Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если исключить эти случаи, то с помощью при- 1 ПХ ведеииой леммы легко установить существОВаннс ПОГРаничной абсциссыи ох о димости 2, такой, что ряд (12) сходится прн х=д и расходится при 1 ( Нп-» х=д Например, для ряда ~', —, очевидно, 2=1, а для ряда,~» 1 ИХ 1 Пх имеем 2=-0. Если угодно, для»всюду сходящегося» ряда можно считать 1 =— а для »всюду расходящегося» положить Л= -> Читатель легко усмотрит сходство со степенными рядами: в обоих случаях »область сходимости» представляет собой с и л о ш н о й промежуток. Но есть и существенное отличие: область а б с о л ю т н о й сходимости здесь может не ( 1)п — 1 совпадать с областью сходимости вообще.
Так, указанный тольхо что ряд ~',— пх сходится для х О, а абсолютно сходится лишь для хь1, в предположении лишь, что х ае имеет вида Ии (Е=-О, й 1, и 2, ...). Таким образом, если только х и 21»я, обе суммы при любом п по абсолютной величине ограни- 1-И По признаку Д и р и х л е, оба ряда сходятся при любом значенви х, отличном от Ми, впрочем, первый ряд сходится и при х =-2Ьг, ибо все члены его обращаются в О. В частности, например, сход»пся ряды 3КЧ 1 л. х1. БескОнечные Ряды с постОянными членАми [303 4) Сопоставим с рядом Дирихле (12) ряд п!ая и 1Х(ХЧ-!) ...
(ХЧ-И) (13) прн тех же значениях коэффициентов ая. При этом, естествевно, будем считать х отличным от О, — 1, — 2, ... и т. д. С этим ограничением вмсет место такое предложение, принадлежащее Л а ил а у (Е. 1,апбап): ряды (12) и (13) сходятся прп одних и тех же значениях х. Рвд (13) получается из ряда Дир их ле (12) путем умножения его членов, соответственно, на множители: и!их (и = 1, 2, 3, ...). х(х+1).... -(х+и) (14) При достаточно больших значениях п эти множители приобретают определен- ный знак. Кроме того, начинал с некоторого места, оии изменяются уже м о н о- тонно. Действительно, отношение (и-1-1)-го множителя к и-му будет таково: т+ич-! ХЧ! 1-н —— и Но [125, 4)) ( ! ) Р1 хч-! (х+1)х (1) и, аналогично, ! х-~-1 (х+1)' (1) =1 — — + — —.1.о ~ — 1, хд! и и' (п'1 1д- —.
п откуда я+1 !+— 1+— Из последней формулы явствует, что лрн (х+1)х О упомянутое отношение в конце концов становится ббльшим единишз, а при (хь!)х 0 — меньшим единицы. Для того чтобы установить ограниченность множителей (14), мы сошлемся на то, что [как это будет доказано ниже, в и' 402, 10)) для выражения (14) при п- существует конечный предел. Таким образом, по признаку Абеля, сходимость ряда (12) влечет за собой сходимость ряда (13). 3П 1 3.
сходнмость пРОизВОльных РядОВ Так как вазваииый предел (как мы увидим) всегда отличен от О, то подобные зяшпочеиия применимы к миожителям, обратным по отношению к (14). В таком случае, по той же теореме, и сходимосп. ряда (13) влечет за собой сходимость ряда (12). Этим доказано все.
з! Подобного же рода взаимность может быть установлена между поведеиием так называемого ряда Л а м б е р т а (1. Н. [лшЬег1)! х л Д а„— 1 — хл (1зз и степенного ряда [379) 2"", л=1 (16) с теми же коэффициевтами а„(значения х= 61, конечно, всключаются). Точнее ГОВОРЯ: Если ряд Ла. л=г (А) сходится, то ряд Ла м б ер т а (1зз сходится лри есех значенияч х; е яротиеном нее случае он сходится как раз для тех значений х, для которых сходится стеленной ряд (1 6). [К в о п (К.
Клорр).) (а) Пусть сначала ряд (А) р а с х о д и т с я, так что радиус сходимости ряда (А) будет Ет1. Покажем, по лля [х! 1 поведение рядов (15) и (16) одвиаково. Если сходится рял (15), то сходится и ряд, получеввый умиожеиием его члеиов ва х"*, а следовательво, и ряд (16), который является разностью обоих рядов [364, 4'): х л х л -а„.."]. л=1 л=з 1 1 хл 1 — хл 1 хл ~ алхл — , равиокак и ~ а, хл. л=1 1 — хкл л 1 1-х"' ч Если какой-либо ряд, скажем, ~ Ьл сходится, то зго значит, что степенной 1 РЯЛ~', Ьлхлсходитса пРи х=1, а тогда, по лемме и'379, этот Радзаведомосходитса 1 при тобом х, для которого )х) 1.
