Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 62
Текст из файла (страница 62)
( ~-«) .— (ь.— «)' л) 2 2л-1 выявляющее корин сов х1 т — л. Впрочем, оно может быть получено и из 2 разложения з!п х, пО формуле (л з!и 2х СОЗХ=ЗШ ~ — — Х~) ИЛИ СОЗХ= (2 2нпх * Относительно возможности переставлять сомножители — см. 402, 4) 1 "* Положив здесь х=-, в частности, найдем, что ( Г (-) ~ =л; так как при х» О ! Ц1 и Г(х) О, то Гн= ~'л. (2~ 378 Гл. хе Бесконечные Ряды с постоянными членАми [409 Наконец, упомянем о разложениях х' 1 х' эЬх=х Д (1+ — ), ейх= Д 1+ «=т~ в~4' л=т (2н-1 )* ' 2 [31) которые также могут быть установлены с помощью сходных соображений.
5 8. Приближенные вычислении с помощью рядов. Преобразоваяие радов 409. Ойцне замечаввв. На примере полученных памв конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей и р нб л и з е н н ы х в ы ч и с л е н и й . Предпошлем ряд общих замечаннй. Если неизвестное нам чясло А раэложтю в рял: А = а«4 а«Е аз Е... + ал Е где а„ал, ав ...
— легко вычисляемые [обыквовевно рациональные) числа, и мы положим приближенно: АБАл=а,+а,+...+ал, то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком ал ал+,+а„+«-.'- ° ° ° 1 1 ( 1 11 1 л -- л =- л (-- — )=- а=лет т««.=л+г т[т — 1) е=л«1 (т-1 т) л Прн достаточно большом л эта погрешность станет сколь угодно малой, так что А„воспроизведет А с любой наперед заданной точностью. Мы заинтересованы в воэможности просто провзводвть оценку остатка а„; это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда узе будет получено приблюкение требуемой точности.
Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с монотонно убывающими по абсолютной велнчвпе членамн [лдейбннцевского типа«), то, как мы видели [301, замечанке), остаток имеет знак своего первого члена н по абсолютной величине меныпе его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего. Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда.
Тогда обыкновенно стараются найти легко суммируем ый положительный же ряд, члены которого быпн бы б о л ь ш е членов интересуюшего нас остатка, и опеннвают остаток суммой этого ряда. 1 Например, для ряда ~ — можно получить: т« 410] 379 1 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЫО РЯДОВ [эта оценка совпадает с оплнкой сверху, полученной в 373 (11) с помощью интегри- 1 розалия], а для ряла 1+~— 1 т! н=п+1 1Л! 'л! и ль1 (л+1)......Л1 л! я=а+1 (и-1-1)т " и!и [этой оценкой мы фактически и пользовались при вычислении числа е в 37). Обыкновенно шцется десятичное приближение числа А, в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении ик в десятичную дробь, округление ик служит источником новой погрешности, которую также следует учесть. Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число А, пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты, и оценка остатка производится легко).
Вопрос — в быстроте скодимости, т. е. в быстроте приблнжения частичной суммы к числу А. Возьмем для примера ряды [см. 404 (16) и 405 (18))." 1 1 1 1 1 ! 1 1- — -! — — — +... н 1 — — 1- — — — -!- — —..., 3 5 7 2 3 4 5 дающие соответственно разложение чисел — и !и 2. Для того чтобы с нз помощью 4 вычислить эти числа, скажем, с точностью до 1(10', нужно было бы сложить и я т ьдее ят тыся ч членов в первом случае и сто тысяч — во втором; это, конечно, осуществимо лишь с помощью быстродейспзующнх ВЫЧИСлитсльнык машин. Ниже мы без особого труда вычислим упомянутые числа даже с большей точностью, но использовав более подходящие ряды.
