Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Перейдем к конкретным разложениям. 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др. Докажем сначала следующее простое предложение, которым сразу будет охвачен ряд важных случаев: Если функция )'(х) в промежутке [О, Н) или [ — Н, 0) (Н 0) имеет производные всех порядков, и все зти производные при изменении х в указанном прол)ежутке оказываются по абсолютной величине ограниченными о д и и л) и т е м ж е числом: [Уо')(х) ~ Е (10) (где А н е з а в и с и т от и), то ео всем промежутке имеет место разложение (6).
В самом деле, взяв дополнительный член г„(х) в форме Лагранжа [см. (8)), имеем, в силу (10): 1 ( ) ~ У 1 + ( в ) ! ! х ! г»х =, х "+ т уу»~-1 При безграничном возрастании п выражение (, стремится к О, как мы видели в 35, 1); впрочем, это же [в силу 364, 5'] следует и из сходимости ряда уу»+1 1,- У »=1 (» 1 ))) [370, 2) (а)). Но в таком случае и г,(х) имеет пределом О, что и доказывает наше утверждение. (а) Это предложение приложимо к функциям )"(х)=е", в)их, совх 367 $ Е РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (()(х)= 3'П1х+и 2) з(х-'и -) будут в нем по абсолютной величине ограничены числом ен — для функции е", и един!щей — для з7пх и сов х, Так как коэффициенты Тейлора мы уже вычисляли для зтнх функций в 125, 1) — 3), то можем сразу написать разложения; Х Хл Хл ех = 1+ — + — -!-... -, '— Ф...
2! ' ' л! Хе Хе хы — 1 з(пх=х- — + — —... +(-1)" ' 3! 5! ''' (И вЂ” !)! ' Х1 Х1 ХЛ1 созх=!- — + — —... +(-1)х — Ф. 2! 4! ''' 2Ы (13) Все они имеют место при лю б о м значении х. (б) Нетрудно подобным же образом получить разложения и для основных гиперболических функций, но проще, вспомнив нх определение: ех-е-х ЗЬх= ех.!.
е — х сЬ х= вывести эти разложения путем почленного вычитания или сложения ряда (11) и следующего ряда, который из него получается заменой хна -х: Х Х' хл ,-х ] +,.( 1)л ", Н 2! ''' л! Таким путем мы находим: Хл Х" Х1!' 3! 5! ''' (И-!)! х' хе Х1Х ОЬ х= 1-(- — + — +... + — +... 2! 4! ''' (И)! (в) К функции у=агс(8х доказанное вначале предложение уже не приложимо. Действительно, общее выражение для ее п-й производной, найденное в 116, 8): ,(.) =,„,1.7...щ. ~„=) 2) не гарантирует существования о б щей границы для всех у("!. Так как соответствующий ряд Тейлора !см.
125, б)): хл хе хж-1 х- — + —... Р( — 1)" ' — + 3 5 ''' И-! в л ю б о м промежутке ( — Н, Н), ибо производные их, соответственно, равные 368 ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ [405 сходится лишь в промежутке [ — 1, Ц*, то вне этого промежутка не приходится уже говорить о выражении функции Его[8 х этим рядом. Наоборот, для [х~~] имеем по формуле Лагранжа (8) [с учетом (!4)1: созл+'умап(л+1) ~хе~- — ) ~ ! г (х) ~ -«. — -— л+1 л . +1 ---- — — ! х !"' где уе — — агс[8 Ох. Отсюда ясно, что гл(х) О, так что для всех значений х в промежутке [-1, Ц имеет место разложение 13 кз х!» агс18 х=х- — +- —...
Ч( — Ць '— 3 5 2/с — 1 (15) — первый ряд, дающий разложение числа и. 405. Логарифмический ряд. Если в качестве функции Дх) взять [п(1+х) (х — Ц, то соответствующий ряд Тейлора будет таков [125, 5)): х' х' Хл х- — ь — —... +(-1)'-' — +...
2 3 ''' л Он сходится лишь для значений х в промежутке (-1, Ц**; значит, только для этих значений и имеет смысл исследовать поведение дополнительного члена гл(х). Возьмем его сначала в форме Лагранжа (8). Так как ['(л->1)(Х) ( 1)л (1+х)л+! [116, 2)) то 1 кл+' гл(х) = ( — Цл — * я+1 *(1+ба)л+1 (О 0«!). Если О~хне], то последний множитель не превосходит единицы, и отсюда 1 [г„(х))-= — -, так что гл(х) О (при и ).
' По признаку Даламбера [377! легко убедиться, что ряд (абсолютно) сходится, если [х( 1, н расходится прн [х! 1. Скоднмость (неабсолютная) при к= к1 вьпекает из теоремы Лейб нила [3811. "' Ср. предыдущую сноску; при к- -1 получается (с точностью до знака) расходящийся гармонический ряд. Мы еще раз подчеркиваем, что хотя агс18х и вне этого промежутка имеет определенный смысл, но разложение (15) там уже не действительно, поскольку ряд не имеет суммы. Из ряда (]5) при х=1, в частности, получается знаменитый ряд Лейбница 4 3 " ''' 21.-1 (1 6) 369 4061 з е РАзложения элементАРных ФункЦий Но при х О поведение этого множителя становится неясным, и приходится прибегнуть к форме Коши дополнительного члена (см.
(9)]. Имеем так чзо ~л+ ! 1 — ВЗл )гл(х)(=- —.~ —— 1- ~ х~ ' '(19 Вх) ' но ввиду возможности для О меняться вместе с л, нельзя заключить о том, что (1 — 0)" О. Итак, по совокупности для всех значений х в промежутке ( — 1, 1) действительно будет хт х' 1ХЛ !П(1+х) =х- — + — —... +(-1)л 1 — + .. 2 3 ''' л (1 7) В частности, при х=1 получаем уже знакомый нам ряд 1П 2=1 — — + — —, . +( — 1)л 1 — Р 1 1 л — 1 1 2 3 ''' л (1 8) Из ряда (17) можно вывести и другие полезные разложения. Например, заменяя в нем х на -х и вычитая полученный ряд почленно из ряда (17) (при этом мы считаем )х) 1), придем к следующему ряду: 1п — =2х11+-х'+-х'+... Ф вЂ”,— х'"-';...) . (19) 1+х 406.
Формула Стирлвяпь В качестве приложения покажем, как с его помопзью может быть выведена одна важная формула анализа, носяпЗая имя С т и р л и н г а (1. 81И!юв). 1 Возьмем в (19) х-, где л — произвольное натуральное число. Так как 2л+1 тогда 1 16— 1+х 2л+1 л+1 1 — х 1 л 1 —— 2л+ 1 М Г. М. Фвхттвгольв, т. П Так как при х — 1 будет 1ФОх 1-6, то последний множитель меньше единицы; следовательно, лишь только ~х~ . 1, заведомо г,(х) -О. Любопытно, что хотя форма К о ш и вполне исчерпывает вопрос для всех значений х между — 1 и 1, она ничего не дает при х=1; в этом случае мы получаем ~г„(1)~ -(1 — В)л, то мы получим разложение л+1 г Г 1 Ра — = — 1!+ —.
+...], л 2л+1 ~ 3 (2л~-1)' 5 (2ль1)' (20) которое можно переписать в виде: (-)~ )= 1! ( 1) 1 1 1 1 л-Ь вЂ” ~ [п 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