Этим замечанием мы еще дважды будем пользоваться в рассуждевив, проводимом в тексте. Пусть теперь ряд, пслучеввый 1 1-х"' сходится ряд (16); тогда, по прививку А б е л я сходится умио;кевием его членов иа мовотовво убываюшие мио- 312 Гл. х1, БескОнечные Ряды с постОянными членАми [3(5 Следовательно, сходится и ряд (!5), который представляет сумму этих рядов Р64, 4[: Л хл х Р,Г +а хл 1. л 1 1 — гл и — 1 1-х'л 1 — х'л Для [х[ 1 ряд (16) заведомо расходится; мы утверждаем, что при агом значении х расходится и рял (1э1. Действительно, в противном случае, нз сходи- мости ряда хл 1 Л" — "„==- Л;С л 1 1-хл л 1 (1)л И вытекала бы сходимость рядов [364, 4'): как упомянуто, сходится, следовательно, сходится и ряд [364, 4 [: 1)' а»е а»в х л 1 Л "— „=-- Л",,„ш-2 »=1 1 — х» «=1 (! )л «=1 Ь) б) В заключение, в качестве примера непосредственного применения преобразования А б е л я (1 0), приведем тождество .'5 а хл=(1-х) 2 А,х".
и 1 и«1 Л»1 — а,-[-а, 1 ... Ьа„(»=0, 1, 2, ...), вопреки предположеюпо, (б) Вели ряд (А) сходатся (так что )Гм1), то для [х[ 1 ряд (16) сходится, и сходимосгь рзща (15) устанавливается как и выше. Остается показать, что ряд (15) сходится и при [х[ «1. [1 Действительно, тогда ~ — ~ 1 и ряд [х з!з ! к свойствл сходящихся оядоп При этом )х! предполагается не только меньше радиуса сходимостн Я первого рада, но и меньше !. В самом деле, имеем: л п — 1 .У; а~х'= г, Айхг — х'+') 1-Алх". =о =о Отсюда при л и получается требуемое равенство, если только установить еше, что Алхл О. С этой нелью возьмем число г под условиями !х~ г=Я, г, 1.
Тогда (пй г! Е !для г=о, 1, 2, ...) и 1 ! 1) Е !(х))л Ег )Алхл! -Е (!с в . — л ... + †! !х!л =-.. — ~ — ~ — †-- !х~л. .л гп! Последнее же выражение при сделанных предположениях, очевидг стремится к О. й 4. Свойства сходящихся рядов Л .=,,!... а.е л=! (А) н станем объединять его члены произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения: азч ..
ьа„„алш!-! ... палм алл,г! ! ..! алл, ... Здесь (лв) есть некоторая, извлеченная из натурального ряда, ч ас т и ч н а я возрастающая последовательность номеров. Теорема. Ряд, составленный из этих сумм: (а,+... +а„,)+(ал,+т+... +а„,)+... +(апх сьт+... +а„,)+... (А) всегда сходится и имеет ту жв с у м м у, что и исходный ряд. Иными словами: сходящийся ряд обладает с о ч е т а т в я ь н ы м своиством.
386. Сочетательное свойство. Понятие суммы бесконечного ряда существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых (рассматриваемого в арифметике и алгебре) тем, что включает в себя предельный переход. Хотя некоторые свойства обычных сумм переносятся и иа суммы бесконечных рядов, но чаще вссто лишь при выполнении определенных условий, которые и подлежат изучению. В иных же случаях привычные нам свойства сумм разительным образом нарушаются, так что, вообще, в этом вопросе надлежит соблюдать осторожность. Рассмотрим сходящийся ряд зы Гл. хь БескОнечные Ряды с постОянными членАми 1эаб Действительно, последовательность частичных сумм нового ряда А1, Аз,...,А», ... есть не что иное, как частичная последовательность Акм Аа,~ ° ° ~ Аа»~ сумм исходного ряда. Этим 140) и доказывается наше утверждение.
Мы видим — пока — полную аналогию с обычными суммами; но эта аналогия нарушается, если мы попытаемся применять сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке. Если дан сходящ и й с я ряд (А), члены которого каждый в отдельности представляют собой сумму конечного числа слагаемых, то, опустив скобки, мы получим новый ряд (А), который может оказаться и р а с х о д ящ и м с я. Вот простые тому примеры: ряды (1 — 1)+(1 — 1)+(1- 1) ч... РЯО+О+Оч-...
=0 1-(1 — 1) — (1 — 1) —... НЧ1-0-0-... =1, очевидно, сходятся, между тем как полученный из них опусканием скобок ряд 1 †1Р1 †1+1»... будет расходящимся. Конечно, если — опустив скобки — мы получим сходящийся ряд (А), то его сумма будет та же, что и у ряда (А). Это вытекает из данного выше. При некоторых условиях можно наперед гарантировать, что ряд (А) будет сходиться.
Простейшим случаем этого рода является тот, когда все слагаемые в (А) внутри одних и тех же скобок будут одного знакаа. Действительно, тогда при изменении и от я» 1 до л» частичная сумма А„ будет изменяться монотонно, следовательно, будет содержаться м е ж д у А,=А», и А„=А„. При достаточно большом 1в эти последние суммы произвольно мало разнятся от суммы А ряда (А), следовательно, то же справедливо и относительно суммы А„ при достаточно большом л, так что А„А. Этим замечанием мы не раз будем пользоваться в последующем, * Этот знак от одних скобок к дрзтям может мекязъся.
3871 315 1 а сВОЙстВА сходящихся РядОВ Рвссмотрвм и сейчас такой ( - 1)В(УА) П р и м е р . Установить сходимость ряда ~ х=1 Л Здесь сначала идут 3 отрицательных члена, за ними 5 положителыпях и т. д, Если объединить каждую такую группу членов одного знака в один член, то получится зиакопеременпый ряд г1 1 1 1)в~ Ь 1.—.:1 (й' lс'+1 (й+1)'-11 Легко установить неравенство 1 1Ь1 2 1 1 1 1 2 — — +- —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
