Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(В*) сходятся, т. е. имеют конечные суммы, скажем, А* и Вн. Расположив произведения (7) произвольным образом в виде последовательности, составим из них ряд: „й ад,бд,=ад,бз,+ад,бз,+... +ад,бз,4- .. х ! (10) Чтобы доказать сходнмость соответствующего ряда из абсолютных величин: ~ )аьбз,) =~ад,бз,~+ )аибз,~ 4-... 4 ад,бд,~+..., (11) з! Г. м. Фихтенгольц, т. и Эти произведения можно многими способами располагать в виде простой последовательности. Например, можно выписывать произведения по диагоналям или по квадратам: зз2 ГЛ. ХТ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1389 рассмотрим его в-ю частичную сумму; если через Р обозначить наибольший из значков 1т, )си 1г, й„..., 1„)т„то, очевидно, ~анде ~ + )аьЬА,)-» ...
+ ~аьдз,~ ~ ((а,( + )аг1 + ... » (а„()((Ьт) ч )Ьг! » ... ~ ~Ь„|) А ' В". Отсюда [365) вытекает сходимость ряда (11), следовательно, и а б с ол ю т н а я сходимость ряда (1 О). Остается определить его сумму. Мы вправе придать членам ряда (10) более удобное для этого расположение, ибо ряд этот, как а б с ол ю т н о сходятцийся, обладает переместительным свойством (387).
Разместив эти члены по квадратам, как в (9), мы объединим последовательные группы, которые отличают один квадрат от другого а,Ьт+(атЬг+агЬг-»агЬ1)-»(атЬз ~ аздзч азЬзьаздг+азЬ,)».,. (12) Если через А„и В, как обычно, обозначить частичные суммы рядов (А) и (В), то для ряда (12) частичные суммы будут А,Вт, А,В,, АзВз,..., АзВз, . они стремятся к произведению АВ, которое, таким образом, является пе только суммой ряда (13), но и ряда (10). При фактическом умножении рядов чаще всего представляется удобным размещать произведения (7) по диагоналям, как в (8); обычно члены, лежащие на одной диагонали, при этом объединяются: АВ = атдт -» (аЬг + азЬ) +(атдз-» азЬз+ азЬ) -»... (13) В этом именно вцле К о ш и впервые и представил произведение двух рядов.
Так, написанный ряд мы впредь будем называть нроизведением рядов (А) и (В) в форме Ко и и. Пусть, например, перемножаются два степенных ряда ~а„х =а -»а,х+а,х'+... +а„х"-»... -о ."ЯЬ х"=Ь,+Ь,х+Ь х'+... -»Ь х -о (причем х взято внутри соответствующих промежутков сход и м о с т и, 379). Тогда, как нетрудно сообразить, указанный прием отвечает приведению подобных членов в произведении: ~ аох" ° Л Ьтх~ = авдо-» (аоЬ, -» атдо)х + (аодз+ атБт+ аз1)о)хг +... =о ~=о Таким образом, произведение двух степенных рядов в форме К ош и неносредснзвенно представляется в виде степенного же ряда. 323 1 4.
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1 — =- ~ хп - 1 1 х Ь хг 1 1 — х с на самого себя, таким путем получим: 1 — = аппп '=1-~-2х+Зх'+... +пхп — 'ь... (1 — х)'-' 1 2) Умножение рядов: 1 . — —,У,(-1)"ха=1 — хз х'-... 4(-1)"хпй 1-1х с л хж хг хз хя1 ( — 1)пг ' — =.х- — -1.— —....1-( — 1уп-1 — + 1 гп 2 3 гл (14) (где [ х [ 1) даст такой результат: 1) 1 11 ~(-1)" — ггг»х»=х-~1+ — ~ х'+..
