Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 61
Текст из файла (страница 61)
С помощью признака Даламбера [377) легко установить, что при ~х~ 1 биномиальный ряд (абсолютно) сходится, а при ~х) =.1 расходится. Исследование дополнительного члена Г„(х) мы будемпроизводить в предположении, что ~х~ «.1, причем сразу возьмем его в форме Коши (Я) (форма Лагранжа и здесь лает ответ не при всех значениях х). Так как 7тп !!)(х) т(7и 1) (т н ! 1)(т л)(1 ! ф„-А ! то будем иметь: Г (х)=- — — ..'— "- -- — —.— -"-(1-())"БА!! Г х) 1 2 1 лх +! Представим его, перегруппировав множители, в виде: (ги — 1)(!и†2)...(о~ — 1 — а Е 1) „ „, 1 ! — О 1" Г,(х) =- — — — — — — -' — '' — — — — х"тх()ч Ох)"'-! ~ — ~ . 1 2 ...
л (!+ах)' . Первое нз этих трех выражений представляет собой обпий' члеге бнномиального же ряда, но отвечающего показателю т — 1; так как при ~х~ .1 биномиальный ряд сходится, каков бы ни был показатель, то это выражение при а стремится к нулю. Что же касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине содержится ме7кеу границами )тх~ (1 — )х~) ' и ~тх! ° (1+ )х() -', не зависящими от л, а третье, как и в 405, меньше единицы. Таким образом, Г„(х) О, т.
е. для (х) 1 имеет место разложение (1+х)'" = 1+7нхч- — — ха;— т(л! — 1) 1 2 (гг) 12...л которое также связано с именем Н ь ю т о н а. 4071 ! 7. РАЗ чожения элементАРных Функций 373 Мы не рассматривали вопроса о применимости его при значениях х= 11.
Легко сообразитгч что бииомиальный ряд есть частный случай гипергеометрического ряца и получается из последнего при и= -л7, ()=у и замене х на -х. Вследствие этого, по таблице в 402, 8), легко составить такую таблипу, характеризующую поведение бинамиального ряда на концах х= 51 его промежутка схалнмости: л7 О або. сходится неабс. сходится расходится х=1 0 л7 — 1 л7 - 1 або. сходится расходится л7 О л7 О х= — 1 1 — — - = 1 — х Р х' -... !- ( - 1)" 1 х" -1-... 1+х (обыкновенная геометрическая прогрессия), затем, 1 1 1 5 [Г1+х=1+ — х- — ха<и — х' — — х'Ф... 2 8 16 128 (-1 х 1) (2л — 3)а ...
!.( !)л — 1 "ги.!.. 2яй ( — !мх«1) (23) и 1 1 3 = 1 — — х-1-— )71 1-х 5 35 х'- — х'-1- — х'- 16 128 (2л — 1)й ! (-1)" х" +... 2иа ( — 1 х 1). (24) Важно подчеркнуть, что в случае рационального гл сумма биномиального ряда дает всегда ар и ф мети чес к ое значение радикала. 3 а меч акия. 1. На этом построено, например, следующее любопытное разложение, принадлежащее Шлймильху (О. Ба[7!опии)7). Прежде всего, полагая в (23) х= -у', где — 1 у 1, получим, чго 1 — 171 — у1 (2я- 3)!! " уеа-1 у а=1 2л!! 2г А затем, вместо у подставим сюда выражение — -- -, где т изменяется уже между !фг' и + . Окажется, что т, если [к[ли!, (271-3)!! ~ 21 1™1 й (,„,) г Можно показать, что всякий раз, когда биномиальный ряд сходится, его суммой будет (1+х)"'. Здесь мы на этом не останавливаемся, желая избежать кропотливого исследоваюи дополнительного члена, так как этот результат просто вытекает нз одной общей теоремы, которая будет доказана виже [см. 437, 6'!.
Отмеп1м некоторые частньге случаи бияомиальиого ряда, отвечающие, иа- 1 1 пример, из= — 1, —, --: 2 2 374 гл. хг. ьнсконнчныв гиды с постоянными члннлмн [408 Этот пример интересен тем, что для функции, определяемой в разных проме- 1 жугках различи ы ми аналятическими выражениями г и —, дается в то же время и с д и н о е аналитическое выражение — в виде суммы ряда [ср. 46; 363, 5)). П. Во всех рассмотренных вьппе примерах разложения функций в ряд Т ейл о р а выходило так, что для всех значений х, прн которых ряд сходился, его сумма равнялась той функции, для которой ряд был построен.
Поэтому у читателя могло возникнуть подозрение, что вообще достаточно установить сходимость ряда, даже не проверяя соотношения (5), чтобы было обеспечено разложение (4) ° (6). На деле, однахо, это не тэк, Если, например, вернуться к функции, рассмотренной в замечании и' 138: у'(х)=е * (при хао), ф(О)=0, то для нее, как мы видели, существуют даже при х = О производные всех порядков, но все в этой точхе обращаются в нуль. Ряд Т ей л о р а вида (6) со сплошь нулевыми коэффициентами, конечно, сходится везде, но ни при одном значении х (кроме х= 0) не воспроизводит значения исходной функции.
408. Разложение синуса и косинуса в бесковечные произведения. Мы познакомняись выше с разложениями вакшейших элементарных функций в бесконечные ряды, расположенные по степеням х, т. е. с представлением этих функций в виде збесконечных многочленовз. В заключение этого параграфа мы представим функции яп х и соз х в виде бесконечных произведений, которые как бы осуществляют разложение на множители соответствующих збесконечных многочленов». Начнем с вывода одной вспомогательной формулы.
