Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Л 1! 1 1, 1-1 Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (4). л Здесь т н л играют роль независимых церемснных, а частнчная сумма Ал (л) роль функции ог ннх. 335 звл1 3 ь повтовныв и двойныв вядь> Вопрос о сходнмости двойного ряда (10) просто решается для случая поло >кительного ряда, т.
е. ряда с неотрицательными членами: а)'>в О. Теорема 5. Для сходимости ряда (10), если а)">;-О, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. Д о к а з а т е л ъ с т в о. Необходимость этого утверждения ясна. Докажем достаточность. Пусть АЫ>~Е. Возьмем точную верхнюю границу множества сумм А<">: А =кар (Анм>) и покажем, что она и будет являться суммой нашего ряда. Зададим любое е О.
По определению точной верхней границы, можно найти такую частичную сумму А<" >, что Если взять т т, п и„, то и подавно Аф>- А — е, так как Аф> с возрастанием растает, Так как всякая частичная писать, что обоих значков н и т, очевидно, возсумма не превосходит А, то можно на- (при т тм н .н„), а это и означает, что йш А(и> т. е. ряд (10) сходится. На основе этой теоремы можно установить теорему о сравнении положительных двойных рядов, аналогичную теореме 1 п' Збб; предоставляем это читателю.
Рассмотрим теперь двойной ряд, составленнъш из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевндно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрипателъны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все этн случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице О), а значит и в ряде (10), есть бесконечное множество как положительнь>х, так и отрицательных элементов.
ззе ГЛ. Х!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯЛЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1ззв Кроме матрицы (1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов. ~!е ! ~ (а!>>) )а!е>! ... !а;.>! ' )ан)' )аа>' 'ар)' ...,а; и по этой матрице составим двойной рял '>.
)Ла)) 1,Л=! (10*) Подобно теореме и' 377 о простых рядах, и здесь имеет место Теорема б. Если сходится ряд (10в), составленный из абсолютных величин членов данного ряда (10), то и данный ряо сходится. Доказательство. Представим а)'> в виде: а(в),а), а) где )а! >)+а~ > (а! >) -в! > так как р)ь>-)а!1'>), 1>!л>:-)а®), то из сходимости двойного ряда (1О*) вытекает сходимость двойных рядов ~ р(в) Р 1,1=! да> 1э 1,1-! Но тогда сходится и ряд ~ а!")Е—е . г,' (р)"> -дй>), 1,!.=! 1,1,=! а именно имеет сумму А=Р-Д.
Если одновременно с рядом (10) сходится и ряд (1О*), то ряд (10) называе>пся абсолютно сходящимся. Если оюе ряд (10) сходится, а ряд (10") расходится, то ряд (10) называется неабсолютно сходящимся. Докажем теперь теорему о связи между двойным рядом (1О) и простым рядом (6), состоящим из тех же членов. Она аналогична теоремам 1 и 2. Теорема 7. Пусть даны двойной ряд (10) и простой ряд (б), состоящие из одних и тех зюе членов. Тогда абсолютная сходимость зэв1 337 х К ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ одного из них влечет за собой абсолютную же сходимость другого и равенство их сумм.
Доказательство. Предположим сначала, что сходится абсолютно двойной ряд (1О), т. е. сходится ряд (10ь); сумму последнего обозначим через Аь. Взяв любое натуральное число г, составим частичную сумму ряда (бь): У,*= )и,( + ~из~ в... -ь (и,!. Как и при доказательстве теоремы 2, легко устанавливается неравенство У„'"«А", а с ним и абсолютная сходимость ряда (6). Пусть теперь дано, что сходится абсолютно простой ряд (6), т.
е. сходится ряд (бь); его сумму обозначим через У*. Какую бы частичную сумму Аь(п) ~~ ~~ )а(Ф)( Хгм ! ! ряда (10*) ни взять, найдется столь большое г, что все слагаемые этой суммы будут содержаться среди первых г членов ряда (6*), так что Аь(">. У*. В таком случае, по теореме 5, двойной ряд (10*) сходится, а значит ряд (1О) сходится абсолютно.
Наконец, для вычисления суммы У ряда (6) — авилу его абсолютной сходимостн — можно члены его расположить в любом удобном для этой цели порядке [387]. Мы расположим их по квадр а там схемы (1); тогда, если еще объединить члены, отличающие один квадрат от следующего за ним, получится: У= 1пп А("> А, что и завершает доказательство. Сопоставляя теоремы 1, 2 и 7, сформулируем, в заключение, такое Следствие. Пусть матрица (1) и последовательность (5) состоят из одних и тех же членов. Тогда двойной ряд (10), повпюрные ряды (3), (4) и, наконец, простой ряд (6) — если хоть один из них оказывается сходящимся по замене его членов их абсолютными величинами — все четыре сходятся и имеют одну и ту же сумму.
