Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Остается открытым вопрос о непрерывности У(«) при «О в случае, если р 1, 4 1, ио р+й=ж2. Мы увидим ниже [491, 13)), что при этих условиях функция У(«) в точке х = О имеет разрыв. 2) Рассмотрим ряд Дир их ле [Зйб, 3)] 2 — '" »=1 и» где (а„) — некоторая последовательность вещественных чисел. Предположим, что ои не будет явсюду расходящимся», так что для него существует пограничная абсцисса сходимости 1 4 . Какое бы число «, 1 ии взять, ряд х 1Л" сходится. Отсюда можно заключить, что рассматриваемый ряд сходится р а в н омерио для всех «~«я [аналог теоремы 1', 437).
Это утверждение следует из признака А б е л я, если переписать наш ряд в виде лл 2~ —— »=1 Л"Ъ Лх 1 и заметить, что мноящтсли — убывают с возрастанием л, будучи все вместе их-х, ограничены единицей. А тогда, по теореме 1, сумма ряда будет непрерывна для « «е, а следовательно (ввиду произвольности х,), — для всех х 1 [аналог теоремы 2').
452 гл. хп. Рз'нкционхльнын послндовхтильности и виды [439 Вссш Л конечно, и Ряд я=1 я сходится, то таким же образом убеждаемся в Равномерной ской™ости Рассматриваемого ряда для х»Л [ср. 5'] и в непрерывности его суммы при х=1 справа [ср. б').
3) В п' 390, 6), определив фующию Е(х) равенством Е(х)= 1+.~', —, я=! я! мы убедились в том, что она удовлетворяет такому соотношению: Е(я+ у) = Е(х) Е(у). Теперь, согласно теореме 2', 437, функция Е(х) оказывается непрерывной во всем промежутке от — до -Г . В силу же доказанного в 75, 1', непрерывное решение уравнения (1) необходимо имеет вил: Е(х)=а".
Наконец, основание а, очевидно, определится равенством 1 а=Е(1)= 14.У вЂ” =е. я=с л[ Итак, окончательно, Е(х) = е" [ср. 404 (11)). 4) Дадим новую траитовку биномиального ряда [407 (22)[ т(т-1) т(т — 1)(т-2) т(т-1) ... (т-я+1) 10тх+ х'+ хз+... + ха+ ..
1 2 123 12...я который абсолютно сходится при любом т, если [х[ 1. Поставим задачей определить его сумму, Обозначим эту сумму как функцию от т (при фиксированном х, )х[ 1) через р(т). Из элементов алгебрм известно, чго лри любом натуральном т (ряд тогда обрывается на (т01)-м члене) (с(т)=(1+х)т; покажем же, что это верно для всех ся. Взяв любое lс, рассмотрим подобный же ряд lс(й — 1) ' lс((с-1)((с-2) (с(lс-1)....
()с — я+1) 1-Нсх+ хсЧ х'+... 0 х" 0 .. 1 2 1.2.3 1.2.... я с суммой р(Е) и перемножим оба ряда по правилу К о ш и. Нетрудно написать несколько первых членов этого произведения: Гт(т -! ) х(/с — 1) ! Р(т). ~ь) !+( фь)х+[ + 0.! 1 хе+ 2 2 (т+ сс)(т+ /с — 1) 1ч-(т+/с)х+ хс+... 1 2 Коэффициентом при — будет, очевидно, некий целый многочлен я-й степени л! относительно т и сс.
Каков вид его7 Веля т и й — любые н а тур а ль н не 453 4391 ! 3. ПРИЛОЖЕНИЯ числа, болыпис и, то из элементарных соображений явствует, что названный коэффшиент будет (тч-)с)(тч- [с -1)... (т+)с — пь1). Следовательно (как это вытекает из алгебраической теоремы о толшестве целых многочленов с двумя переменными), этот же вид он будет иметь при л ю б ы х т и /с. Итак, искомая фушщия со(т) удовлетворяет функциональному соотио. вению со(т) .со(гс) = со(т+ Х).
