Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Эти методы состоят просто в повторном пряменении метода средних арифметических. Все вопросы, относящиеся к их регулярности и взаимоотношению, исчерпываются ссылкой на теорему К о ш и. Можно доказать, что )с-кратное применение метода средних арифметических соеершенно раепосияьно применению метода Ч е заро (с-го порядка, т. е. суммирует тот же класс рядов и притом к тем же суммам. 4) Метод Б о р е я н. Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам А„строится выражение 412 Гл.
х!, вискОнвчныь Ряды с НОстОянными члинлми 1424 Есгш последнии ряд сходшпсл, хотя бы для дошпаточно больших значений х, и еео сумма прн х + имеет предел А, то это число и является ьобобнченной суммойь в слгысле Бор ела для данного Ряда (А). Докажем регулярность метода Бор ел я. Допустим сходимость ряда (А) и обозна 1им его сумму через А, а остатки А — А„— через и„. Имеем(для достаточно больших х) хп хп хп хп А — е ' з~~',Ап — — -е" к~А — — е з,З,Ап — =е х,~~ал — .
о' " п! о зб о " я) с п и! ' Зададимся произвольно малым числом е 0; найдется такой номер Ф, что лля я )з' будет (а ~ - †. Представим последнее выражение в виде суммы, и хп - «и е к.чап — +е з2 ал — ° ь и! и+1 п1 е Второе слагаемое по абсолютной величине —, каково бы ии было х. а первое, 2 представляющее собой произведение е "' на миогочлеи, целый относительно х, е становится абсолютно — при достаточно больших х. Этим все доказаноь.
2 5) Метод Эйлера. Для ряда Л(-1)как 1=.С мы имели в 413 (см. (7)) 4юрмулу г)оаь А,( — 1)"ал = ~ ( — 1)Р— — , ь-в е-с 2Р+'' (20) "-, аьз Сза, +Свае+ ° .. +Се 2о.ь 1 е=з (в предположении, что последний сходится). * Читатель отметят схолство этого доказ.нсльсгва с доказательством тсоремь1 А б е л я (418) и друисс. вырахшющую пзреобразование Эйле раз, При зпшм, как было доказано, из сходимости рлда в левой части уже вытекает сходимость ряда в правой часпш и равенство между их суммами. Однако и при расходам ости первого ряда второй ряд может оказаться сходяшимся; в подобном случае его сумму Э й л е р приписывал в качестве ьобобщенной суммыь первому риду.
В этом собственно и состоит метод Э й л е р а суммирования рядов) сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода. Если писать рассматриваемый ряд в обычном видо (А),не выделяя знаков и вспомнить выражение (4) и' 413 для р-й разности, то можно сказать, что по методу суммирования Э й л е р а в кз*шстве ьобобшсиной суммыь ряда (Л) берется обычная сумма ряла 4251 4!3 1 9.
СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ На этом мы закончим обзор различыых методов суммирования расходящихся рядов, так как и приведенных уже достаточно„чтобы создать у читателя впечатление о многообразии подходов к этому вопросу. Регулярность метода, как необходимую его особенность» мы устанавливали во всех случаях. К сожалению лишь, мы не Всегда имели возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении различных методов. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся (ыо не покрывающие одыа другу»о) области приложи- мосты; может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду р аз л и ч ы ые »обобщенные суммы». 425.
Примеры. 1) Пусть [ап) положительная монотонно убывающая последовательное»19 сходящаяся к О. Положим .до=по -!и-ио!иг-1" Чаи (л О) Доказать, что злпгоиеремегтый рлд Ао А,.! Аг-Агф .. сумлюруем по методу Че заро (1-го порядка), и его ообобглел»игз сулснп» роска похоеиие сухов»1 сходпигегосп ряда лейбиииеогкого типа и=-ао -а»та» иоч. [Харди (П. Н. Нагбу)). У к а з а н и е. Подсчитать среднее арифметическое первых 2т частичныл сумм даыного ряда; оно представится в виде 1 (а — аг)+(по — аг-|-иг-аг)Ь...
