Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 67
Текст из файла (страница 67)
423] 1 9, СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Заметим, что подобная жс втауберовскаяв теорема была установлена затем и для суммирования по Пу а с сову — Абелю — для иее только что доказавная теорема является частным следствием. Но ввиду сложности доказательства мы ого не прююдим. 423. Применение обобщенного суммировавяв к умвожевщо рядов. Остановимся на применении обобщенных методов суммированзщ в вопросе об умножении рядов по правилу Коши (389]. Пусть, кроме ряда (А), дан еще ряд .у Ь.=-Ь,+Ь,+...РЬ„~-..
п=е (В) тогда ряд ~сп и ~(а«Ь«+а,Ь„, +... +а«,Ь,+а«Ь«) -о «-в и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыюювенвые суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся (пример этого мы имели в 392]. Однако во всех случаях ряд (С) суммируем но методу Пу а с со н а — А беля и именно к сумме АВ. Действительно, для О х 1 ряд (1) равно как ряд ~Ь«х«.=Ь«+Ь,х+Ьзх«~-...РЬ«х" + .. п=в оба а б с о л ю т н о сходятся (379]; обозначим их суммы, соответственно, через .Г(х) и я(х). Произведение этих ридов, т. е.
ряд ~х', спхп ~(а«Ь« и а,Ь«-1+ ° ° . Ран-«ЬИР а«Ь«) хп п е «=в по классической теореме К о ш и [389] также сходится и имеет суммой произведение л'(х) Р(х). Эта сумма при х 1 — О стремится к АВ, ибо, как мы видели, по отдельности 1!ш У(х) = А, 1пп И(х) = В. х-г-о «-г-о С АВ. В качестве п р и м е р а рассмотрим возведение в квадрат ряда ! 1 1 3 (2т — 1)!! — --1 — — Р— — ...ч-(-1)т-— ](2 2 2. 4 (2т)!! Итак, вобобщевной (в смысле Пуассона — Абеля) суммойв ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.
Отсюда как следствие получается теорема А б е л я об умножении рядов Р92]. Равным образом вз самого доказательства ясно, что то мсе заключение остается в силе, если р,чды (А) и (В) — вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле — лшив суммнруемы ло методу Пуассона — Абеля к суммам А и В. В таком случае, учитывая теорему Ф р о б е н и у с а (421], можно сделать и следующее утверждение: если ряды (А), (В) и (С) с> ммируемы в смысле сл е з ар о и илвеют, соответственно, шбобигенные суммыч А, В и С, то необходимо 408 ГЛ.
Х!. БЬСКОНКЧНЫБ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛБНАМИ (424 который получается нз биномиального разложения 1 1 1 3 (2н«-1)!! — =1- — х+ — х'- ° .+( — 1)т хть.. !!1лх 2 2 4 (2т)!! прн к=1. Умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам Ряду 1-1+1-1«-1-1+...« ° обобщенная сумма« когорого, как по методу П у а с с о н а — А б е л я, гак ( 1')' и по методу Ч е з а р о„есть -= 2 (ф Далее, «возведем в квадрат«и этот расходящийся ряд.
Мы получим ряд 1 — 2+3 — 4-1-..., юбобщенная сумма«которого в смысле Пуассона — Абеля есть - = !- ! 4 (2! (в смысле Чезаро он не суммируем1). 424. Другие метощл обобщенного суммирояанвв рядов. 1) Методы Г. Ф. В ар он о г о. Пусть имеем положительную числовую последовательность (Рн) и Р«=Р«рл Рг+Р«+ ° ° ° ЧРл (н 0). Из частачных сумм А„ряда (А) составим выражения Рняд+Рп-«Аг+".ЧРг «п Если гон А при н-, то А называется «обобщенной суммою ряда (А) в смысле В о р о н о г о — при заданном выборе последовательносгя (Рн). Лияейно ст ь метода как в этом случае, так н в следуницях — очевиаиа, и мы на ней не будем останавляваться.
Для Регулярности метода Вороного необходимо и достаточно угла«не (пл — О. Рп Рл И е о б х о д и м о с т ь. Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из Ан А всегда следует и «он А. Если, в частности, взять ряд 1-1+0«-0+0« для которого А« = 1, а прочие Ан =- 0 (так что и А -- О), то необходимо Рп — о. Рл * Мы пользуемся здесь числовым тохществом л ( 1)Я ( 2 -1 (2т)Я (2н — 2т)н где (- 1)!! и Ой означают условно е д и н и ц у.
4241 409 1 9. СУММИРОВЯИИЬ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из Ап -А вытекает и юп А. Рп — т Обратимся к теореме Те ил н ц а (391) и заменим там хп наАп и гпт на — —. Рп Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо Рп — т Рл ччп Гпт = — и О. Рп Рп. т Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как 2 ~гпт! =2 гпт= 1.
