Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Зб8. Признаки Коши и Даламбера. Сравнение данного ряда (5) ~~,' а,=а,-.аз- ... Ра„' и=.т (А) с различными стандартными рядами, заведомо сходящимися или расходящимися, может быть проведено и в другой, так сказать, более организованной форме. Возьмем длч сравнения, в качестве ряда (В), с одной стороны, с х о д я щ у ю с я геометрическую прогрессию ~([и=с)-'-0З-:. -~-а" 6... (О у=1), а с другой стороны — р а с х о д я щ у ю с я прогрессию Сравнивая испытуемый рзщ (А) с этими рядами по схеме теоремы 1, придем к следующему признаку: Признак Коши. Составим для ряда (А) вариант> Оиа показывает, что при бесконечном возрастанви в частичная сумма Ни гармонического ряда растет, как [и и.
Фигурирующая в формуле (4) постоянная С называется э иле р оной л ос т о я н н о й . Ее численное значение (которое удается вычислить из других соображений) таково: зба1 271 Ь Х СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ Если, при достаточно больших и, вьтолняется неравенство где д — и о ст о я нное число, меньшее единш1ы, то рлд сходится; если же, начиная с некоторого места, Ги 1, то р.чд расходится. п и Действительно, неравенства )га„-д или )гол~1 равносильны, соответственно, таким: а„-ди или а„-1; остается применить теорему 1".
Чаше, однако, этот признак применяют вдругой, п р е дель но й, форме: Допустил, что варианта Я„имеет предел (конечный или нет): 1нп (о„= 1о. Тогда при 1о 1 ряд сходится, а при (о>1 ряд расходится. Если (о 1, то возьмем положительное число в, меньшее чем 1 — ~', так что и Я-. 'в -1. По определению предела, для и- Х будег. 1о — в я„яее.
Число б'. -в играет роль числа гг в предыдущей формулировке: ряд сходится. Если же Я>1 (и конечно), то, взяв Е=Я-1, так что 1о — в=1, Лля достаточно больших значений и на этот раз будем иметь ~'„>1: ряд расходится. Аналогичный результат и при ~~= е В случае, когда Я=1, этот признак не дает возможностит и судить о поведении ряда. Варианту ел будем называть в ар пан той Коши. Если сравнение ряда (А) с указанными стандартными рядами производить по теореме 3, то придем к такому признаку: Признак Даламбера (У. б'А!еш(2сгГ).
Рассмотрим для ряда (А) варианту аль, оо и и Если, при достаточно больших п, выполплется неравенство * ра сходим ость ряда, конечно, может быть установлена н простой ссылкой на нврушенне необходимого условия сходнмостн — 364, 5'. гл. х|. БескОнечные Ряды с пОстоянными членАми 1369 272 где а — по ст о я нное число, меньшее едютцы, то ряд сходится; если а|се, начиная с некоторого А|сета, б|х„- 1, то ряд расходитсяв. И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой признака: Допустим, что еарианп|а 9„илгеет предел (конеч|ш|й или нет): Рйп 73)„= г)).
Зб9. Признак Раабе. В тсх случаях, когда указанные простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими с т а н д а р т н ы м и радами, так сказать, «медденнееь сходящимися или «медлепнееь расходящимися, чем прогрессия"*. Мы рассмотрим здесь еще признак Раабе (Ь Ь. ВааЬЕ); он осуществляет сравнение данного ряда (А) с гармоническими рядами — сходящимися: ~ — =1, — — -:-...-в — ч... (г .1) х 1 1 1 1 | и« ' 2« 3« ' ' ' ' и« (Нх) и расходя|цнмися: ! 1 1 1 ~' — =1-в--в-«-...--- ~~~я 2 3 ''' л (н) * И здесь р а с х оди м о сть прямо вытекает из нарушения необходимого |гл-|-| условия сходимоспп ведь если — — «1 или о„«,|ьа„, то а„не может стрела мнться к О.