О(ао — а,+... +и и, г — изп 1) 1 и, по теореме К о ш и [ЗЗ, 13)), стремится к — и. Затем легко уже показшь, что 2 к тому же пределу стремится и среднее первых 2т Ь1 частичных сумм. 1 л-1-2 2) Взяв а„= — —. или а„=1п — (л=-б, 1, 2, ...), установить на основании л+! л1-! теоремьг 1), что расходящиеся ряды иг — из-, 'н — и Р...о и !и 2 — (л 3 З 1и 4 — 1и 5 -, '... оба суммируемы по методу Ч е з а р о, и их ообобшеыные суммы» соответственно 1 1 л Равны — !л 2 и — [п-.
2 2 2 У к а з а н н е. Во втором случае используется формула В а л л и с а [317). 3) С помощью той же теоремы доказать, что при — 1 х О расходящийся Ряд Дирихле п 1 а п=1 суммируется по методу Чез ар о. о Пп (как обь»чно) обозначает л-ю частичную сумму гармонического ряда. 414 ГЛ.
Хг. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕН*и>И !425 Указание. Предсташпь я! в виде суммы >д = (1 - 0) + (23- 1)+... + (лг- л - 13) и методами дифференциального исчисления доказать, что с возрастанием и варианта лг — л — '!г убывает (при этом, ввиду 32, 5), она стремится к О!). 4) Если Фразбавитьг члены сходящегося ряда нулями, то это никак не отразится ни на сходимости ряда, ни на его сумме. Как видно из следующих примеров, с обобщенным суммированием расходшцегося ряда дело может обстоять иначе.
Рассмотрим ряды (а) 1 — 1+1 — ! Ь1 — 1+... Е 1 2 3 Ф Ф (б) 1 — 1+0 > 1 — 140+1-13.0... Е 1 2 3 Ф 3 Ф 7 3 (в) О+1 — 1ЬОЬ1+0+020-1 Г...* и 1 2 3 Ф 3 Ф 7 8 Про первый рял мы уже знаем„что его Фобобшеиная суммаг ло Чеза р о равна 1/2. Показать, что ряд (б) имеет уже другую сумму, именно 1/3, а ряд (в) вовсе не суммируем по Ч изара. Указание. В случае ряда (в), при изменении л от 2'т ' до 2'т — 1, среднее арифметическое первых л+ 1 членов колеблется 1 2т-1 2 1 22м — 1 1 от — до 32™1+1 3 3 2'т 3 5) Считая >г любым натуральным числом, рассмотрим ряд ~„и.~"(- 1)исг „ и=с и докажем, что ~и иг суммиругтся методам Чг з ар о >с-го ларядяа, яо с>м,ииругтся (к чгуммег 1>22+1) методом Чезаро (>с+!)-го порядка.
Используя равенство (13) и — дважды — равенство (!9) (в первый раз заменяя х на -х, а второй раз х на х'), последовательно получим: ,'~~ 4"~хл = „„~~ ( — 1)" Сиьихи =- —,~~ С~+ихгт. *" и а (1 — х)иьги-е '" (1 — хг)231и-3 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в первом и в последнем из этих рядов [мы пользуемся здесь гшоремой о тождестве степенных рядовь которая будет доказана лишь ниже, в 437, 3'), приходим к заключению, что ,ъии=смьы о2аьг 0 Ол=О, 1, 2, 3, ...) д) и (3) (21) * член 2 1, стоявший в (а) на т-ом место (где т = О, 1, 2, 3, ...), в (в) перемещен на 2т-е место; остальные места заполнены нулями.
ии Сходимость последнего ряда в промежутке (-1, 1) легко устанавливается с помощью теоремы Коши — Адамара, а отсгода ужс ВытЕкаЕт и сХОдимосгь первого ряда. 425) 415 1 н суммиРОВАнии РАсхОдящихся РядОВ Таким образом, ,„) с+, Л У»в = » 2»' с,„+, у, +,=О, и предложенный ряд ие имеет;обобщенной суммы Чеза ро /ОГО ПОряцка.
