Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4171 395 1 а суммиРОВАние РАсхОдящихся РядОВ еще со времен Лейбница в качестве «суммыь приписывалось чн- 1 ело —. Э й л е р, например, мотивировал зто тем, что из разложения 2' 1 — =1-х+х' — хв«-х«-хь ь ... 1+х (которое в действительности имеет место лишь для )х). 1) при под- становке вместо х единицы как раз и получается — =1 — 1«1 — 141 — 19 .. 1 з В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопрос» не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем, из другого разложения (где и и т— любые„но т и) 14х+... Рхсп — ' 1 — хп' 1+х+...+х" ' 1 — х" —.— 1 х«п ~ Хп Хп-~.«3 Хзп получить одновременно — =-1 — 141 — 1 91— и Современный анализ ставит вопрос по-другому.
В основу кладется то или иное точно сформулированное определение «обобщенной суммыь ряда, не придуманное только для конкретно интересуюгцего нас гислового ряда, но приложимое к целому классу таких рядов. Законность этого не может вызвать сомнения: читатель должен помнить, что даже обычное понятие «суммы рада«, сколь простым и естественным оно ни кажется, тоже было введено на основе условно принятого определения, оправдываемого лишь целесообразностью! Определение «обобщенной суммы» обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду ~ ~а„приписывается «обобщенная сумма«А, а ряду х ܄— «обобщенная сумма« В, то ряд ~~, 'ра„-ь «1Ь„, где р, «1— две произвольные постоянные, должен иметь в качестве «обобщенной суммы«число рА+ сзВ. Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным. Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь «обобщенную сул«му«, и прюпом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать «суммуь в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об «обобщенном сум- мированиии 396 Гл. х1.
БескОнечные Ряды с пОЕТОянными членами [418 Мы переходим теперь непосредственно к рассмотрению двух особо важных с точки зрения приложений методов «Обобщенного суммирования». 418, Метод отененных рядов. Это метод, в существенном, принадлежит П у а с с о н у (о.-1). Роизоп), который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем. По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд ~ а„Х =вел а»Х Е аЗХ т...
Еа„т"-~- ., . а=с если эпют ряд для О х«.1 сходится и его сумма у'(х) при х 1 — О имеет предел А: 1пп г'(х) =А, »-1 — С то число А и называют чобоби)енной (в смысле Пу а с с о н а) суммой» данного ряда. Примеры. 1) Ряд, рассмотреннын Эйлером: 1 †1+1 †1+1 ..., здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, 1 1 ! сумма которого — при х-1-0 стремится к пределу —.
Значит, число —, дея1+х 2 2 ствитсльио, является»обобщенной суммой» ушоаиного ряда в точно установленном здесь смысле. 2) Возьмем более сбпшй пример: тригонометрический ряд 1 — Е ~ сакле 2»=1 (2) является расходящимся при всех значениях О, — л«О ма.
Р Действительно, если О имеет вид — н, где Р и Π— натуральные числа, то для с значений л, кратных О, будет соя лв= я1, откуда ~пб- 1--. и так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Вали же опюшение Π— иррапионально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь л »Н исоставляя подходящие дроби —,будемиметь,какнзвсстно, и 418] 397 1 9. СУММИРОВАНИН РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Таким образом, для бесконечного множества значений л л [со» лВЗ1[ м —, так что [с В] Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости.
Если образовать степенной ряд 1 -+,б, г" созлВ (О г .1) 2 я-1 (здесь буква г заменяет прешпою букву х), то его сумма при значении В, отличном от О, будет 1 1 — г' (3) 2 1-2гсо»В+г» [см. 440 (5)] и при г 1-0 стремится к О.
Такам образом, для ВлО «обобщенной суммой» ряда будет О. Если 0 =0, то ряд (2), очевядяо, имеет сумму, равную + 1 1+г впрочем, и выражение (3), которое в этом случае сводится к — —, также 2 1 — г имеет пределом + 3) Аналогично ряд ~ з]п лВ ( — лшВмл), »ат который сходится лишь при В = 0 илв а л, приводит к степенному ряву гзш В ~ г" зшлй= я 1 1-2г соз В+у' 1 1 [461, 6) (а)], так что юбошевная сумма» на этот рвз оказывается равной — сгй — В 2 2 при ВяО и равной нулю при В=О. Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод «обобщенного суммирования»является линейным. Что же касается р егулярн о с т и этого метода, то она устанавливается следующей теоремой, принадлежащей А б е л ю: Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для О.ех е] сходится степенной ряд (1), и сумма его стремится к пределу А, когда х 1-0».