° 4(-1)» '~1+ — е .. + ~ х»+... 1 - —.! Ниже мы увидим [4йй], что сумма ряда (14) есть 1п (1+х), так что последнее 1и (1+х) разложение представляет функцию 1+х 3) Произвести возведение в квадрат; (з — любое). У к а з а н и е. Воспользоваться элементарно доказываемой 4юрмулой: 2»1 .х (С~ =С,"„= —,',. и о " " (п[)' 2п!к" О - .1+2~(-1). — 2'" (!)' 4) Тождество [см. Зйб, 6)] 1 Л Аппп = —,~~ апхп -о 1-х,-с зм 390. Примеры. Во всех примеряя, кроме последнего, произведения рядов берутся в форме Ко ш и. 1) Помножив ряд гл.
и!. ьгсконпчныс гяды с постоянными члкнлми !Зйо 324 или ~архе=(1 — х) ~ Алх" р=о р.=о (где Ал=-ар+ар+... +а,) легко доказывается путем почленного умножения. При этом, если в промежутке ( — Я, Я) (О Е 1) сходится один из двух рядов, отсюда уже следует сходимость в том жс промежутке и другого ряда. 5) Доказать тождество (а»О): ( — -Н 1 1 х 13 х' 1( 1 13 — Ь вЂ” — — -+ — — — +...).!1+ — хр — х'+...) = и 2 а42 24и-1-4 ) ~ 2 24 ! ~ а-!-1 (аь1)(а+3) -- ~1+ — ''4 х'+...
а 1 а-1-2 (аь2)(а+4) 6) Как мы знаем уже [37й, 1) (а)1, ряд Л хп х х' х' хл — =- 1+ — 1- — + — -1-... + — -!- .. е л! 1! 2! 3! л! а б с о л ю т н о сходится при всех значениях х, обозначим его сумму через Е(х). Заменив здесь х на у, получим аналогичный ряд с суммой Е(у).
Произведеяие обоих рядов в форме К о и н имеет общий член: х ул — ' х' у" ' х» у"" х" 1. — 4 — + — — +...+ — ° -1-...+ — ° 1=. л! !! (л-1)! 2! (л-2)! й! (л-»)! л! — х»ул»=- ~С„х~у" 1 1 ', (хч-у)л л-о»!(л-»)! л!»-о " л! Таким образом, для неизвеспюй нам пока функдии Е(х) получается соотиопжние Е(х).Е(у) = Е(х+у) — при любых вещественных х и у.
Впоследствии это даст нам возможность установитзч что Е(х) есть п о к аз а т ельн ая функция [439, 3); ср. 75, 1'). 7) С помощью признака Дал а м б е р а легко показать, что ряды хрл х' х' хрл С(х) = Л (- !)л — - =1 — — + — —... +(- !)" — + .. е (2л)! 2! 4! 2л! х"л з хе хр хил 5(х) = „~~ ( — 1)м ' =-х — — + — —... 4( — 1)м — ' +... (2гл - 1)! 3! 5! (2лр — 1)! абсолютно сходятся при всех значениях х. Путем умножения рядов можно доказать соотношения С(х ьу) = С(х) С(у) — Е(х).
5(у), Е(к+у) = Е(х) С(у)-!- С(х). 5(у). 325 39Ц 1 в. свойстВА схОдящихся РядОВ Так как на деле Б(х) и С(х) есть не что иное, как Вп х н соа х (404), го мы узнаем здесь известные теоремы сложения для зтнх функций. 8) Рассмотрим, наконец, положительный ряд 1 ь(х) г', —, ни который сходится для х 1 (365, 2)) и представляет функцию б Р н м а н а, Вычислвм, с помощью умножения рядов, ее квадрат.
Всевозможные произведения 1 1 1 пх тх (н.т)х на зтот раз мы разместим так, чтобы члены с одним и тем же числом й=н ° т в знаменателе стояли рядом, а затем — объединим нх. Каждому /с будет отвечать спзлько (равных мокну собой) членов, сколько делителей и имеет число й, т. е.
