Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 64
Текст из файла (страница 64)
20 2 0,000 000 37... 0,000 000 5. 1 3 5 ... 41 Еспи же, скажем, первые семь членов исходного ряда вычислить ыепосредствеы- ио, и лишь остаток после 7-го члена преобразовать,мы получим 1 1 1 1 1 1) .—. ( — +---- ---+-)- 3 5 7 9 П 13) — 2 1 1 1 12 ° р + ° ° ° 15 15.17 15.17.19 15.17.....(!5+2р) ) Здесь уже восьмой член рцпа в скобках меиыпе требуемой тряпицы: 1.234567 2. 0,000 000 2...
15 17 ... 29 и для досппкевия той же точыости достаточно, кроме 7 сохраненных членов, вы- числить еше 8 членов, т. е. Йссго 15, против прежних 2П 415. Преебразоваиве Куммера. Мы вплели, что преобразование Э й л е р а, основывающееся ыа точно сформулированном правиле, приводит к одиозиачиому результату, правда ые всегда выгодному !414, 4)). Метод же преобразованы р1щов, предложеыыый К у м м е р о м, допускает большой произвол, многое предоставляя искусству вычислителя, ыо зато является более целеустремлеиыым, в смысле облегчения приближенного вычисления. Мы ограничимся изложеыием 4151 389 1 Э.
ВЫЧИСЛННИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЯДОВ идеи, положенной в основу названного метода, и осветим его немногими примерами. Пусть дан сходящийся ряд А(с)+А(с)+... +А(а)+... (9) и требуется вычислить его сумму с заданным приближением. Очевидно, А(х)-О пря /с- . Выберем другую бесконечно малую а( ), эквивалентную А(") [62), так, чтобы ряд а(г)~- л(*' + ... +а(') Е ... ие только сходился к конечной сумме А„ио и чтобы эта сумма легко вычислялась. Если положить А(Х) — а(г )=к(с ), то „(х) (А(х)) ЛА(х)-А,+ ~ (х), 1 1 и вычисление суммы исходного ряда приводится к вьгчнслению суммы п рео б,р а за в а ни от о ряда, члены которого заведома быстрее стремятся к нулю. 1 Например, желая вычислить сумму ряда .~ —, мы вспоминаем про ряд /сх ' 1 с суммой 1 [25, 9)[ и отмечаем, что (при /с--) т /с(/с-ь1) 1 1 /с' /с(/с+ 1) Так как разность 1 1 /с' /с(/с+1) /с'(/сЬ1) то 1 1 ~ — =1ь 2;" /сх т /сх(/с41) и преобразованный ряд оказывается более выгодным для вычислення.
Указанный процесс можно повторить и, взяв новую бесконечно малую а(х ), (х) э„в,у 4), чт бы р д ,(х) в«)„,(*) „,,и),. „, сходился к конечной и легко вычисляемой сумме Аи мы сведем иычислевие суммы исходного ряда, по формуле ~ А(") = Ас Е Аг 4 Ас ая т с [41в 300 гл. х1. БескОнечные Ряды с пОстОянными членАми к вычислению суммы последнего ряда, члены которого а(")на(")-а( )=о(сс( 1) стремятся к нулю быстрее, чем а(").
Повторив процесс р раз, пргщем к формуле А(") =Аз+Аз+... +Ар+,~~ сср"', 1=1 1 О (10) где А;= 2 а(") (1=1, 2, ..., р) 1=1 суть известные суммы последовательно выделяемых рядов, и сведем дело к вычиелению суммы ряда ~ аг ч (1) 1 1 Так, в приведенном выше примере вмчисления суммы ряда ~ — можно 1=1/С' пойти дальше: 1 1 1 — +21~ 1=1 /СС(/С+1) 1=1)С(/С+1)(/С+2) 1=1/СС(УС+1)(/СЧ-2) так что 1 1, 1 ~ — =14 — 421 ~ Л 2 Л +1ХЕ+2) затем, 1 1 1 1 ,~~ —, = 1+ — Ч вЂ” + 31,~~ 1=1 )сс 2с 31 1=1)с()с-~-1)()с+2)(/с+3) и т. д. После р шагов получим (10а) При зтом мы все время пользуемся уже известной иам формулой 1 1 1=1/с(lс-~-1).... (Зсфр-1)Дсч-р) р р! (получающейся из выведенного в 363, 4) соотношения прн а =О).