Установим теперь непрерывность функции р(т). Это следует из равномерной сходимости биномиального ряда для всех значений т, ие превосходящих по абсолютной величине произвольно взятого числа то 0: для этих значений ои мажорируется сходящимся рядом ~о(то+1) то(»по+ 1Хто+ 2) 1+и» [х[+ [х[о+ [х)»-Ь..
1 2 1.2.3 В таком случае, как мы знаем [75, 1'[, необходимо р(т) ат Так как а =(о(1) = 1+ х, то окончательно р(пс) =. (1+ х)т. 5) Известный уже читателю логарифмический ряд [405 (17)) можно получить ю бииомиального ряда [407 (22)), с помощью соотношения [77, 5 (б)[ )п а=1!ш/с()са-1) ()с=1, 2, 3, ...) с. ! положим а=1+х (гце [х[ 1) и подставим вместо (1ьх)" его разложение -'6-') И- ) — Ы-"') (1+х)" =1+ — х"; х'+... +- с" + ..
)с 1 2 1 2 ... л Тогда 1л (1-Рх) представится как предел при й выражения )с[(1Ч-х)» — !3=-х- — [1 — — )+ — [1 — — Д1 — — ~ — .. 2 й)! 3 ~ /с)1!( 2» +(,)о с ~1 ')(1 ').....~1 ' )+.„(2) члены этого ряда (при пост о я ни о м х) содержат, в качестве переменной, натуральный параметр й. Во всей области его изменения рял (2) сходится р а в н омерио относительно й; это (по признаку Вайс рш тра се а) следует из того, что он мажорируется рядом [х[' [х[о [х[" [х[+ — + — 0...+ -~-...
(х=сопм, [х[ы!). 2 3 л 4391 455 1 з. пгнложиния х Так как созе» вЂ” -1 (например, см. 79, 4) при 1= 0), а т !8 — х, то в пределе, ш в» действительно, получается требуемое разложение (404 (12)) х» пи х=х- — + 3! Остаегся обосновать почлевный предельный переход в скобках, где число членов при каждом т конечно, но неограниченно возрастает вместе с т (ср. 6)). 1 1 Пусть взятое х содержится между — -т»л и + — т»л; будемсчнтатыи лз, 2 2 х Легко показать, что тогда выражение т !8- по абсолютной величине убывает с возрастанием л» и, следовательно, ограничено: х! !х~ ш!8 — !~А=а»!8 — (т т,). В таком случае разложение в скобках мажорируется сходящимся рядом у. ч- — + ° ° ° 3! Рассуждение завершается как и в предыдущем примере. Аналогично может быть получено и разложение соз х в степевной ряд.
3 а м е ч а н и е. Примеры 5), 6) и 7) воспроизводят в уточненном изложении вывод разложений злементарнык функций, данный Э й л е р о м в его»Введении в анализ бесконечно малых» (1748). 8) Доказать, что - ( !)л-» л (а) 1!и» ~ =- — !п2, »-т — с а=! л 1-гх" 2 х" 1 (б) 1лп (1 — х) „з; ( — 1)л — » = — !и 2. х тс»» 1 — х"' 2 (- 1)" (а) Пусть О х 1; так как ряд ~ сходится, а множители л 1 4х" ограниченные сверку единицей, монотонно убывают с возрастанием л, то приложйм признак Абеля, так что ряд сходится равномерно для всех х в (О, 1).
Переходя в нем к пределу прн х-1 — О по член н о (теорема 4), получим требуемый результат. (б) Пусть и здесь О х«1; имеем: (1 — х)х" х" ~( Пл-» — ~( Пп — » 1 — хь»»=! 1+х-, 'х'+... +х»л На этот раз ряд ~( — 1)" ' не сходится, но его частичные суммы ограничены. 1 Зато множители не только монотонно убывают с возрастанием 1+х+...+хе» 456 гл хп.