««Ср. 375, 7). Тогда при ® 1 ряд сходится, а при Я: 1 ряд расходипкл. Доказательство — такое же, как и в случае признака Коши. И этот признак ничего не дает, если о казы вается, что й3=1. Варианту Чр„назовем в ар и ае т о й Даламбера. В примере 77, 4) мы видели, что из существования предела для варианты ст)„вытекает уже существование предела и для варианты Я„причем оба предела равны. Таким образом, во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью признака К о ш и. На примерах мы увидим ниже, что обратное утверждение неверно, и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике пользование признаком Дал ам бе р а обыкновенно проще.
273 3691 1 а сходимосгь положитвльных гидов — именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматри- вать варианту Раабе: ~„=п ~ ' — 1). Д г, где г — п о ст о я и н о е число, большее единицы, то ряд сходится1 если же, начиная с некоторого места, Яи то ряд расходшпся. Итак, пусть, при достаточно больших и, имеем: п ~ —" — 1) аи г — >1 ьаи„| и нли Возьмем теперь любое число л между 1 и г: г ~в»1.
Тах как по из- вестному предельному соотношению [77, 5)); (1 + ' )' 1пп и 1 и то для достаточно больших и будет а следовательно, и Это неравенство можно переписать следующим образом: 1 а +, 1 и )» 1ив 1) Ф Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда (Н,); применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда 1А). Если же, начиная с некоторого места, ( аи 1) 1В Г. М. Фнквииольн, . П Признак Рпабе. Если, при достаточно больших п, вьтолняется не- равенство гтл гж х!. ввсконвчныв няды с постоянными чльнлми 1370 то отсюда сразу находим, что 1 аияз и а„и+1 1 и применив к рядам (А) и (Н) теорему 3, заключаем о расходимости ряда (А). Признак Р а а б е тоже применяется преимущественно в п р еде л ьн ой форме: Допус!пии, что варианта байи иуиеет предел (конечный или нети 1пп Я„= сз(.
370. Примеры. 1) Лрямепнм признак К о щ и к следующим рядим: 1 ОО 2' «=я (1п ит. 1 ~~=0: ряд сходится; 1п и /х !и х (б) ~ Н (х 0), З,= —, (О=О: ряд сходятся; и=! ~и и )и (х) (в) Х, ~ — 1 (х»О; а„— положнтсльнвя вврявнтв, имеющая предел а)! я ! (аи! х о- 1".„ = — . Если а О, то с,'= е , н ряд расходится, если а= + , то (".=О, н ряд аи а сходится; нвконед, прн 0 а . ч- будет с'= — н поведение рядн зависит от х: Тогда при,К.»1 ряд сходится, а при йс 1 ряд расходится.
Сравнивая признаки Даламбера и Р а а бе, видим, что послед!!ий значительно сильнее первого. Если предел с!)=1ип и!)„суще- 1 1 ствует и отличен от единицы, то для дйи=и ~ — — 1) существует преЬи дел З(, равный и - при $. 1 и — - при Ч!) 1. Таким образом, если признак Даламбера дает ответ иа вопрос о поведении данного ряда, то признак Р а а б е и подавно его дает: больше того„все такие случаи охватываются всего двумя из возможных значений Л(, именно ~ -. Все остальные значения л((исключая з(=1), также даюп(ие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не даст, потому что 9=1.
Но все же и здесь при 01=-1 мы не имеем ответа на вопрос о поведении ряда; в подобных случаях (которые очень редки) приходится прибегать к еше более тонким и сложным признакам (см., например, ниже и' 371). Обратимся к примерам. 275 370! З. ОХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ при х а ряд сходится, при х а — расходится. При к=а в общем случае и поведении ряда ничего сказать нельзя, оно зависит уже от характера приближения ал 2) Применим признак Дала м бе р а к следующим рядам: Хл л (а) ! Е ~ — (х-О), Згг=- — ., 'Ф=Ог риа сходится; «=-.! л! лг 1 (б) ~ лил '(х 0), л41 сйгггг — — т ---", а "'й = х: ряд сходится при .! = ! л=! и расходится при хгл1 (при х =-1 в этом убеждаемся непосредственно).
