Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Приведем примеры этого рода. 1) Рассмотрим ряд 1 1 1 ! — =-! 6 — Š— +... 6 —.1-... я!л 2 3 л известный под именем гарм он н чес к о го рядаь. Имеем очевидное неравенство: ! 1 1 ! 1 — +...+ — я л ь) л62 2л 2л 2 Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда последовательно разбить па группы, по 2, 4, 8, ..., 2" ', ... членов в каждой 1 ! 3 4 2 1 1 1 1 5 6 7 8 2- 1 ! 2" з !-1 2" гь- ! 9 16 1 то каждая из этих сумм в отдельности будет больше —; в этом легко убедитьсх, 2 полагая в (!) поочередно я=2, 4, 8, ..., 2а ', ... Обозначим л-ючастичнуюсумму гармонического ряда через Нл; тогда, очевидно, 1 Нг )г ° —.
2 Мы видим, чю частичные сумлзы не могут быль ограничены сверху: р я д и м е с т бесконечную сумму. Упомянем уже здесгч что Н„с возрастанием л возрастает очень медленно. Эйлер, например, вычислил, что Н, =7,48..., Н,ание — -14,39..., и т. д. Впоследствии мы будем иметь случай точнее охарактеризовать возрастание сумм На (367 10)]. 2) Рассмотрим теперь более общий ряд: "Каждый член его, начиная со второго, представляет собой среднее г ар мо и ич есх ое двух соседних членов. [Число с называется с р е да им та р 1 1П 1) ьгоническим чисел а и Ь, если- — ~ — — , '— ).1 с 2 а Ь 1 1 1 1 ~ — = 16 — -'; — +...
-'; — +..., я=- ! лз 2а За л' где з — любое вещестиенное число; он содержит в себе, как частный случай (при г = 1), предыдущий ряд. По сходству с рядом 1), и этот ряд тоже называют г а рмоническим. Так как при г 1 члены рассматриваемого ряда больше соответствую!пих членов ряда 1), то, в эгон предположении, части!лыс суммы и подавно не ограничены сверху, так что ряд расходится. гб4 ГЛ. Х!.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЪ| С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 13бб для удобства а=.1 Ьа, где а»о. Займемся случаем, когда г 1; положим Аналогично (1), имеем на этот раз: 1 ! + (и+1)а (ль2)з Выделяя, как и выше, последовательные 1 1 1 1 1 1 — — — -~- — + — -ь —; Зз 4з 5з б' 7з 8з 2* 1 1 ! — и ° — = —. (2п)з пз ла (2) группы членов: 1 ! — -!- ° ° ° + — ' 9а 1ба 2 1 1 (га-г ! В» ' (21)з' яз- с помошью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов прогрессии 1 1 ! 1 1 1 1 2 ' 4а (2 )з' 8а (2 )з ' ' '* (2л-')а (га)з — з' В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа 1 1 2а 6=1+ — + —, 2з 1 1 —— га следовательно, ряд сходится.
(Его сумма, завнсяшая от з, представляет знаменитую Функцию ь(а) Р и м а и а, играющую важную роль в теории чисел.] 366. Теоремы сравнения рядов. Сходимость илн расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся нли расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая простая теорема. Теорема л. Пусть даны два положительных ряда ,г,' а„=а14а + ... +а„4-...
=1 и 2' Ь„=Ь,+Ь,ч-... «Ь,ь а=1 (В) Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажелз, для и )з'), выполняется неравенство: а„мд„то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или — что то же — из расходгтмости ряда (А) следует расходнмость ряда (В). Доказательство. На основании того, что Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведе- НИИ !364, 1а), МЫ МОЖЕМ СЧнтатЬ, НЕ НаруШая Общиоетн, Чта а„-Ь„ 265 ЗЕЬ1 ь и сходимость положитнльных нядоп при всех значениях п=-1,2,3, ... Обозначив частные суммы рядов (А) н (В), соответственно, через А„н В„, будем иметгк А, ~В„. Пусть ряд (В) сходится; тогда, по основной теореме [ЗЬ51, суммы В„ ограничены: В„пЕ (Е=сопзг; п=-1, 2, 3, ...).
