в 370, 2) (д) л=г Л! 1 и 378. 1) (д). Мы оставилв открытым вопрос о поведении его на конце к =- его е промежутка сходимости. В этом случае получается знак опере мел иый ряд лл ( 1)л л=1 и! члены которого по абсолютной величине монотонно убывают.
Вспоминая теорему Л е й б н и ц а (381], видим, что заключевие о сходимости рида зависит от наличия равенства л" 1 !Вп — — = О, л-- л! е" Так как отношение (л+ 1)-го значения этой варианты к и-му есть то задачу можно представить в равносильной форме — разыскания значения бесконечного произведения Е «=1 Е Логарифмируя, получим (125, 5)] !и =и!и ~1~--) — 1=-л ~ — — — Ч-о( — )) = — — +он, ( и) 1 1 1 1 1 1 так что ряд логарифмов типа (5) расходится и имеет суммой — .
В таком случае (7') значение бесконечного произведения (а с ним — и искомый предел), действительно, есть О. Ряд сходится. 8) Исчерпаем вопрос о поведении гипергеометрического ряда а (и91) ... (аЬл — 1) ]) (]3+1) ....(]59л — 1) р(а, б, у, х) = 1+ ~ л 1 л!у.(у+1) ... (у+л-1) (см. 372 и 378, 4)] при х=- — 1, в предположении, что — 1м;у — и — 13мО (имеано этот случэй остался без рассмотревияй Отношение (л+1)-го коэффициента к л-му здесь рамю: ( ]-л)(0+и) у- — 5+1 1„ =1— + — (]йл ]лкЫ.
(1->л)(у+л) л и' ЗОО !"Л. Х!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1402 Для достаточно больших значений л это отношение положительно; пусть у-«- -1) — 1, тогда оно окончательно становится меньшим единицы. Таким образом, ряд 'У(-!)л ' '''" ' ' '"'' ', Н2) «(«Ь!).... («+л-1) !5 (б+!) ... (!5+л-!) л!у (уж!) ""(у+л- 1) если отвлечься от некоторого числа его начальных членов, оказывается знако- переменным, с монотонно убывающими по абсолютной величине членами. И здесь нахождение предела (абсолютной величины) общего члена удобнее свести к опре- делению значения бесконечного произведения: ~~, («ч-л)(рч-л) в=я, (1ьв)(у+л) («ч-л)(!5ч-л) 2л — — = 1+ — (! Лл !.нь); (1ел)(учл) л' по теореме 5', значение бесконечного произведения отлично от О, для ряда (!2) нарушается необходимое условие сходимости, р я д р а с х о д и т с я.
Мы, наконец, завершили исследование поведении г и л е р г е о м е т р ич е с к о го ряда. Результаты могут быть сведены в таблицу або. сходится !х! 1 !х~ 1 расходится у-« — (г 0 у- — (7 О або. сходятся расходится х=! або. сходится неабс. сходится расходится у-«-!5 0 О=у-«-б — 1 у — « — !5ж — 1 х= — 1 9) Доказать, что ряд ~ ач(хз — 1)(х' — 20... (х' — лф в=1 сходится для всех значений х, если сходится хоть для одного нецелого значения х=х, (Стирлинг (Т.
Ебгйпи)). Члены этого ряда опгичаютсч от членов сходящегося ряда 2 а„(хеа-1)(х',-2)...(х,з-л) в=1 " начальное значение л=л, предполагается настолько большим, чтобы все миохштели были положительны. если у-«-!5 — 1 (как мы предположили), то из (!1), в силу 7', ш1едует, что это произведение имеет значение 0: ряд сходится. В случае же, когда у-« -!5= — 1, формула (11) получит вид 36! 4б2! 1 е БескОнечные НРОиэведения множителями (х' - 1)(х' - 2')...
(хх - лз) (х1 — 1)(хох 2з)...(хх лх) ' которые при достаточно больших л изменяются монотонно. Остается еще установнп их ограниченность (нбо тогда можно будет применить признак А беля), а для этой цели проще всего убедиться в сходи- мости бесконечного произведения мы предоставляем это читателю. 10) Рассмотрим (вместе с Э й л е р о м) бесконечное произведение ~ +')" Г(х) = — !! (13) х =г х 1+— л считая х отличным от нуля н от всех целых отрицательных чисел. Легко представить его общий множитель так: ~ 1! 11х л! х(х — 1) /! ! =1Е фо~ — !! х 2л' (лх~ ' 1ф— л ( ) я+ 1'(х л!ях л ! х(х+1)(х+2). (л+ 1)х то можно положить и л!Ех Г(х) = !лп - х(х+1)(х+2) ...
(х+л) (14) Написав аналогичную формулу для Г(хе 1), легко в!щетзь что Г(хе 1) лх = йш — =х, Г(х) а- х+1 ел и мы приходим к простому и важному соотчошенню: Г(х-1- Н) = х. Г(х). (15) Если положить х равным натуральному числу жь то получим рекуррентную формулу Г(л1 + 1) = т. Г(т). отсюда, в силу 8', вьпекает, что наше произведение (абсолютно) сходится. Определяемая им функция Г(х) является (после элементарных) одной из важнейших рассматриваемых в анализе функций. ниже [глава х1тг, 8 5) мы дадим другое определение этой функции и глубже изучим се свойства. Так как л-е частичное произведение имеет внд 502 гл.
