Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 49
Текст из файла (страница 49)
г с(х 1 1 К фУШЩВИ11 — = — — — В ПРОМЕжУтКЕ От Х Вл, ДО Х Вл ПРИМЕВИМ е х|+е а хе формулу конечных приращений: — — — — — где В «В «В. Л-1 Л Л. л-1 Вл 'Ве Таким образом, члт|ы рассматряваемого ряди соответственно мщьше членов 1|г 1 11 сходящегося ряда,у', — — — —, что и доказывает высказанное утеерж- 1 а Ве Ве девие.
л-1 л е) если рлд ~ 4, расходится, и Вл означает ега л-ю частичную сумму, то 1 4~ г( ряд ~ — такзнерасходится,втовремккакряд~~' " (а- О) сходите». [Абель 1 Вл В1+ (Ы. Н. АЬе1) и Дини ((У. В!п|).) 375) 291 ф з. сходимосп ПОлОжитнльиых РядОВ 5) Если ряд ~ сл сходится и ул означает его остаток после л-го члена, то ряд 1 Л сл — расходится, в ию врел1я 1 Ул-1 как ряд сл (0-11 -1) Ул-1 Если ил — гюлоэкительная монотонно возрастающая варианта, лю ряд сходится лрн условии ограничеш1оси1и этой варианл1ы и расходится — в иротивном случае.
Положим (при л= 1, 2, 3, ...) л ))л=- 2~' да = «л+1- и1, 1=1 г(л -- ил ч1- ил тогда предложенный ряд перепишется так: и его поведение совпадает с поведением ряда г(л Л вЂ” ", и 11)л а значит — и с поведением ряда,г' дл (в случае расходимости его можно сол 1 слаться на результат Абеля — Дини, 4)), Последнай же ряд сходится яли расходится в зависимости от того, будет лн варианта ил ограниченной или нет.
7) Пусть даны два гжодящихся ряда: сходигися (Д и н и). Доказательство аналогично предыдущему. 6) Следующий признак сходимости недавно был указан Н. А. Сапоговым: 292 ГЛ. Х1. ББСКОНЕЧНЫГ РЛДЫ С ПОСТОЯННЫЬ!И ЧЛЕНАМИ )373 Второй называется медленнее сходящимся, чем первый, если остаток уп второго ряда есть бесконечно малая низшего порядка чем остаток уп первого: Уп )лп — = О. Уп Для каис!)ого сходящегося рпда „5 сп л!ажно лостронлль рлд, м е д я е л л е е 1 сходив)ийся. Достаточно расслютретгь например, ряд ~ с„т ~ ф~„, — )гуп)ь, Ф так как в этом случае уп = ууп рассмотрим теперь два расходяпгихся Ряда' н ~дп. п.=1 Про второй говорят, что он расход и т с я медленнее, чем первый, если его частичная сумма )), являетсл бесконечно большой ни з те г о по рядка, чем частичная сумма )лп первого: ))и )пп — =О . ))п Д!я каждого расходящегоса ряда ~ дп .Чинено постротпь ряд,,н е д л е н и е е 1 расходлщийся, С этой целью можно, например, взять ряд ~ д.'м)Ъ;+ ~ (КВ„- ))))„,); здесь л)п = )г))п.
Аналогичные заключения можно получить и с помощью рядов А беля и Дини, рассмотренных в 4) и 5). Построенные примеры прнводят к такому принципиально важному утверждению: никакой схос)ящийся (расходящийся) ряд ие может служить у и и в е р с а л ьи ы м средством дяя установке>тя п)пнем сравнения с нилльь схог)ллмоси)и (расходи- мости) дригих рядов. Зго ясно из того, что 'п Уп-л Уп — .-= 6'-~ Е')'у.-О )у.- -Ь. ь)п ))п л)п - г йп ))Вп — )!)))п-1 * За у, принимаем всю сумму 2~ сп. 1 ** С помощью любой из теорем п' 366.