В силу предыдущего неравенства, и подавно А,Ы, а это, по той же теореме, влечет за собой сходнмость ряда (А). Иногда на практике более удобна слсдующая теорема, вытекающая из первой: Теорема 2. Если существует предел" 1нп — "=К (ОмлК~ е ), Ь вЂ” К ье, откуда а, (К, е)Ь„. Ь В силу 364, 3', одновременно с рядом (В) будет сходиться и ряд „г'(К ге)Ь„, полученный умножением его членов на постоянное число Ке е. Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ря- да (А). Если же ряд (В) расходится и К О, то в этом случае обратное Ь, олюшение — имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходяал щимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы н ряд (В).
Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также представ- ляющую собой следствие первой. Теорема 3. Если, хотя бы начиная с некоторого места (сггасчгем, для и =-Ф), выполняется неравенство** о~м~ Ь~ьь ол Ьч (3) ч Мы предполагаем при этом, что Ьл м О. "ч При атом а„и Ь„, конечно, нредполагаютсл отличными от нуля. то из сходимости ряда (В), при Км, вытекает сходилгоспгь ряда (А), а из расходимости первого ряда, при К- О, вытекает расходимость второго.
[Таквг образом, при О К т оба ряда сходятся илн оба расходятся одновременно.) Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К. е . Взяв произвольное число е О, по самому определению предела, для достаточно больших п будем иметь 2бб гл. хе БескОнечные Ряды с пОстОянными чльнлми 1367 а ь ь.' ав Ь, а, ь, ' а Ьи ал г Ьл-х Перемножив почленно зти неравенства, получим: — — или а„- — ' ° Ьл (п=1,2,3, ...). ~х 1 1 Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд ~ — '.о„, полуй ченный умножением его членов на постоянный множитель — '. А тоь, гда, по теореме 1, сходится и ряд (А), ч. и тр. д. Перейдем теперь к примерам установления сходпмости пли расходимостн рядов непосредственным применением т е о р е м с р а ни е н и я.
1 367. Примеры. 1) ~ — (а О). и 1 1Ьал Если а«1, то нарушается необходимое условие сходимости, 364, 5' и ряд расходится. При а 1 члены ряда оказываются меньшими членов сходя- (1)л щегося ряда и' ~ — ): ряд сходится (теорема 1). ' (а ) (я!)' 2) 2 . — сходится, так как и=! (2п)! (л!)' л) 1 (2п)! 2л, (2» — 1)1! 2л (теорема 1). х 3) .и 2л ьш — (О х Зл), и=~ Зл Так как 2л ° в)н — х. Н 3 '~3) (2)л и ряд 'У ~ — ) сходится, то зто не справедливо и для данного ряда (теорема 1).
хи 13) то из сходимости ряда (В) вытекает сходимошпь ряда (А) или что то зке — из расходимости ряда (А) вьипекает расходимость ряда (В). Доказательство. Как и выше, при доказательстве теоремы 1, не умаляя обшности, можно считать, что неравенство (3) справедливо для в с е х значений и =1, 2, 3, ... В таком случае будем иметь: Зеу! з 1. ОходимОсть пОлОжителъных РядОВ 1 4) Рассмотрим вновь г а р м о и и ч е с к и й ряд '," — и сопоставим его, пзр! и по теореме 2, с заведомо расходящимся рядом 1з „~~ [!п[я-Ь!) — !пи]= ~~', 1и ~14 — ) [363, 3)]. а=1 Так как [77, 5) [а)] !и ~14 — ) !1пт =-1, 1 то отсюда уже выл екает расходимость гармонического ряда.
Или иначе: примеаяя к функции 1п х в промежутке [л, л+ Ц формулу конечных приращений, найдем, что 1 !и[я Р1) — 1пл.=.. (О 0 !). лад В таком случае гармонический ряд, члены которого соответственно больше, и по- давно расходится [теорема 1). 1 5) Аналогично мо1КНО уСтановять аиОвь Сходимоеть ряда ~ [приа О), а=1 л'+а сопоставляя его с заведомо сходящимся рядом 1 П 2 ] 1 1 ! 1 Применяя к функции — в промежутке [и- 1, и] формулу конечных приращений, та найдем: 1 1 а — — 1О 0 1>. 111 !)а ла [л (1)о1-„ Таким образом, при и:=2 откуда, по теореме 1, н вытекает сходпмость испытуемого ряда.
6) Чтобы подобным же приемом получить нов ый результат, рассмотрим 1 ряд ~~' — [члены которого еще меньше, чем соответствующие члены гармонна л 1п и чсского ряда). Сопоставим его с заведомо расходящимся рядом ,~~ [!п 1п [л -. '1) — )п !п л]. а=.з 2бя 7л.