и=о и=с Следовательно, как и требовалось доказать, юп -А. 2) Обоби)енные методы гт е з а р о. Мы уже знакомы (4Щ с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предо(оженных Ч е з а р о. Фиксируя натуральное число д, Чеза р о вводит варианту (О) 1 — 1 1-1 Л-1 (о) 'эп 1 л)-о — 1Аото п+1 — оА1+ ° ° +Со-1 (и уп 1 Сл-|-а Си+а и ее предел при я - рассматривает как ообобщенную суммуо (й-го порядка) ряла (А).
При /г= 1 мы возвращаемся к методу средних арифметических. В дальнейшем нам не раз понадобится следую1дее соотношение между коэффициентами С: Сго +Сов 'Ч-СааД+ .. +С~о~в- -=Се+а; (14) оно легко доказывается оо методу математической индукции относительно н, если исходить нз известного соотношения з а а-1 Сп(14 С(л-гц г 1 Сл)ы-1) ° Прежде всего, покажем, что методы Че гаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов В о р о и о г о. Для этого достаточно г-1 1 положить рл — — Ста, „ибо нз (14) тогда следует, что Рп = С дг, н к тому же, очевидно, Рп 1 — =- — — -0 прн нРп ньlо С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин ,ъд, устанавливается, что 5(1) ~а-1) ~а-1) .
~1-1) фа) о о г 1 + ° 1 л = л (15) Это дает возможность выяснять взаимоотношение между суммированием по Ч е з а р о й-го и Ос — 1)-го порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование (/г — 1)чю (о) Под оп разумеется Ап. 4!О ГЛ. ХГ, БЬСКОНБЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ [424 парилка, так что у„) А. В силу (14) и (15) имеем А«) б(»-г)+ А«-1)ь + («-1) («) п о г л У л 1 « с„,« бп 1-« «-г,(«-г) «-1 Ы-г) «-1 .,(«-1) ' «-гуо Ч П« Уг 4 ° ° ° -~-' лг»-ьул « Сп, Применяя сюда теорему Теплица [391[, причем полагаем «-ь с И глт= (1л=0, 1, ..., и), « Сл.ь« х =:у хл ='Ул б(») !11)г Уп 1пп — — = А. («), и и л Сап+» Легко заключить отсюда, что рян (! 6) 5;ф)хл п=о (17) 1» для — 1 х«! сходится.
Действительно, так как Сп+« —, то из (16) имеем: й[ ~ б(«)~ !пп— л и» lг) Если АпО, то так что, по теореме К о ш и — А д а м а р а, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А О. Рассмотрим теперь ряд тождеств .С алхл =- (1 — х)ДАлхп =(1 -х).С;о;лгхл, и='О л — О п=О .~ 4'хп-(1-х)„~4"хл,о п=о и О ~4л" "хл-(1-х)~4")хл. и О п О о Здесь и дальше учитьшаются соотношения типа (! 5), придем к заключению, что и уп -А. Таким образом, если ряд (А) допускает сум(«) мироволив по методу Че з а р о какого-~пьгбудь порядка, то ои допускает и суммироеаиие льобого е ыс и е г о порядка, и притом к той же сумме.
Приведем теперь обобщение уже известной иам теоремы Ф р о б е н и у с а [421): если ряд (А) суммируем по какому-либо из лгетодое Чезаро (скажем »-го перчика), то ои суммируем к той мое сумме и по методу Пуас со пав А беля. Пусть дано, что 424[ 411 1 У. СУММИРОВАНИИ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Выше мы установили скодимость последнего ряда в промежутке ( — 1, 1); отсюда вытекает [см. 390, 4)) сходимость и нсех предшествующих рядов.
Кроме того, Лапен —. 0 — х)ь+гХЙ )х" = 0 — х)Ь+'Буй )С,ььхп. н=-О я=о я=о (18) Сопоставим с этим тождеством другое; 1 =(1 — х)"+',Р;Схнььхп, н=е (19) которое имеет место в том же промежутке ( — 1, 1); оно получается )О-кратным дифференцированием прогрессви ! ~хо 1 — х, о Умножив обе части тождества (!9) на А вычитая вз него почлснно рааенспю (18), нолучнм, наконец, А †.~ апх" = (1 — х)Ь+г2 [А ула)1Сн+ьх". и О н О Дальнейшие рассуждения [с учетом (1б)Ц вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля в 418 и теорема Фробеииуса в 421; они могут быть представлены читателю.
В результате мы и получим: !пп Ханх" = А, ям — о =о ЛАп —, -е-х ~Ая — ° о и! Л— О н[ ч. и тр. д. Отметим, что существуют расходящиесн ряды, суммируемые по методу П у а с с о н а — А б е л я, во не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чеза р о. Таыим образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних даже вместе взятых! 3) Методы Гельдерн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