Зтб) 293 1 3. схОдимОсть пРОизВОльных РядОВ В) Пусть ланы две последовательности положительных чисел а„аи,...,а„,... и Ь„Ьи,...,Ьи,... Каково бы ни бьшо л, для первых л чисел этих послеловатш!ьностей имеет место неравенство К ош и — Гальдера: — и 1 1 л;аЬ, Яал) ° (~Ь,) 1 !=1 !=1 и неравенство Минка век ого: и !. и (Р 11)1 (~ 1)1 (~ „1)1 ~133 (5) и 17)й Здесь !1 — произвольное число 1, а 7с' другое число тоже 1, которое связано с ле соотношением 1 1 — 1- — = 1.
/е lь' Переходя в этих неравенствах к пределу при л, получим подобные жс неравенства для бесконечных рядов: 2 а!Ь;=-(~ а!)~" (.~ Ь,"')ы ! ! (,х <ал-:Ьг)1~"-и(2, 'а~!" О(.Хи 11,")', причем нл еладнлшенш рядов в правых частях вы!некает ехаднлшсн!ь рядов в левых. З 3. Сходимость произвольных рядов 376.
Общее условие сходимости ряда. Обратимся к вопросу о сходимости рядов„члены которых могут иметь произвольные знаки. Так как, по определению, сходнмость ряда (А) ~ а„= а!+ аз ч-... '. а„; и=1 приводится к сходимости последовательности А! .4яи . ° Анл,.4деиы . составленной из частичных сумм ряда, то естественно применить к этой последовательности приидип сходилюгнщ (Зг)). Из двух гэв ГЛ.
ХЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1зтт номеров и и н', которые в нем упоминаются, можно, не умаляя общности, считать н'»п и положить н'=и+и, где т — любое натуральное число. Если вспомнить, что Ал+ -А„=ал+2+алвв -.'. Балль то лринсрт сходимости применительно к ряду можно перефразировать так: Для того чтобы ряд (А) сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу е О отвечал такой номер 22', что нри л Ф неравенство ]ил+1 л ил ьв + ° ° ° Ь ал+ (2) выполняется, каково бы ни бьио т=1, 2, 3, ...* Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно далеким, должна быть произвольно мала. Если, предполагая ряд сходящимся, е неравенстве (2) взять, в частности, т=1, то получим: ]ал+2~ Е (Прн Л»тл), так что альс О или (что то же) а„О, и мы вновь приходим к известному необходимому условию сходимости ряда [364, 5'].
Оно требует гораздо меньшего, чем принцип сходимости: необходимо, чтобы не только далекие члены, в отдельности взятые, были малы, но и сумма далеких членов, взятых в любом к о л и ч е с т в е, должна быть мала1 В этом смысле поучительно вернуться к гармоническому ряду [365, 1)] и к неравенству (1), установленному для его членов. Хотя общий член здесь н стремится к О, но ! неравенство (2) (настоящего и') при е=- и т=н не выполняется ни 2 при одном и, и гармонический ряд расходится! Нужно сказать, однако, что проверка выполнения приведенного общего условия сходимости ряда в конкретных случаях обычно бывает затруднительна.
Поэтому представляет интерес изучение класса случаев, когда вопрос решается с помощью более простых средств. 377. Абсолютная сходимость. Мы видели в предыдущем параграфе, что в отношении положительных рядов сходнмость, по большей части, устанавливается легко, благодаря наличию ряда удобных признаков. Поэтому естественно начать с тех случаев, когда вопрос о сходимости данного ряда приводится к вопросу о сходимости п о л ожи тель но го ряда. Если члены ряда не все положительны, но начиная с некоторого места становятся положительными, то отбросив достаточное количе- л Обв автора принципа скоднмостн — Больцано е Коши сформунвроввлн его еменно квк условие скоднмостн бесконечного ряда.
зтт1 295 в 3. схОдимОсть пРОизВОльных РядОВ ство начальных членов ряда [364, 1'], сведем дело к исследованию положительного ряда. Если члены ряда отрицательны или, по крайней мере, с некоторого места становятся отрицательными, то мы вернемся к уже рассмотренным случаям путем изменения знаков всех членов [364, 3']. Таким образом, существенно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное количество как поло жительных, так и отрицательных членов. Здесь часто бывает полезна следующая общая Таорелва. Пусть дан ряд (А) с членами произвольных знаков.
