Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 50
Текст из файла (страница 50)
е е х л г) 1+ 2' (х л — 1). л=г (1+х)(14х') ... (1+ха) )х), если — 1-.х 1, 1 если х=1, 2 Ы л) ' О, если х — 1 или х 1; итак, рял а бс о лют но сходится для всех значений х- — 1. хл 3) ~ (хи Я1). «=г 1 — хл Здесь х — хл«г~ 1(х(, если — 1 х 1, «3 = ер«= 1, 1, если х 1 или х« — 1.
При ~х~ 1 ряд абсолютно сходится; прн )х) 1 признак Даламбера ничего не дает, но все же можно заключить о расходимости ряда, ввиду нарушения необходимого условия сходимости. 4) Вернемся к г иле ргеометрическому ряду [372) л (ия-1) ... (а-1-л — 1) (3 (()+1) ....((1! л-1) Е(л,АТ,Х)=1Р2' ' '"" ' ' '" ' ' .«л йг в(у (у+1)"" (р+л-1) — при любых л, Р, у, х (параметры а, р', у предполагаются лишь отличными от нуля н от целых отрицательных чисел). Применяя признак Даламбера в новой форме, убеждаемся, что при ~ х~ 1 этот ряд абсолютно сходится, а при (х) 1 расходится. Пусть теперь х= 1; так как отношение ел у а гег1 Ол — =14 .г —" (~О„) .() лл«г л л' для достаточно больших л будет положительно, то члены ряда, начиная с некоторого места, будут иметь один и тот же знак, а тогда к ним (илн к их абсолютным величинам) приложим по-прежнему признак Г а у с с а, который показывает, что ряд сходится (конечно, абсолютно) при у-и-11 О и расходится при у-а-11 О.
Пусть, наконец, х= — 1. Из только что сказанного ясно, что при у — л-11 О будет сходиться ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда 298 гл. кь ввсконвчныв ряды с постоянными яланями 1ЗУР р(я, д, у, — 1), тяк что двввыя ряд в этом случае сходится абсолютно. При у-я-р« — 1 будем иметь, вячввая с некоторого места, 1, ал ~ — 1, т. е.
1ал) 1ал«»), ал+» ~ а„яе стремится х О, ряд расходится. Н случае х= — 1 и — 1~у — а — 1)то вопрос о сх одвмоств ряда Р(я,р,у, — 1) остается пока открытым. 379. Степенной ряд, его промежуток сходимостп. Рассмотрим с т епенной ряд вида ~ О„Х"=се+а»ХчсяХ'+... ча„Хль..., -о (4) представляющий собой как бы «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням переменной х(о, а„оя,...
здесь обозначают постоянные коэффициенты). Выше мы не раз имели дело с такими степенными рядами (см., например, в предыдущем п' 1) (а)- (д)]. Предложим теперь себе выяснить, какой вид имеет «область сходимости» степенного ряда, т. е. множество К=(х] тех значений переменной, для которых ряд (4) сходится. Это послужит снова важным примером применения изложенного вьппе.
Лемма. Если ряд (4) сходится для значения х=х, отличного от О, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству: (х~. (х(. Из сходимости ряда: .г а„Х"=Ос=О,Хча~~ч... +О„Х" + л с вытекает, что его общий член стремится к О (364, 5'], а следователь- но, — ограничен (26, 4']: (о„х" ( вМ (в=О, 1, 2, 3,...). (5) Так как [см. (5)]: (олхл~ = )алйл( ° (=' ~М Возьмем теперь любое х, для которого (х( ~х), и составим ряд л, (олх"! = ~о ) + (а х!+ (о хх~ +... + ~алхл) -ь... (6) $ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ и члены ряда (6) оказываются меньшими соответствующих членов с хо да ще йс я геометрической прогрессии ~со знаменателем Ы ° 1): ~х~ 1х) (х,'» ~х~ь М-ЬМ.,~=~-»М., ' -~...
»М,'=; . то, по теореме 1 и' 366, ряд (6) сходится. В таком случае, как мы знаем, ряд (4) сходится а 6 со лют но, ч. и тр. д. При х=О сходится, очевидно, всякий ряд (4). Но есть степенные ряды, которые — помимо этого — не сходятся ни при одном значении х. Примером такого»всюду расходящегося» ряда может служить ряд г, и1 х", как в этом легко убедиться с помощью признака Д а» л а м б е р а. Подобные ряды для нас не представляют интереса.
Предположим же, что для ряда (4) вообще существуют такие отличные от О значения х=х, при которых он сходится, и рассмотрим множеспю ЦХД. Это множество может оказаться либо ограниченным сверху, либо нет. В последнем случае, какое бы значение х ни взять, необходимо найдется такое х, что ~х~ ~х(, а тогда, по лемме, при взятом значении х ряд (4) а б с о л ю т н о сходится. Ряц оказьвается авсюду сходящимся». Пусть теперь множество (~х~) сверху ограничено, и Я будет его точная верхняя граница. Если. ~х~ Я, то сразу ясно, что при этом значении х ряд (4) расходится.
Возьмем теперь любое х, дяя которого ~х~ Я. По определению точной границы, необходимо найдется такое х, что (х( (х! ~Я; а это, по лемме, снова влечет за собой абсолютную сходнмость ряда (4). Итак, в открытом промежутке (-Я, Я) ряд (4) абсолютно сходится; для х Я и х -Я ряд заведомо расходится, и лишь о концах промежутка х= хЯ общего утверждения сделать нельзя — там, смотря по случаю, может иметь место и сходимость, и расходимость. Поставленная нами задача решена. Для каждого степенного ряда вида (4), если только он не является всюду расходящимся, »область сходимости» Я' представляет собой сплошной промежуток от -Я до Я, со включением концов или нет; промежуток этот может быть и бесконечным.
