Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Доказательство аналогично прежнему. Ввиду р а в н о м е р н о й сходимости ряда (В) номер Ф находится независимо от х, с ссылкой на условие и' 429 (вместо принципа сходимости), а затем с помощью леммы А б е л я (383) получаем, как и выше (считая и =- 19'): Вьи аь(х) ° бь(х) =е(~а,ь1(х)~ -.2~а„ь (х)~)=ЗКЕ, 1=л11 сразу для всех х из К. Этим наше утверждение доказано. Признак Дирихпе. Пусть частичные суммы В„(х) ряда (В) в совокупности — ири любых х и и — ограничены: )В„(х)) ~М, .г,'а„з1п их„~';а„сое их п=1 и=! а функции а„(х) (при каждом х) образуют монотонную последовательность, которая сходится к О р а в и о м е р н о в области К. Тогда и ряд (Иг) сходится равномерно в этой области. И здесь доказательство проводится так же, как и в 384. Отметим лишь, что номер А1 можно выбрать независимо от х именно ввиду равномерного стремления а„(х) к О. На практике часто иа месте функциональной последовательности (а„(х)) оказывается обыкновенная ч и с л о в а я последовательность (а„) или на месте функционально го ряда л,'б„(х) 1 — обыкновенный числовой ряд.гб„.

Нужно заметить, что этот 1 случай, конечно, входит как частный в рассмотренный выше; ведь сходящуюся последовательность (а„) и сходящийся ряд ,го„можно рассматривать как равномерно сходящиеся (зависимости от х н е т). Например„если (а„) есть последовательность положительных чисел, монотонно стремящихся к О, то оба ряда 430 ~л. кн окнкционьльные послвдовьгазьности и еяды 143! — ью признаку Дирихле -- равномерно сходятся в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек вида 2/ся (где )с=О, +1, :12, ...).

Это следует из того, что, например [см. 385, 2)), 1 1 1) ~сов — х — сов~я.ь — ) х ~~з)п )х =' 2 яв — х ~5!П вЂ” Х 2, 2 ! и в названном промежутке з[п — х не обращается в О, так что для суммы 2 можно установить границу, не зависящую и от х. Дальнейшие примеры применения признаков равномерной сходи- мости читатель найдет в и' 439 и следующих. 8 2. Функциональные свойства суммы ряда 431.Непрерывность суммы рада. Мы переходим теперь к изучению функциональных свойств суммы ряда, составленного из функпий, в связи со свойствами этих последних.

Выше уже указывалось на эквивалентность точки зрения последовательностей и точки зрения бесконечных рядов. В изложении мы отдаем предпочтение последней точке зрения, потому что в приложениях встречаются почти исключительно именно бесконечные ряды. Перенесению сказанного о функциональных рядах на случай последовательностей функций будет посвящен особый и' [436). Введенное выше понятие равномерной сходимости во всем дальнейшем будет играть решающую роль, так что важность его выявится с полной силой. Начнем с вопроса о непрерывности суммы ряда, которого мы уже касались в 427.

Теорема 1. Пусть функции и„(х) (п = 1, 2, 3,...) определены в промежутке ь'= [а, Ь] и все непрерывны в некоторой точке х=хв этого промежутка. Если ряд (3) в промежутке Х сходится р а в и о м е р н о, то и сумма ряда Лх) в точке х=хь также будет непрерывна. [Подобное утверящеиие впервые было сформулировано К о ш и; но знаменитый автор придал ему слишком общую форму, не выдвинув требования равномерности, без которого оно перестает быть верным.) Д о к аз а т е л ь с т во. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любом п=-1, 2, 3,... и любом х из К: ) (х) = ),(х) .- у„(х) и, в частности, у(х ) =)„(х )+у,(хь), откуда [)(х) †ӄ)! [1„(х) — Яхь)( 1 (У„(х)) ь )Ц „(хь)).

(12) 421! 1 1. еункционкльныв свойства сз'ммы гядк 431 Зададимся теперь произвольным е О. Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номер п так, чтобы неравенство )у„(х)( «е (1 3) выполнялось для всех значений х в промежутке ь' (в том числе и для х=х ). Отметим, что при фиксированном п функция Ях) есть сумма определенного конечного числа функций ик(х), непрерывных в точке х=хе. Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданному е- О найдется такое Ь О, что при ]х — х («Ь будет (14) [г'„(х) -Я )] Тогда, ввиду (12), (!3) и (14), неравенство ]х — х («д влечет за собой ()(х) -у'(х ) ! «Зе, что и доказывает теорему.

Естественно, если функции и„(х) непрерывны во всем промежутке К=[а, Ь), то при наличии равномерной еходимогти и сумма ряда (3), у'(х), будет непрерывна во всем промежутке. Что требование равно ме р ной сходимости в тексте теоремы не может быть опущено, показывает, например, ряд [см. 428, 8)1, сумма которого равна 1 при хл О и равна О при х= О. Однако равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь как до с т а точное условие, и не следует думать, чтэ зто условие н е о б х о д и м о для непрерывности суммы ряда*: например, ряды - г [.-П Д 2х[л»е — л'»' — [и — 1)ле — [л — 1)'»'1,,~~ [ — -1 [15) л=1 »=1 "1+ в'хл 1 4-[и — 1)лхл) [ср 428 5) и 2)1 в промежутке [О, Ц имеют непрерывную сумму О, хотя оба в нем сходятся нера в номер но.