' Эта теорема была доказана А б е л е м в его исследованиях по теорви биномиального ряда [мы к ней вернемся в и' 437, 6']. Нельзя сомневаться, что именно она привела к обшей формулировке метода «обобщенного суммирования», который Н у а с с о н о м был применен лишь в частном случае.
Н связи с этим и самый метод часто называют методом Абеля, хотя самому Абелю идея ° суммированив» расходящихся рядов была в высшей стелеви чужда. Мы будем в дальнейшем говорить об этом методе. квк о методе Пу а с сана — Абеля. 398 гл.
х1, внсконнчныг. ряды с постоянными члннями 14!9 ~ алх' =- (1 — х) ~ А х л=о =о (где А„= ао+ а, о....)- а„) (см. 385„б) или 390, 4)); вычтем его почленно из очевидного тождества А =(! -х) ~Ах'. л=о Полагая А -А„=а„, придем к тождеству .4 — ~алхл=(1-х) ~и хл. л=о л-о (4) Так как ил О, то по произвольно заданному г О найдется такой ! номер 11', что !и„~ — с, лишь только п - Ф. Разобьем сумму р1ша в правой части (4) на две суммы (1 — х) .3;" алхл и (1-х) ~ олхл. Лг и+1 Вторая оненивается сразу и независимо от х: ! (1 — х) ~ и„х"~~(! — х) ~ (и )х" —.(1 — х) ~ хл л ХЕ1 я=и+1 а=И.~.т Что же касается первой, то она стремится к О при х 1 и при достаточной близости х к 1 будет ! и (1-х) ~ алхл « —, л=о так что окончательно А — чахл~ н, л=1 что и доказывает утверждение.
419. Теорема Таубера. Если ряд (А) суммируем по Пуассону - Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели„он может и не иметь суммы. Иными словами, из существования предела !пп 2; а„х"=А. л-1-О =О !5) Прежде всего, ясно [379), что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для О х 1 ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество 399 419) 1 Э. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ вообще говоря, не вьпекает сходимость ряда (А), Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (А), т. е.
о существовании для него суммы А в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Т а у б е р о м (А. Тапбег); она гласит: Пусть ряд (1) сходшпся при О х 1, и имеет месило предельное равенство (5). Если члены ряда (А) танови, что а,+2аи+... Опал Вщ =О и и (6) то и лл ил=.4 ° и=с Доказательство разобьем на две части. Сначала предположим, что 11!* 1(гп па„=б или пи=О Н . и ~п~ Если положить дл= щах (Как~, и и то при л- величина дл, монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном РГ 1Ч и Г.~ап А=Лап(1-хл) — .~алки+~,2', а хл-А О О и+1 О ! ,Л,ап — А -„~~ ~лаи~(1 — х)+ Р; -~- ~анхо — А ьв О О НЬ1 П О т(1-х)дгд + 6!в+1 -Р ~А; лихи — А . (Аг+1)0 — х) ~ О Взяв произвольно малое число е»О, положим и (! -Х)1'Г е нли х = 1 — — ., АЯ 1-хл=-(1-хК1+хрхи+...+хп-') п(1 — х) хгеьи 1 1 — х 1-х * Отсюда, по известной теореме К о ш н (ЗЗ, 13)), Уже следует выполнение условия (6), но не обратно, так что мы исходим теперь нз более част ного предположения, нежели (6).
ьи Мы пользуемся очевидными при О х 1 неравенствами: 4ОО ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 1" НОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1419 ~алка-А «е. Г. о Тогда ! н Лал-А (2+до) Н что и доказывает утверждение теоремы. К рассмотренному частному случаю теоРемы приводится и общий случай. Положим ел=а;~-2ао+., +вал (л-1), со=О, так что 1 а» = — (и» вЂ” и» «) (л-1) л ~', а»ха=а +~ — хл-~', 1хл=а1+(1 — х)~ — ха+~ — хл+'. (7) О 1 Л 1 и 1 л 1 л(яЧ-1) ел Но из предположения теоремы, т.
е. из того, что — О прн л-, легкополул чить, что ел !пп (1-х).~ — х"-О. Х 1-0 1 Л (8) Двн доказательства этого достаточно разбить здесь сумму иа двео (1-х)~+(1-х) А,, 1 и+1 ел и выбрать А1 такам, чтобы во второй сумме все множители — были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа о О, тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше е, каково бы ни было х; огносятельно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно доспинуть за счет приближения х к 1. Таким образом, ввиду (7), (5) и (8) имеем 1йп ~ — хл+'=А — а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