Известна из алгебры формула Моаара": (соз г+ г з!и г) м = соз тг6 1 з!и вг, где т будем считать натуральным числом. Раскрыв слева скобки — по обычному правилу — и приравняв слева и справа коэфФициенты при «мнимой еднницез 1=- [! — 1, получим эл(т — 1)(т — 2) з!пви=лзсозт зг.зшг — созт зг.з!изг+... 123 Если т=2л+1 нечет и о, то, заменяя четные степени косинуса по формуле созж г = (1 -зшз г)», мы представим результат в виде: ып(2л61)г=ыпг Р(ып'г), где Р(и) есть целплй многочлен л-й степени.
Этот многочлен, если через и„из, ..., ил обозначить его корни, можно следующим образом разложить на мнохопепи Р(и)=а(и — иг)...(и — и„)4А (1 — — ~ ... !1 — — ~, и! ~ л4 Корни и„и„, ..., и„легко определить из (25), заметив, что если г обращает в нуль з!п (2л+1)г, ио оставляет яп г отличным от нуля, то ып' г необходимо будет корнем л л л многочлена Р(и). Очевидно, значениям г=. — , 2 , ..., л — , содержа2л61 2л+1 2л+1 щимся между О и — и идущим в порядке возрастания, отвечают возрастающие 2 з См., например, вюке, 453. 375 5 Ь РАЗЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ же (следовательно, различыые) корыи: л и и и,=.з!и" —, и»=5!п»2 —, ..., ии пп'и=в 2л+1 ' 2п-1-1 2п+1 павелец, козффициент А /я(О) определяется, как предел отношения 5!и (2пч-1)х/5!и 5 при х О; отсюда А = 2п+1.
Таким образом, приходим к формуле 8»ПЯ Х 5!П' З 5!и (2п-)-1)х= (2п-1-1) яп г 1 — — °... ° 1— 5ЯПЯ 5!п' и — ) 2пь1 2п+ 1 х Полагая х= —, перепишем ее так: 2пф1 х 5!П'— 1- 2пф1 (гб) ып' ив 2л-1-1 Будем считать х отличным от О, ил, и 2л, ..., так что яп х и О. Возьмем натуральное число /с под условием: (/с+1)л» )х), н пусть п будет /с. Представим теперь 5!и х в виде произведения: 5»пи=(/» Р» (27) где х 5!и'— 2п+1 охватывает все остальные. Пусть )» пока фиксировано; легко найти предел (/» при и-, поскольку зто (и) выражение состоит из определеныого конечного числа сомыожнтелей.
Так как х 1ып(2п-!-1) 5!п — =х, и 2пь1 (/с 1,2,...,/с), то т ып'— х 2пч! 5!и =(г Ф1)5!п— 2п!1 л 5!ПЯ— 2пш1 х 5!ПЯ— (и), х 2пф1 (/» =(2п+1) 51П вЂ” !в 2п+1 л 51П'— 2п Р1 содержит лишь /с множителей в скобках, а — 1— (и) 5яп» (/с'! 1) 2л-ь! х 5ШЯ— 2лф1 х' 1пп и /я'ля 5!ПЯ /С— 2пф1 х 5!Пив 2ль1 1— 5ШЯ /С— 2п+1 х ып'— 2пф1 л 51ПЯ П вЂ”вЂ” 2п+ 1 Р»=.
1йп !'», причем з!ох-П» У». (А) » Займемся о ц е н к о й предела !'». Известно, чзо для 0 р — имеют место неравенства 2 2 — е з)пр«р [64, (9); 133, 1)). Поэтому х х мп»вЂ” 2л-,1 (2л+1)' л 4 Ь»л' ып» й — — (Ь = х»-1, ..., л), 2л41 з» (2л+1)» зак по = (")- (1 - ' ) ..... ~1 - ' ) . Бесконечное произведение „„~ -Ы1 (28) (где Ьь выбрано так, чтобы было 48»~ х») сходится, ибо сходится ряд »=», ~~ [теорема 5', 401). Поэтому о с тато чн о е п р о из ведение при 7»- должно стремиться к 1 [401, 2').
Очевидно, мы лишь )сипим второе нз неравенств (28), если напишем !'» )И (ь) переходя (при фиксированном х) к пределу при л -, получим Отсюда следует, что 1ип !'»=1, »- так что 1нп (7»=-з)п х, »- и мы приходим, окончательно, к замечательному разложению: з(пх=л !( [1 — -- ~=х~) — — [[! — — ) °... ° (! — — )..., (29) впервые установленному Э й л е р о м. )78 Гл. Ее Бесконечные Ряды с ПОстОннными членАми [408 Ввиду (27), существует и предел 377 а 7 РАзложения элементАРнык Функций Оно имеет место, разумеется, и для исключенных раиео значений х=О, ел, и 2«, ..., ибо тогда обе части этого равенства суть нули. Легко видеть, что отдельные множители как раз и отвечают различным корням зш х'. л Если в полученном разложении положить х- —, то найдем: 2 откуда снова вытекает формула В а л л и с а (317; ср.
400. 2)!. Укажем еще одно интересное применение этого разложения, которое, заменяя х на ях, можно представить в виде: хП а!Ллх=лх Д 1 — — ) . «-1 ( Л«~ Вспомним определение Функции Г(х) (402, (!3)(: , -И' Г(х) = — Д Х«=1 Х и и соотношение Г(хв1)=-х Г(х) (там же, (15)!. Тогда - ~'"-.') ' Г(1 — х) = — х Г(-х) = Д' «=1 х 1-— л Умножав, сразу приходим к так называемой формуле дололяеяил Г(х) Г(1 — х) зш лх (30) также найденной Эйлером; она имеет место при любых иецелых значениях х"". Аналогично разложению з!и х выводится разложение 4х' ~ ( х' созх=Д 1 — = Д !в ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