Впрочем, есть классы случаев, когда равномерная сходимость все же оказывается необходимой. В этом направлении мы докажем следующую теорему, принадлежающую Д и н и ([). О]п]). Теорема л. Пусть члены ряда (3) непрерывны ва всем промеж)вике Х = ]а, Ь'1 и и о л о ж и т е л ь и и. Если ряд имеет сумму )'(х), также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно. * См. следующий и'. 432 гл. хп.

4ннкционлльнын посльдоввтнльности н ряды 1432 Доказательство. Рассмотрим остатки ряда (3): Елл(х) = ~ ив(х) =Лх) — 1'„(х). л-л+л Функция сл„(х) от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов рлша, последовательность (~р„(х)), при постоянном х, является убывающей (невозрастающей): (вл(х) ~сля(х) ~...;-ез„(х) ~ел„.л д(х) ы...

Наконец, поскольку ряд (3) сходится в промежутке Х, при любом постоянном х йш сл,(х) =О. Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа е О существует хоть одно значение и, при котором елл(х) в одновременно для всех х (нбо тогда для больших значений и это неравенство выполнялось бы и подавно). Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для н е к о т о р о г о г О такого номера п не существует. Тогда при любом и=1, 2, 3, ... в промежутке Х найдется такое значение х = х„, что ел„(х„)~в.

К последовательности (х„), все элементы которой содержатся в конечном промежутке о, применим лемму Б о л ь ц а н о — В ей ерштрасса [41) и выделим из нее частичную последовательность (х„„), сходящуюся к пределу х . Ввиду непрерывности р (х), имеем: 1пп ел (хл,)= р„(х ), каково бы ни было пь С другой стороны, при любом т, для доста- точно больших й: нл ына так что р (хл,)- р„(х„,) и Переходя здесь к пределу при /с , найдем, что )лш чллл(хлл) йллл(Хе) л-- А это неравенство, имеющее место при любом т, противоречит тому, что 1нп ол (х ) = О. Теорема доказана.

432. Звмечвнне о нввзи-рввивмериой сходиместн. Итак, если функциональный ряд (3) состоит из непрерывных в промежутке л = [а, Ь1 функций и сходится в этом промежутке к сумме /(х), то для непрерывности этой последней д о с т в т о ч н в 4321 1 2. оункционяльнгян свойства суммы видя 433 равномерная сходимость ряда, но — в общем случае — вовсе не н е о б х о д и м а . Было замечено еще Дини и другими, что д о с т а точны м условием является некая»ослабленная» равномерность сходимости: она состоит в том, что для каждого числа е О и каждого номера Ф' существует хоть один не зависящий онз х комер л»)ч", такой, ипо неравенство (б) вьнюлняется одновременно с)ля всех х из зь.

Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы и испольэовали лишь о д и н номер п, при котором неравенство (13) выполняется для всех х из Х. Однако даже эта»ослабленная» равномерность все же не является н е о б х од и м о й для непрерывности суммы Дх) ряда (3). Она не имеет места, например, для рядов (15), сходящихся к непрерывной сумме У'(х) = О. Ар цела (С. Аше14) ввел в рассмотрение в 1883 г. особый тип сходимости (впоследствии получивший название к в а з и - р а в н о м е р н о й сходимости), который решает вопрос о точи о й характеристике сходнмости ряда, обеспечивающей непрерывность его суммы.

Про ряд (3), сходящийся в промежутке ь'= (а, Ь), говорят, чпш он сходи»пся к в а з и - р а в н о м е р н о в ь" к сумме 1(х), если для каждого числа е О и калгдого номера Ф' промежуток ь может быть покрыт коне ч н ы м числом открытых промежутков (а Ь») (аз Ьз) ' ' ' (аы Ь~) ' ' (аь Ьи) и им в еоотвенгсл»вие могут быть поставлены й номеров нз пз и» пп ( М) так, что длл всех зз»аче»шй х (из ь), содержащихся в (аз, Ь,) (1-1, 2, ..., 8), неравенсныо !з'(х) -А»(х) ! - ! р.»(х) ! выполнлется одновременно. нПри упомянутой выше»ослабленной» равномерной сходимости в с е м значениям х из Х ставился в соответствие о д и н и т о т же номер н, а здесь все х разбиваются на группы, которым в соответствие ставятся разные значения п, но всякйй раз — в конечном числе.

Пользуясь этим понятием, Арцела установил следующее предложение: Тйпй»а.ып 3. Пусть й»ункцни и„(х) определены и непрерывны в прил»ежу»пке .® = [а, Ь), и ряд (3) сходится в этом промежутке. 2(ля пшго чтобы сулзлш ряда/(х) такяее оыла непрерывна в К, необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился в 2Б к )'(х) к в а з и - р а в и о м е р и о. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим сначала непрерывность функции у(х), а значит и всех остатков (вч(х).

Возьмем в й5 л ю б у ю точку х'. По заданным числам г и%для нее найдется такой номер и' М, что !дъ (х') ! е. По непрерывности функции тл'(х) подобное же неравенство !йл (х)! е будет выполняться и в некоторой окрестности о'= (х'- д; х'-ь д') точки х'. Из всех этих открьпых промежутков о', построенных для всевозмолшых х' из Х, актаввтся некая бе с к о я е чн а я слстема ~, покрывающая промежуток Х.

Тогда, по лемме Бо реля (88), нз нее выделяется и конечная подсистема промежутков ~~» = (о,, о», ..., ок), 2ЗГ.М Фихсг»ч,з.ц 434 Гл хп ФУнкЦКОнАльные послеДОВАтельности н РЯДЫ !433 также покрывающая Л'. Эти промежутки и будут теми, о которых идет речь в определении квази-равномерной сходимости.

Характеристики

Список файлов книги