410. Вычисление числа п. Воспользуемся известным ридом для арктавгенса [404 (!5)]: хз хз х' агс10х=х- —.! — — — +... ( — 1<х 1). 3 5 7 1 л Если взять х = —, то агс10 х = —, и мы получим ряд )'3 6 Л1(11111! — 1- — — 1- — — — — — + ), 6 [(3~ 3 3 53и 738 уже пригодный для вычисления. Вспоминая формулу сложения для арктангенса* хч-у агсгй х 4 агс10 у = агс10— 1 — ху и выбирая в качестве х и у какие-нибудь две правильаые дроби, удовлетворяющие соотношению х+у — = 1 или (х-1-1)(у+ 1) = 2, 1-ху " Которая в этом виде верна лишь в предположении, что сумма углов по абсолютной величине --" [50].
2 380 Гл, хс БескОнечные Ряды с НОстОянными членАми (410 будем иметь -=агсавх ! агс!Бу=!(х- — Ь...)+ !(у- — ! ...~ . Например, поло- 3 '") ( 3 1 1 жив х= —, у —, получим 2 3 л (1 1 1 1 1 ! (1 1 1 1 1 -=г---'- — +г--'- — — ) 4 (2 32' 52в ) !,3 33в 53в ряды, еще более удобные для вычисления числа п. Поло- Существуют, однако, 1 жима=его 18 —, тогда 5 10 12 120 18 4е 25 119 1 —— 144 2 5 5 182и=— 1 12 1 —— 25 1 !ба=в 5 л л Ввиду близости этого числа к 1, ясно, что угол 4е блиюк к —; положив р = 4и — —, будем иметь: 4 4 3„20102491 0,04269596 — =0,01673640 (+) 4 239 =0,00000010 (-) 3 239' 0,01673630 3,201 02491 0,04269596 3,15832895 120 — -1 119 1 ! г$Р'= — = —, тах что р агс!8 —.
120 239 239 1+— Отсюда 119 /1111111 л = !ба — 4(! =. 16 — — — — + — — — — — 4 (5 35в 55' 7 У 11111(111 9 5' 11 5п ) (239 3 239а Это — формула М э ш и и а (Ю. МасЫп). Вычислим по ней число л с 7-ю знаками после запятой. Для этого достаточно тех чденов формулы, которые фактически выписаны, Так как оба ряда — типа Лейбница, то исправен в умевьшаемом в вычитаемом иа отбрасывание невыписанных членов, соответственно, будут: !6 1 4 1 0 г(, — — и О«а(в« 13.5аа 10в 5 239в 10в Сохраненные члены обратюа в десятичные гшоби, округляя их (по правилу дополнеитш) на 8-м знаке. Вычисления сведены в таблипу (а в скобках указывает з н а к 16 !6 — 3,20000000 — — — =0,04266667 (-) 5 3,5а 16 16 — 0,00102400 4 — 0,00002926 (- ) 5 5в 7 5' 16 16 9,5в — — 0,00000091 (+) — = 0,00000003 ( — ) 11 5П 411! 38! 1 8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ Учитывая все поправки, имеем: 3,15832895« 1644 3,15832898 -0,01673632 -4(5 -0,01673630, так что 3,14159263 л« 3,14!59268.
Итак, окончательно,л.— 3,1415926..., причем все выписанные знаки верны. 411. Вычисление логарнбкиов. В основе вычислений лежит ряд а+1 2 1 1 1 1 1 1п — — =!и (ле1)-1и л= — [1-Ь вЂ” — + —. +."1. П) л 2 +! ~ 3 (2л-Ь1)а 5 (2л+1) которым мы уже пользовались в и' 406 [см. (20)) при выводе формулы С т н р- линга.
При л=1, получим разложение для !л2: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )п2=.— 1+ 4 + + .Ь .+ Ь + + ° 3 3 9 5 9' 7 9' 9 9' П 94 13 9' 15 9' 17 9' ) 2(1 1 1 1 ) 2 ( 1 ! '4 1 2 3 (19 9» 21 944 ''') 3.19.94( 9 94 ''') 12.19.94 1044 ' Вычисления, на 10 знаков, сведены в таблицу: Учитывая все поправки, имеем: 0,69314 71802 !л 2 0,69314 71809, 2 = 0,66666 66667 (-) 3 2 — = 0,02469 13580 (+) 3 3.9 2 3 5 9' = 0,00164 60905 (+) 2 = 0,00013 06421 (+) 3.7 9' 2 3.9.94 =0,00001 12901 (-) 2 3 11.9' .— — 0,00000 10264 ( — ) 2 = 0,00000 00965 ( — ) 2 3 15 9' — -0,0000000093 (-) 2 3.!7.9а — = 0,00000 00009 (-ь ) так что 1л 2 = 0,69314 7180..., и все написанные 9 знаков верны.