С другой стороны, ввиду (21), (15) и (14) как для и 2т, так и для в=ухпе1 будет оп =О»+С,+л+... ~ Сача — С„,+лам Отсюда 5(»91)» 'л Л л+1 Л+1 (,,) с „.„, »+' 2»+' с „„, то же справедливо и для ув„+О что и доказывает нате утверждение. бзм) 6) Ряд ~( Пп(я РП» п=а где» вЂ” любое натуральное число, также суммируем ло методу Ч е з а р о (» ~ 1)-го порядка, Это можно установить, опираясь на предыдущий результат. Действительно, разложвм Сп+» по степеням и+1: » 1 с„"+»= — (л+»)(л+»-1)...(л-ь1)=и(л)(л+1)»+ил~)(л+1)» х+ ... +ел)л(п+1); Н здесь а, ) — постоянные коэффициенты, причем ал = 1/81 и О.
Написав еще ряд таких равенств, заменяя й на /с — 1, й — 2, ..., 1, легко затем, наоборот, представить (я+ 1)» в виде суммы (Л-~-1)»=РЛ Сп+» ЬРЛ ОПЛ»-г-~-...+/)» Сп+л (»)» .Я) ~-л (Л) х с постоянными коэффициентами /1. Но тогда Х(-)У( 1)»аФ")Х»+Ф)х»,+..
-Ра)х*. п=е (а) 1 — 2+3-4+... и (б) 1 — 3+б — 10+ .. Откель (а) Даукратвое усреднение дает 1/4. (б) Трехкратное усредневие дает !/8. 8) Просуммировать ряд 1 — 1+ 1 — 1 Р 1 — 1-у... по методу Б о р е л я. ех+е-х Ответ. Бпз е х - 2 2 Так как все ряды ~/ (/=1, 2, ..., /г) суммвруемы по методу Чеза р о (»+1)-го порядка (мы учвтываем здещ* свойства методов Ч е з а р о последовательвьк порядков)), то Ввиду линей ности названного метода зто справедливо и ддя предлохлевного ряда. Самое вычисление «обобщенной суммыл мы в состоянви будем осуществить лвшь впоследствии (449). Приведем еще несколько простых примеров на непосредственное применение методов Гельдера, Бо реля н Эйлера.
7) Просуммировать по методу Гельдера ряды 4!6 гл. хь ьискОпгчныи Ряды с ИОстОлнными члнг!Ами (426 9) Просуммировать по методу Эй лера ряды (а) 1 — 1+1 — 14... (б) 1 — 24-3 — 4, ... (в) 1 — 2+2з — 2'-, ... (г) 1з 2'+Зз 4«+ У к а з а и н е. Во всех случаях удобно воспользоваться преобразованием Э й лора в форме (20). 1 Ответ. (а) А-.- —; (б) ° Ра«1, А'а«=1, Ара„=б для р 1, 1 1 1 1 1 1 1 А.— — — — = —; (в) Аров - 1, А = — — — + - —... — —; (г) А"а„=.
1, 2 4 4 2 4 8 3 А'а„.=- 7, А'и„= 12, сйаз — — 6, Арал = О д»я р 3 1 7 12 6 1 А— †.1 2 4 8 !6 8 426. Общий класс лнвейяых регулярных методов суммиреввнвя. Приведем в заклгочение некоторую весьма общую схему для построения класса линейных регуларных методов суммирования, содержащего в частности все методы, упоминавшиеся вьппе. Пусть в некоторой области К изменения параметра х задана посведовательность функций рз(х), рг(х), рз(х), ..., (Рп(х), ... (Ф) Допустим, что область ч имеет точкой сгущения число т, конечное или иет. По данному числовому ряду (А) строится ряд, состоящий из Функций: Азрз(х)Ч-Азцзг(х)ч ..
! Ал(зп(х)+... =х«Апрп(х) и О (22) х (б) прн значениях к, достаточно близких к оц 2;!рл(х)!т)( (Т(=сон.г); ~=-о (в) лаконец, 1пп ,~~ рп(х) = 1. лп=в тогда метод суммировонич оказывается регулярным. «Т. с. Для )х — гп(-.д', сели и конечно, или для х А; если в= 4 (где Ап =- а«~ а, Г... +ил).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