Внутри промежутка, к тому же, ряд сходится абсолютно. Упомянутый промежуток называют и р о м е ж у т к о м сходимосги, а число я (О я~ + -) — р а д и у с о м с х о д и м о с т и ряда. Если вернуться к примерам 1) (а)-(д) предыдущего и', то, как легко видеть, в случае (а) Я = ч -; (б), (в) Я = 1; (г) Я = е; (д) Я = — . зоо гл. хг. ьнсконвчныи ряды с постоянными члинями [380 Для всюду расходящегося ряда принимают Я=-О: его «область сходимости» сводится к одной точке х=О. 3ЯО. Выражение тьдяуса схедямости через коэОфицяеятьг. Теперь мы докажем более точную теорему, в которой не только вновь устанавливается существование радиуса сходимости, но и определяется его величина в зависимости от ко»44ициснтов самого ряда (4).
Рассмотрим последовательность: Обозначим н а и б о л ь ш и й п р е д е л этой последов пельности [который всегда сушествует, 42), через р, так что р= 1!ш рл=. 1пп [([ил[. л Тесьма Кошм -Аг) амарсй. Рад»»ус схадилгаспт ряда (4) есть величипи, пбрагплал наибалыивыу пределу р варианты рл= Яагг [: 1 я=в л (при этом, если р —. О, то Я = -1-, если р = Ь, то Я = О). Теорема эта, открытая Коши, была забыта; Адамар (1. Надашагд) вновь нашел ее и указал важные приложения.
Доказательство. 1 случай: р=О. Докажем, что в этом случае Я= 4 т. е. что при любом х ряд (4) абсолютно сходится. (л Так как последовательность [[1 а~,(~ состоит из положительных элементов, то из того, что р =О, следует, что она имеет определенный предел: 1пп л»'[ ал ! .= 0' л отсюда варианта К о ш и ~~я= [Г [ил[- )х[л= [х[ ЯаД-0 при и-, каково бы ни было х. Следовательно, по признаку К о ш и [3бй), ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (!), сходится, а значит сам ряд (1) сходится абсолютно. 11 случай: р = + . Докажем, что в этом случае д = О, т. е.
при всяком х; 0 ряд (1) расходится. Так как Р= !йн [Г[ал[ —. д-, л то, очевилно, можно найти такую частичную последовательность (пг), чтобы лг 1пп [г [иль[ —. ( зйв) ЗО! 1 э. сходимость произвольных рядов Следовательно, при каждом х л О найдется такой номер !'„что для всех !' <л будет выполняться неравенство! 1 )г[ащ! — илн [а„.хм[ 1. [х[ Видим, что в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости ряда <общий член ряда не стремится к нулю).
Следовательно, ряд <4) расходится. !П случай: р — конечное положительное число: О р -," . Докажем, что в этом ! 1 1 случае Я=-., т.е, что при [х[- — ряд абсолютно сходится, а прн [х[ Р Р р 1 ряд расходится. Возьмем любое х, для которого [х[ †. Выберем е и О настолько Р малым, чтобы выполнялось неравенство ! [х) =— По этому и очевидно, всегда мохсио найти такое число У„, чтобы для всех я=-р<, было: [<1 ал [ Р ье на основании 1-го с в о й с т в а наибольшего предела последовательности 42). Отсюда следует, что варианта К о ш и <О~ = [! [алхй[ = [х[ ° '!<[ил[ [х[.<Р+е) 1 лри всех л Х,.
По признаку К о шн, ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда <4), сходится, а значит сам ряд [4) сходится а б с о л ю т н о. 1 Возьмем теперь любое х, шш которого [х[ †. Выберем с настолько малым, Р чтобы было По 2-му с в о й с т в у наибольшего предела [42[, для сколь угодно больших л будет вьгполняться неравенство: так что [<[ачх"[и[х[ <р-е) 1. Следовательно, для схоль угодно больших и общий член ряда [алхл[ 1, и ряд <4) расходится.
302 Гл. хь Бесконечные Ряды с постоянными членАми 1381 381. Знакопеременные ряды. Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены, например с,— с ~ св-св ~ ... -~-( — 1)" — 'с„в ...(с„-О). (7) По отношению к знакопеременным рядам имеет место следующая простая теорема.
Теорема Лейбница. Если члены знаконеременного ряда (7) монотонно убывают ло абсолютной величине: с„„т с„(н = 1, 2, 3, ...) (8) и стремятся к нулю: !Нп с„=О, то ряд сходигнся. Доказательство. Частичную сумму четного порядка Св можно написать в виде; Сви =(сг св) ь (св — св) ч ° ° ° л (свн-т с ). Так как каждая скобка, ввиду (8), есть положительное число, то отсюда ясно, что с возрастанием т сумма Св также возрастает. С другой стороны, если переписать Сз так: Сг„= ст — (сз — св) —...
— (св -в — св -т) — свн, то легко усмотреть, что Сж. остается сверху ограниченной: Св с,. В таком случае, по теореме о монотонной варианте [34), при безграничном возрастании т частичная сумма Св„имеет конечный предел 11шСЕ =С. Переходя к частичной сумме н е ч е т н о г о порядка Св .Ры имеем, очевидно, Сз А,=СЕ +сь„. Так как общий член стремится к нулю, то и йшСТ вг=С. Отсюда следует, что С и будет суммой данного ряда. 3О3 3 3. сходимость пРОизВОльных РядОВ Замечание. Мы видели, что частичные суммы четного порядка Сз, приближаются к сумме С ряда возрастая. Написав С,, в виде Са г=с — (с — с) —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