езнкцнОНАЛЬНЫЕ ПОСледОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [439 л, но и равномерно для х в (0,1) стремятся к О, ибо х" х" ! хл 1+х+...+х'л ' 19х+...+хл ' яхл л Х' Хг Хл Х' Х' х — — — — + — — — — — + 2 4 3 6 8 полученном перестановкой членов нз логарифмического р1ша [ср. 388, пример 1)] 10) Применим теорему Абеля [6'] к доказательству его же теоремы об умножении рядов [392]. Рассмотрим два сходжцнхся рлла А=.'5~лл п=1 (А) В.-2Ьл л 1 (В) и предположим, что нк произведение (К о ш и) С=.5;сл л=1 где сл =а,Ьл+ а,Ьл ,+ ...
+аль, также сходится. Нужно дохазать, что тогда А В=С. Нз скодвмостн ряда (А) прежде всего заключаем, по лемме и' 379, что ряд А(х) =-,~лаял л=1 а б с о л ю т н о сходится для ]х] 1, так что радиус сходимосги В этого ряда наверное м-1. Таким образом, во всяком случае имеет место соотношение 1пп А(х)=-А=~ал и 1-С п=1 именно, при В=! — по теореме 6' Абеля, а при В 1 — по теореме 2' [437] Если рассмотреть, аналогично, ряды (при ]х] 1): В(х)=2;Ь.х., п=1 (В") С(х) ~слх", л=1 то для них будет спраиедливо все сказанное о ряде (А*) В таком случае приложим признак Дирикле, ряд сходится равномерно, допустим почленный предельный переход при х-1 — О, н т. д. 9) Говоря о степенном ряде, мы всегда подразумевали„что члены его расположены в порядке возрастания показателей.
Если в н у т р и промежутка сходимости это не имеет значении, поскольку ряд сходится абсолютно, то, например, теорема А б е л я становится неверной без этой оговорки. Проверить это на ряде 440] 457 0 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Применяя теперь к а бе о лю т но сходшцимся рядам (Ап) и (В*) теорему Коши [389), будем иметь А(х) В(х) = С(х). Остается лишь перейтн к пределу здесь при х ! — О, чтобы получить требуемый результат: А В=С. 440. Примеры иа почлевное интегрирование радов.
1) Суммирование ряда ( 1)л можно осуществить так: п=о Зл+1 ( Пл ( 1)л йщ ~ Хю+з= !!Ш ~ ~~ ( !)лхзл,~х л о За+1 х 1-Оп=О За+1 х 1-0 ° п=о о г ах, ]1 (х+1)* 1 2х-1 л ] 1 л = йш з! -- = !нп — !л + — лют — +,=- — 1п20 — —. х 1-0 1+хо х 1-0 [6 хх — х+1 ]1З ](3 6](3) 3 3]'3 о Мы использовали сначала теорему А б е л я, а затем — почлеииое интегрирование степенного ряда [437, 6'! 430, 7']. 2) Почленным интегрированием рядов 1 -- 1-х+хх-... +(-1)л-1хп з~-... 1чх 1 — хп.ьпл ! ( 1)л — 1хп(л-х) 1+х' в промежупсе [О, х) (где ] х] 1) сразу получаются разложения 1(Х хп х' х" — = 1а (1+ х) = х — — + — —...
-, '(- 1)л ' — + .. 1Чх 2 3 л о х Ых х' хп хоп-1 — =агсгйх=х — — + — — -. 4( — 1)" ' — ч 1+х 3 5 2л — 1 о которые в 405 [см. (17)] и 404 [см. (15)) были получены более сложным путем. Справедливость первого разложения при х=1 и второго при х= х! устанавливается дополнительно с помощью теоремы А б е л я ]437, 6').
1 3) Если вспомнить, что производная функция агснп х, равная, рвала]11 — х' гаегся в р1щ следующим образом [407 (24)]: 1 " (2л — 1)!! — =1+ ~'- х'л (-1 х 1), 458 гл. хн. оункционлльныи послндовлтнльности и ряды [440 то почленным интегрированием этого ряда легко получить (новое для нас) разло- жение самого арксинуса: (2л !)и хю+г — =агсзшх=хь '5' — (-1 х 1). [(~ „, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