х! ы:с!сОннчныс Ряды с пОстоянными членАми 1367 Применяя формулу конечных прнрапгсний к функпип 1и 1и т в промежутке (л, лч-1], получим: 1 1л!и (аи1) — !и 1п а= (0«0 !), (и б О) 1л (и 4 0) откуда, по теореме 1, заключаем, что данный рял, члены которого соответственно больше, н подавно расходится. 7) Сравнение с гармоническими рядами 4) и 5) позволяет ус! ановить понедение многих рядов. По теореме 1: 1 1 1 (а) ~~' расходи! ся: л=! 1(л(л-1-1) ')гл(л+ !) л+ 1 1 1 1 (б) ~' -- сходится: „~"! )Гл()7!.-",- ц )7л(л'+1) л*б 1 (в) ~ — (р О) расходится: (!па)а«л (для достаточно больших л); я ((ли)л л! 2 сходится: — — (для и.
3); лл л' 1 1 1 1 (с) 2' сходится: — = -: — (то же); л=-3 ((Л !Л 7!)7п л (!и (п л)7п л л7п ш 7п л л! (ж) Ъ "'з ((п )м ! (то же). 8) По теореме 2; ! (а) ~~ — (Ь О) СХОдИтСя Прн т 1, раСХОдИтСя При тчл!7 л (а!-Ьл)' х х 1 (в) ~~ з!и — (О х 77) раскодится; х!и —: — -х; аналогично, л л л л расходятся и ряды 2' 1п ~!Š— ~ (х О) и '7'((га-1) (ал1); л;-. ! л п=7 л' (г) .=! лл 1 (д) Ъ' ,()ил)!" л 1 1 1 (а.(- Ьл)п Ф Ьп 1 1 1 сходится: ()п Л)7п л 77!я 7п л (для достаточно больших л); 1 ! 1 расходится:- (!и л)7п 7п л п(м 7п п) л!в л 7! 1 1 расходитсл: — .—; — -1; л л )7л 2б9 ! К СХОДИМОСГЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ / х! х 1 хп (г) 2 ~! — соэ — ~ сходится: 1 — соэ —;— п=1 л и и" э 9) Вот более сложные примеры этого же типа: 1 Обозначим через хп отношение общего члена этого ряда к —: Пользуясь разложением!и (1+х), о котором была речь в !25, 5), можно налисатьл где а„-0 при и — .
Поэтому !пз и 1пп и 1п хп -- — — ° — +а„° -- — -О, 2 л " и следовательно, х„-1, и предложенный ряд расходится. Пользуясь и здесь упомянутым разложением 1ой (14-х), будем иметь: 2л — 1 ~ 2и — !1 2л-1 2 (2л — 1) 3 (2п — 1) (2л — 1) глс Рп 0 прц и -, так что 2лч-1 2л-~-3 1 ' - "8л л1п 1 2и-1 Таким образом, оп2ошение общего члена испытуемого 1 пределом —: наш ряд сходится. 3 10) Наконец, рассмотрим ряд Мы знаем (133, 4)), что !и (1-~-х)-.х (хя0, — ! х + ). Пользуясь им, можем написать: (а) ~', (1- — ) .
!и л) 1Вха-1п я+и 1и ~1- — ~ . и ~ 2л+ 1 (б) „~~ ~л1п — 1) . п=г 2л-1 3(2л-1) (2п-1) 2л-1 1 ряда к — имеет (2п-1)' 270 ГЛ. Х1. БНСКОНБЧНЫБ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ [368 и в то же время иь! л 7 ! !и = -1л — = -1и (! — — ) и ич! ~ и-~-1) и61 Поэтому 1 л!1 1 ! ! ! 0 1л и и и и61 и(и-! 1) л' таким образом, члены данного ряда положвтсльны и меньше соответственных 1 членов сходящегося ряда х — [365, 2)1; следовательно, и данный рядсходится. ~"' и' Если обозначить его сумму через С, то частичная сумма (Ои обозначает, как всегда, частичную сумму гармонического ряда). Можно за- 1) менять здесь 1л (и41) на 1пи, так как их разность, равная 1и (1Š— 1, стремится и) к нулю. Окончагсльио; обозначая через уи некоторую бесконечно малую, имеем для ту„замечательную формулу Ни=[в и+Сму„. (4) С = 0,577 21 5 664 90...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