1 Таким образом, вычисление суммы медленно схоляшегося ряда 1-1/С' приводится к вычислевию суммы р его членов и суммы быстро сходя. ш е г о с я — уже при умеренных значениях р — преобразованного ряда, Приведем еше один более сложный пример. 4151 391 1 и, ВЫЧИСЛВНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ Обозначим через ЯР (р — натуральное) сумму ряда т /Сг((С.!.1)г... . ф ! Р !)г При неопределевном и о к а у имеем (2р — 1)(Сг-~-р(РЧ-2у)(С->;>рг йь ! -!-у !сг(!с-1-1)"'....(>с-~-р — 1)г (>с.~-1)г(>с+2)'....(!с.(-р)' >сг(lс-(-1)г.....(>с-~-р — 1)г(!с-1-р)' Отсюда видно„что (при )с ) 1 !с+ у СсЧ-1+у 2Р— 1 Ьсг(/с 1- 1)г ... Ос-~-р — 1)г (Гсов 1) (!с- 2)г...
"(й ЬрА 1 >сг(к.~-1)г ... (/с с-р — 1)' Если заменить члены ргща ол этими эквивалентными им р а з н о с т я м и, то получится ряд с легко вычисляемой суммой 1 1+у 2р - 1 (1 2.3.... р)г Дополнительный (гпреобразованныйв)' ряд будет иметь общий член — — ( -РЗР))и+- — ~ /с'(ЕЧ-!)'... (/сор)г Зр у=. — — 1. 2 Учитывая все сказанное„получаем для ряда БР такУю фоймулу пРеобразо- еания Зр Рг ЗР— — — + Брег 2(2р — 1)(р!)' 2(2р — 1) Отсюда, подсгавляя вместо р последовательно значения 1, 2, ..., р, имеем 1 3 1 — Яг = — Š— Яв, с=гав 2 2 1 3 1 (2!)в г ! ~в 2 22' 3 2'Зй [(р — 1)!)в 3 (р-1)! (р!)в 2Р-'(2р — Э)!! ' Р.2Р (2р — '1)!! 2Р.(2р-1)!1 (11*) Вот теперь мы воспользуемся произвольностью у и выберем его так, чтобы в числителе здесь исчез член, содержащий !с: 39г гл.
хь ьисконвчнын гяды с постоинными члннвми [416 Наконец, складывая почленно все зти равенства, придем к результату г! 1 (р-1)! ) з т йз [2 2.2з 3 3.2з 5)! р ° гр (2р — 1))!! .с', — 3 + -(- + ....1- + (р!)з 1 гр (гр — 1)В ~=~ )зЬ-|- \)'... ()в+р) (! 6) Взяв, например, р= 5 и сохранив в преобразованном ряде тоже 5 членов, мо;кно 1 вычислить сумму исходного ряда с точностью до —. 16' 416. Преебразовавие Маркова. Прием для преобразования данного с х о д ящегося ряда (9) Я А(Я) =А, в-1 указанный А. А. М а р к о в ы м, также оставляет много проювола вычислителю. Разящая каждый член А(з) какам-либо образом в сходящийся же ряд: А(в)= ~ а(")..
!-1 Из членов всех этих рядов составляется бесконечная прямоугольная матраца с двумя входами [ср. 393 (1)) (12) А(з) а ) а() а() ... а так что искомое число А оказывается попросту суммой повторного ряда А= Я А,, а(в) в-1(-и соответствующего этой матрице. Предполагая. далее, еще сходимость всех рядов по столбцам: Я,(в)-Аь в-т М а р к о в устанавливает условие, необходвмое и достаточное для того. чтобы ряд .~Аз сходился к той же сумме А. Преобразаеаяие Мор к о е а и состоит з=т В замене одного повторного ряда другим ,4 =,~~ А(") „~; Аь 1=1 (=1 Ао) А (з) ,1(в) (з) а() $в) а(з) (з) (з) ав а(') ...