хг. ьнсконнчнын гяды с постоянными члннлми 1402 Так как Г(1) =1 (что легко проверить), то отсюда Г(т+ 1) = ш! Еще одну важную формулу для фущщии Г мы получим, если перемножим почленно равенства и есх Д ' '1"-.')' «=г х 1+— в из которых первое следует из (13) и (15), а второе легко выводится из 400, б). Мы найдем: х е" сох Г(х+1)= ~7 .— х=г х 10— л или =,Сх Д' (10 ).Е (16) Р,=2, рз=З, рх=5, ..., Рь то при х 1 имеет место тождество 1 1 1 1 1-1- + -1- +... -~- + П,—,=˄— „ 1-— рх а так что это произведение представляет функцюо ь(х) Р и м а н а (Збб, 2)].
Имеем, по формуле для суммы геометрической прогрессии: 1 1 1 1 — = — + — — + ° ° ° + — + ° ° ° РХ (РЗЛ)" (Ра)х Рк Если перемножить к о не ч н о е число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящем натурального числа Ф, то частичное произведение окажется равным Р рх к Это — (бармула В ей ерш тра сса. 11) Приведем замечательный пример преобразования бесконечного произведения в ряд, также принадлежащий Э й л е р у. Если перенумеровать п р ос тые числа, в порядке возрастания: 4021 363 а а БескОнечные пРОизВедения где штрих означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь (не считая единицы) на те из них, которые в своем разложении на простые множители содержат только уже введенные простые числа (первые М натуральных чисел этим свойством, конечно, обладают).
Отсюда и подавно лл О-Р<и)-Л-- Л В=.1 Л Взиб1 ЛХ 1 Вшнлу сходимости ряда ~ —, выражение справа, представляющее его в. 1 а" о с т а т о к после М-го члена, стремится к О при М; переходя к пределу, и получим требуемый результат. 12) При х= 1 соотношение (17) еще сохраняет силу, отсюда хл Р)и)=- П вЂ” -Л вЂ” =М., в~мил 1 в 1 —— Ра так что приМ- на этот раз РР-+, т. е. произведение расходится и имеет значение + В этом состоит данное Эйлером новое доказательство того, что множество простых чисел бесконечно (чем, по существу, в проведенном рассуждении мы не пользовались); ведь при конечности этого множества и произведение имело бы конечное значение. Вели полученный результат переписать так: то, в связи с 5', можно заключить о расходимости ряда 1 1 1 1 ' 1 — -~--ч---л...
-~- — ь... = .5 — . 2 3 5 ра 1=1 рл Это важное предложение дает, сверх того, еще некоторую характеристику роста простых чисел. [Подчеркнем, что оио гораздо сильнее утверждения о расходи- 1 мости гармонического ряда,~» —, ибо здесь речь идет лишь о части его в=л И членов). 4031 365 о т. РАзложения элементАРнь1х Фунггций промежутке [хо,хо+Н) или [хо-Н,хо] (Н -О) имеет производные всех порядков (тем самым — непрерывные). Тогда, как мы видели в 126, для всех значений х в этом промежутке имеет место формула у'(х):=Ях„) ь —,— (х — хо) -'; — ' (х — хо)' л ...
е Т(ха) Г'(хо) Л")(х,) + , л (х -х,)" ь г„(х)„ (3) где дополнительный член г„(х) может быть представлен в одной из указанных в и' 126 форм. При этом и мы можем брать сколь угодно большим, т. е. доводить это разложение до сколь угодно высоких степеней х-х„. Это естественно приводит к мысли о бесконечном разложении; )'(х) =Лх,) ь —,— (х — х,) ь —, (х — хо)' —; .. Т(хо) Т'(х,) .. +, ' (х — х )" +... (4) Такой ряд — независимо от того, сходится ли он и имеет ли, на самом деле, своей суммой Лх), — называется рядом Те й л ар а для функции )(х). Он имеет внц (2), причем коэффициенты его: Г(хо) Т'(х,) Л")(х,) ао=-.)(хо) аз= 1,', а= 2,",..., а„= в, ', носят название коэффициентов Тейлора.
Так как разность между у"(х) и суммой и+1 членов ряда Т е йлора, ввиду (3), есть как раз г„(х), то, очевидно: для того чтобы при некотором значении х действительно име.щ место разложение (4), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член г„(х) формулы Те й л ар а — при этом значении х — стремился к 0 с возрастанием я: (5) 1пп г„(х) =О.
в При исследовании вопроса, имеет ли место это равенство и при каких именно значениях х, нам и будут полезны различные формы дополнительного члена г„(х), выявляющие его зависимость от и. Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда хо=О и функция Дх) разлагается в ряд непосредственно по степеням х: 1(х)=-)'(О) ь, х+, хзь... +, х" Р...в; (6) в Этот ряд обыкновенно называют рядом Маклорена; см. сноски на стр.
247 и 251 первого тома. зев гл. хь вксконвчныв гяды с постоянными членкми 1404 этот ряд имеет вид (1), с коэффициентами: „, ~(о) .. ., Е(о) у"(о) у<»)(о) Выпишем теперь подробнее дополнительный член г,(х) применительно именно к этому частному предположению: х»=0 [126) в форме Лагранжа: г„(х)=, х""', У'1»+')(Вх) (8) у(»+ 1)(вк) в форме Коши; г„(х)=, (1 — О)"х"+'. (9) При этом о множителе 6 известно только то, что он содержится между 0 и 1, но он может меняться прн изменении х или и (н даже — нри переходе от одной формы к другой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