0,69314 71805 Этот ряд вполне пригоден для вычислений. Покажем, например, что, ограничиваясь лишь выписанными членами, можно найти 1п 2 с 9-ю правильными десятичными знакаыи. В самом деле, если отбросить члены этого ряда, начиная с десятого, то соа геетствующая поправка будет: 382 гл. хг. еесконечные ряды с постоянными членами [411 Полагая теперь в (1) л-4, наедем: 2/ 1 1 1 1 Гп 5 = 2!и 2-Ь вЂ” ~! т — — + — — 4... ) . 9 ~ 3 81 5 81' Пользуясь уже вычисленным значением 1п 2, по этой формуле легко вычислять !л 5, а затем и 1и 10 = 1и 2+1п 5. После этого, с произвольной степенью точности, может быть вычислен модуль 1 М=. 1л 10 для перехода от натуральных логариФмов к десятичным; он равен М=.
=0,434294481... Умножив на модуль, найдем десятичные логарифмы: 1о8 2 и !оа 5. Перейдем к десятичным логарифмам и в основной формуле (1): 2МГ 1 1 1 1 !ое(л-~-!) — !оел= — [1 Ь вЂ” + —. + ... ) . (2) 2в+1 ~ 3 (2л-~-1)' 5 (2л+1)' Полагая здесь я=80 — -2'10 н принимая во внлмаиис, что л.~-1=81:-3~, наадем 2М г 4!ое 3 — 3!о82 — 1= — ~1+ — — + — — + ° 161 ( 3 25921 5 25921' отхуда легко найти 1од 3. Полагая, далее, в формуле (2) л = 2400 = 3 2е 10', будем и+1=2401=7' 2МГ 1 1 1 1 4 1он 7- 3 !он 2- 1он 3 — 2 = — ~!+в + + ), 4801 ~ 3 23049б01 5 23049б01' так что найдем и легари(а» 1о87. Подбирая подобные числовые комбвнапии, можно с произвольной степенью точности найти логарифмы простых чисел, а по ним путем умножения на натуральные множители и сложения вайлугся логарифмы составных чисел.
Можно было бы поступить и иначе, непосредственно вычисляя логарифмы последовательных натуральных чисел н переходя от 1ое л к 1оа (л+ 1) при помовпг фоГжгулы (2). Так, для вычисления логарифмов чисел от 1000 до 10 000 возьмем в формуле (2) только о д и н член, т. е. приближенно поло~квм 2М 1он (л4 1) — 1он л = — ПОа л 10'). 2л4 1 Поправка при этом будет 2М (1 1 1 1 2 -Г! 1З (2л+1)г 5 (2+1) ' ) 2М г 1 1 2М 2М Ь+ + ° ° ° 3(2л+1)' 1 (2л+1)' (2л+1)' ) 3(2л+1).2л (2л.(-2) 24яз Так как у нас я=10', а 2М 1, то 1 1 Л 24 10з 2 10м 383 4121 1 8.
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОВСЬЮ РЯДОВ Если бы даже в с е ошибки суммировались, то в общем все же погрешность 10' 1 была бы меньше, чем — = —. Ио легко избегнуть такого накопления 2 10м 2 1О' погрешностей„вычислив вялый ряд к о н т р о л ь н ы х логарифмов по первому методу. Таким путем моюю достигнуть гораздо большей точности, сохранив в то же время присущий второму методу а в т о м а т и з м вычислений (который очень лапен, особенно при составлении обширных таблиц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