Кл л (в) лэ; — (х»О, 1»0), 3'„=х ~ — — ) о!э=к! ряд сходигся л.--! лг л-1-! )л гх! О) к гг! ~ — ~ (х 0) х л 3л = —, 'й) — — —: при х«е ряд сходится, при ~1+ — ) х е расходится; при х=е признак Даламбера в предельной форме ничего 1 )гг не дает, но так как варианта ~1-~- — ~ приближается к е воз растая, так что гг 9л 1, то первоначальная форма признака позволяет все же заключить о расходимости ряда. (лк)л 1)л (д) ~ . — — (х 0), ойигг =х.~1Ч- — ), в=1 Л. ! л) 1 ог)--х е: при х — ряд сходится, а е 1 1 прн х — расходится; при х= — на этот раз при помощи признака Дал а ме е б е р а ничего установить нельзя, так как о)гл приближается к ол) = ! снизу.
Мы вернемся к этому случаю ниже, в 5) (г). 3) Возьмем ряд 14-ач-аЬ+агЬ4-агЬгч-... ! ллЬл г-!-а"Ь" ' где а и Ь вЂ” два Различных положительных числа. Здесь оЛ)гл ! =- а, опгл = Ь, и пРизнак Д а лам бе р а (в первоначальной форме) позволяет сделать заключение о сходимостн или расходимости ряда, лишь если оба числа а, Ь меныие единицы или оба — больше. В то же время Зл-1 О .,- 3Р=гбгг=г и го„=1/а Ь =, так что (О=- )глЬ! по приз!шку Коши, при аЬ 1 ряд сходится, а при аЬ 1 (очевидно, и при аЬ = 1) — расходится.
4) Рассмотрим ряд ~т(л)хл, где х 0 и г(л) означает число делителей л 1 натурального числа л. Ввиду прихотливого хода изменения функции т(л) не пред- при х 1 и расходится при х 1; при к=! получается гармонический ряд, поведение которого, как мы уже знаем, зависит от г. 276 ГЛ. Х!. ЬЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ (ЗТО ставляется возможным применить здесь признак Д а л а м б е р а . Межву тем признак Коши вполне прилоящм: л л Хпа(ОЛ= ~(т(Л) Хпн(/Л Х, таК Чтп (О=Х, и прн х 1 ряд сходится, а при х 1 (очевидно, и при х 1) — расходится. 5) Приведем примеры применения признака Р а а б е . (2л — 1)й 1 (а) !+.2', — —.
(2л)<! 2лч- ! Признак Да лам б е р а к этому ряду иеприложим, ибо (2л — 1)' о!)и = 2л(2л+ 1) (и притом ('.Ол 1). Составим варианту Р а а б е: (2л(2л+ 1) ! (бв — 1)л ж.-. ~( -1) = 1, (2л-1)л ) (2и-1)' 3 Так как лз(= !ип ечп = — 1, то ряд сходится. 2 и! (б) ~ (х О). и=! (ХЬ1)...(х-ьл) л+1 Так как оол- — —, "!) 1, то здесь признак Даламбера иеприлох+в+1 а жим. Имеем, далее,лэ(п - — х, так что й(,-х. Таким образом, при х 1 ряд и+1 расходится, а при х» 1 сходится; при х= ! получается расходящийся гармонический ряд (без первого члена). л!Х" л ! (х-Ре!)(2Х+ай....
(лхч-ал) где х. О, и а„— положительная варианта, имеющая конечный предел а. (л+ 1)х вал+, а Имеем: Йп = , ел=1. Далее, Жл-, Й= —. Итак, при (и+1)х+ап+! (л+1)х ' х х а ряд сходится, при х а он расходится. При х=а в общем случае ничего сказать нельзя: поведение раца тогда зависит от характера приближения ап к а. (г) Наконец, рассмотрим ряд ЛИГ Для него чтобы вычислить предел этой варианты, заменим ее более общим выражением: 1 е — — 1 (х-О), Х ! (1 Ч х)* 77 371! , сходимость положитильных индов к которому уже можно применить методы дифференциального исчисления. Пп правилу Л о п и т а л я, переходим к отношению производных х 1и (1»-х)- е 1 -~- х — — -- -~ (1ех)" [п(1ех) ~ — — ~+ — (1ех)" г хь~ х [(1дх)»Р 1 (1+ хр Полагая 1 х [п(1ех)=х- — хь+о(х), "-- =-х-хь-ьо(хь), 2 1ч-х 1 сразу получаем, что искомый предел равен †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