В случае положительных рядов (т. е. при а~('>~0), очевидно, достаточно сходимости одного из указанных рядов, чтобы сходились все четыре и притом к одной и той же сумме. 22 Г, Ы. Фххххагхльц, х. и 338 Гл. К!. БескОнечные Ряды с НОсгоянными членАми [395 395. Примеры. 1) Интересный пример дает матрица (О х 1) — х' х* хя — хе(1 — х') х'(1 — х') — х'(1 — хз) х'(1 — х') — хз(1 — х')- "х'(! — х')' — х'(1 — х')' х'(1 — хз) х х(1 — х) х(1 — х)' Здесь ряды по строкам а 6 с о лют н о сходятся и имеют, соответственно, суммы х, х(1-х), х(1 — х)', ... Ряд, составленный из этвх сумм, также а б с оп ю т н о сходится; его сумма равна 1. Между тем другой повторный ряд не сходится, так как ряды по столбцам имеют суммы, попеременно равные +1 или — 1. Этот факт нисколько ве противоречит теореме 2, ибо для матрицы и з а бс о л юг вы к вел и чин ни один повторный ряд не сходится. Мы в1щвм лишь, что предположение о б а б с о л ю т н о й сходимости рядов по строкам (по столбцам) и об абсолютной же сходимости ряда, составленного из ик сумм, не может заменить требования, чтобы сходился повторный ряд для матрицы абсолютных величин.
2) Приведем знаменитый <парадокс Иог. Б е р н у л л ня, Рассмотрим положительную матрицу (недостаюшие члены можно заменить нулями)." (1.2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 2 3 3-4 4 5 1 1 34 45 1 45 [Х. Гольд бах (СЬ. Оо!ЕЬасЬ)). и приравняем сумму двух соответствующих ей повторных рядов. Если сначала 1 1 1 суммвровать по строкам, то получим суммы [ср. 29, 9)): 1, —, —, —, ..., из кото- 2 3 4 рых составится гармонический ряд; его сумму обозначим через х. Суммируя же по столбцам (все они содержат по конечному числу членов!), придем к результатам 1 1 1 1 2 3 4 5 — — из вих составится гармонический ряд без первого члена, что в сумме даст з-1.
Итак, я= х — 1! На деле, конечно, этот гларанокс> является лапь доказательством от противного того факта, что сумма з не может быть конечной, т. е. что гармонический ряд расходи юя. 3) Пусть д пробегает всевозможные степени с натуральными основаниями и показателями (ббльшимн единицы), и притом — каждую однажды. Доказать, что 340 гл. х). ьнсконнчнын гиды с постоянными члннлмн [303 Видоизменим теперь матрицу так: сохранив в т-ой строке первые т- 1 членов прежними, вместо т-го члена подставим сумму гт всех членов т-й строки, начиная с т-го, а остальные члевы отбросим. Для новой матрицы гз аз() г, ат аз аз ... аи-т гт (и) (и) (а) (и) (аь(), (иь() (иьт) (и.~-т) (иьт) аз аз ...
ага г аи Суммы рядов по строкам, а с ними и сумма первого повторного ряда останутся прежними [см. (12)]. Для суммирования рядов по столбцам вычислим сначала (т-1)! ,=-и Д)+1) ....(Рет) здесь мы снова воспользовались соотношением (11), при и=-т — 1, р=т. Сумма же остальных членов т-го столбца равна (т — 1)! (т-1)! (иг-1)! ~=п ьц!((е)) ....(ю Ььи),=((три)(тЧиЧ-1) ... (2т-Ьи) т(т+1) ... 2т Л ...=2;" [в (11) мы положили и=р=гг~]. Окончательно же, сумма членов т-го столбца .оказывается равной (т - 1)! [(т-1)!]г — 3 т(ги)-1) ... (2т-1) 2т 2т! Приравнивая, по теореме 3, суммы обоих повторных рядов, мы приходим к инте- ресному соотношению: 1 " [(т-1)!]г ~ — =.
3 ~— т-( й' ! 2нй (1 3) Так как ряд справа сходится очень быстро, то он облегчает приближенное вычисление суммы важного ряда, стоящего слева. Больше того, ниже [440, 7] мы увидим, что выведенное соотношение позволяет выразить сумму первого лз ряда чв конечном виден она равна — (этот результат принадлежит Э й л е р у). 6 ! г~ , а(г) ' а( (3) ат -Л (т — 1)! (т-1)! ч=! (т — 1->и) ....(2т — 1+и) ир(тЧ-1) °... (2т-1) за1 1 5.
ПОВТОРНЫБ И ДВОЙНЫИ РЯДЫ 5) Остановимся на риде Л ам берта: .з х Ез(х) = .~~ азз— 1 — х" ограничиваясь предположением, что [х[ 1. Мы видели [385, 5)[, что при этом предположении рзщ Л ам бе рта скодится при тех же значениях х, что и степенной ряд у'[х) = ~ аххз'. 4=1 Допустим же, что радиус сходимости Л этого ряда О [379), и будем считать [ х[ )1. Очевидно: хз хк.~.хза т, „+хыч 1 — х" Составим теперь матрину из этих членов, умноженных еще иа аз., помещая оди- наковые степени х в один столбец [пустые места можно заполнить нулями): а,х а,х' а,х' а,х' а лз а,х' азх' а,х' а,х' азха азх' азхз а,хз а,зз а,х' а,хм а.хз а,х" азх' азхз а,х" азх а,х' а «44 пРичЕм аа =.5'; ак) з/з е(х) =.~~ а„х", з=! значок к/44 условно означает, что сумма распространяется лишь па делители й числа и, Повторный ряд по строкам как раз и имеет сумму фх). Так как степенной ряд, а с ним и ряд Л а м б е р т а, сходится при замене х на [х[ и аз на [аа[, то можно применить теорему 3 и просуммировать и о с т о л б ц а м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