а( ) а(з) ... а~ ) (з) )з) 4101 393 1 а вычислнния с помощью рядов Достаточные условия для применимости преобразования Маркова даются, например, в теореме 3 и' 393. (Сама теорема Маркова, впрочем, значительно шире, ибо не предполагает даже упоминающиеся в ией ряды абос о л ю т и о сходшцимися.) Примером применения преобразования М а р к о в а может служить соот- 1 ношеяие (13) и' 395.
Речь идет о ряде,~~ —, и его /с-ый член представляется в виде х=г й' суммы, на этот раз, конечного числа членов — =, "л. ь".+а1,+та=(й-ц111 + +., <к (а) 1а) 1 Рд 11 2.... (й-~-Ц 2 3 ... (й-~-2) 1 ) (/г- Ц! "'~(й-Цй.....(2й-ЦГйЦ 4Ц.....(2й-Ц Затем провзводится суммирование по столбцам, которое и приводит к упомянутому соотношеввю (см. 395, 4)). Лвэбопытно отметить, что, если воспользоваться разложением (а> ~ (й- Ц1~ /с' !=1 р г((/+ц ... (/+/с) то преобразование М а р к о в а, как уже подчеркивалось в 395, 4), ничего нового не даст, ибо просто вернет вас к исходному ряду. Можно построение матрицы (12) связать с повторным применением преобразования К у м м е р а.
Об этом уже была речь в предыдущем и' (см. (10)), но там процесс К у м м е р а повторялся лиль конечное число раз, а алесь мы мыслим это повторение продолженным до бесконечности. При этом всякий раз надлежит лишь проверять стремление к нулю, при и-, «дополшпельного членаэ фор. мулы (10): Иш ~ а( )=О. р — А — 1 Для того, чтобы убедиться в этом. например, по отношению к (10б), отметим, что фвгурирующая в дополнительном члене сумма не превосходит выражения так что весь дополнительный член не пршюсходит величиеы 2Р(2р - Цй х 1 й' р! 394 ГЛ. ХГ.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1417 и, очевидно, стремится к нулю при Р - . ПеРеходи к пределу в (!Об), придем к ра- венству 1 11 1 1 1 2! 1 (Р— 1)! »я» 12 2.2«3 3.2» 5Д Р 2Р (2Р— 1)й 1 (Р— 1)! =3~ Р.=гр 2Р (2р — 1)1! которое, как нетрудно видеть, то:кдествевно с равенством (13) л' 395. Однако подобный предельный переход вовсе не всегда приводит к полезному результату: сслн, например, осуществить его в равенстве (10а), то получим просто тождество Таким образом, прием, предложеннъ)й М а р к о в ы м, дает очень обшую схему, предоставлвя вычислителю широкие возможности, но многого требуя от его искусства.
й 9. Суммнрованяе расходящихся рзщов 417. Введение. До снх пор на всем протяжении настоящей главы заданному числовому ряду (А) ~ П~=-ПЕ-~.ПГ-»ля « ... 4 ля Р =о в качестве его суммы мы приписывали предел ее частичной сумме! А =1ппА„ в предположении, что этот предел существует и конечен (или же равен бесконечности определенного знака). «Колеблющийся» расходящийся ряд для нас всегда оказывался лишенным суммы, и подобные ряды мы систематически из рассмотрения исключали. Различные факты из области математического анализа, как, например, расходнмость произведения двух сходящихся рядов [3921, естественно выдвинули во второй половине прошлого века вопрос о возможности суммирования расходяп(ихся рядов в некоем н о в о м смысле, конечно, отличном от обычного. Некоторые методы такого «суммирования» оказались особенно плодотворными; ими мы займемся подробнее.
Нужно сказать, что до создания К о ш и строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике. Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки )тридавать им даже числовой смысл. Так, колеблю)цемуся ряду 1-1 »1-1-~-1-1+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