Если сходится ряд ~ ]а„] = ]а ] ч ]аз] +... + ]а„] + .. 1=1 (А*) соспЗавленный из абсолютных величин его членов, то и донный ряд также сходится. Доказательство сразу получается из принципа сходямости: неравенство ]ал+1ь ал+з+ ... л ал+ ] ч]ил+1] -г ]альз] +... + ]алла] показывает, что если условие сходимостн выполняется для ряда (А*), то оно тем более выполняется для ряда (А).
Можно рассуждать и иначе. Из положительных членов ряда (А), перенумеровав их по порядку, составим ряд ХРЗ=Р1+Рг+ 'Рл+ 1=1 (р) также поступим с отрицательными членами и составим ряд нз их абсолютных величин Л Чы = Ч1 + Чз+ ° ° + Чт л 1 Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содержатся среди членов сходящегося ряда (А*), и для всех частичных сумм Рл и Д выполняются неравенства РЬ~Ал, й„,=чАл, А„=РЬ -йл.
Здесь номера к и т зависят от и. Если в ряде (А) как положительных, так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при и одновременно 1с и 1п так что оба ряда (Р) и (1 1) сходятся [365]; обозначим нх суммы соответственно, через Р и Д. Если взять и членов ряда (А), то в вх составе окажется к положительных н т отрицательных, так что 2чб Гл. хе еескОнечные Ряды с постОянными членАми 1378 Переходя в этом равенстве к пределу, приходим снова к заключению о сходимости ряда (А), причем его сумма оказывается равной Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма данного ряда равна разности между суммой ряда, составленпого иэ одних положительных его членов, и суммой ряда, составленного иэ абсолютных величин отрицательных членов. Этим мы в последующем будем пользоваться.
Если ряд (А) сходится вместе с рядом (Ае), составленным из абсолютных величин его членов, !по про ряд (А) говорят, что он абсолютно о с ход ил! ся. По доказанной теореме, одной сходимости ряда (А') уже достаточно для абсолютной сходимосги ряда (А). Как увидим ниже, возможны случаи, когда ряд (А) сходится, а ряд (А") — нет. Тогда ряд (А) назывшот неабсолютно сходя и)им ся. Для установления а б с о л ю т н о й сходимостн ряда (А) — к положительному ряду (А*) могут быть применены все признаки с х одимости, изученные в предыдущем параграфе. Но нужно быть осторожным с признаками расходимости: если даже ряд (А*) окажется расходящимся, то ряд (А) может все же сходиться (н е а бе о л ю т н о).
Исключение представляют только признаки К о щ и и Даламбера, и именно потому, что когда они констатируют расходимость ряда (А*), то это значит„что общий член ~а„~ ряда (А*) не стремится к нулю, а тогда и а„к нулю не стремится, так что и ряд (А) также расходится. Поэтому упомянутые признаки могут быть перефразированы применительно к произвольному ряду. Сделаем это, например, для признака Д а л а м б е р а (который преимущественно и применяется на практике): Признак Даламбера. Пусть для варианты е3)к = — — суи)ест~ а„+,) к ~а вует определенный предел: о3е =!зщ с3)а, тогда при фе 1 данный ряд (А) абсолютно сходится, а при с3)е =-1 он расходится, 378. Првмеры.
1) Применить признак д а л а м б е р а ко всем рядам (а) — (д) о которых была речь в 2) и' 370, но отбросив требование х О. Мы получим,что: (а) ряд а б с о лют но сходится для всех значения х; (б) ряд абсолютно сходится при — 1 х 1 и расходится при хю1 иш! х — 1 (при х = Е 1 нарушается необходимое условие сходимости); (в) ряд абсолютно сходится при — 1=л 1 и расходится при х 1 или х — 1, если в е 1, то при х = х 1 ряд также а б с о л ю т и о сходится, если же О «ва1, 297 З7В1 1 3.
СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ то при х= 1 ряд заведомо расходится, а прил= — 1 в о про с пока о с тает с я открытым; (г) ряд абсолютно сходится при -е х е и расходится при х «или х — е (при х = не нарушмтся необходимое условие сходнмости); 1 1 1 (д) ряд абсолютно сходится при -- х — и расходится при х 1 1 е е е или х — — ~при х= — — вопрос пока остается открытым!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