т(/с). Итак, окончательно, 391. Обпыя теорема вз теории пределов. Для упрощения изложения в ближайшем и' и в последующем мы установим здесь одну теорему из теории пределов, дающую широкое обобщение известных теорем К о ш и и Ш т о л ь ц а (33). Эта теорема принадлежит Т е и л и ц у (Сп Торйзх). Мы докажем ее в два приема. 1. Предположим, что коэ44ициенты гпт (! «гптп) бесконечной чтреугольнойь матрицы г гп гчч гп гм гзз (! 5) бп гп гог ° гп 1 удовлетворяют двум условнямг (а) Элементы, стоящие в любим столбце, сгггремятся к нулю: гпт-О при н (т 4нксироваио).
(б) Суммы абсолютных величнн злементов, сгноящнх в,побой с т р о к е, ограничены все одной постоюпчойг (гчз(+1гп"! ~ ° ° ° +!гпп!«К (К=.сопз!). Тогда, если варианта хп О, то зто же справедливо и опюосительно вариангпы хп=гпьхз ! гпчх ! ьгппхп состаплвнной из значений исходной варианты с помощью коэ44ицненнюв мпт- Рицы (15). 326 ГЛ. Хз. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАХ!И [391 Доказательство. По з О найдется такое лз, Чта пРи л- т будет: [хл[ —; для этих л имеем, используя (б): 2К н [хи [ [гпзх1+ . ° . -)- Тпт«т [ + — . 2 так как т здесь уже постоянно, то — ввилу (а) — существует такое Фщзл, что при л зз' и первое слагаемое справа будет —, следовательно, [х„'[ г, что 2 и тр.
д. П. Пусть каэЯищ ленты !щ„, кроме услали» (а) и (б), удовлетворяют егнг условию: (в) Тл злз+Глз+ ' '+зли 1 прн л Тогда, если вщ>нанта хп а (а — конечно), та так«не и Хп=злзХ1+Гл«Хз+ ° ° +1щХп а Доказательство. Выражение для х„', очевидно, можно переписать так: хп=гиз(«1 — а)+злу(ху а)+ ° ° +гпп(хл а)+тп'щ Применяя теорему 1 к варианте хл - а О и опираясь на (в), непосредственно приходам к требуемому заюпочению. !'.
Теорема К о ш и [33) отсюда получается, если положить !лз= Гпз= = злл л Выполнение условий (а), (б), (в) очевидно. 2'. Обратимся к теореме Ш т о л ь ц а [33[, сохраняя прежние обозначения. Итак, пусть имеем две варианты хл и ул, из которых вторая стремится монотонно к + . Предположим, что нариаита Хл — хл — ° а Ул Ул-1 !п=з,з,з,..л «,=у,=ох Ут Узл -1 и применим к ней теорему П, полагая глщ- .
Выполнение условий Ул (а), (б), (в) легко проверяется. Тогда получим, что варианта л ХП,О Х٠— Х٠— глщ Ул л2=1 Ущ Узл-1 ч. н тр. д. Приведем ряд других полезных следствий теоремы Т е и л н ц а, 3 '. Пуст 1 даны дне аариаюлы хл - О и ул - О, причем азларая из них удал«ел зварягт условию: [Уз!+ [Уз[+ "+ [Ул[щК (л=.1, 2, 3, .; К сола!). Тогда и варианта «и--хьтпя-хзрп 1+...
РхпУ,-О. «В применениях обычно Тлы!. 327 392) 1 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Простое применение теоремы 1 прн гл =ул 4'. Если варианта хл -а, а варианта ул -Ь, то вгигианлга х,ул+хул-г+" +хлуг гл= -аЬ. п Пусть сначала аг= 0 и требуется доказать, что гл" О, Это просто вытекает из Ул следствия 3', если заменить в нем ул на — . Условие, наложенное там на у, легко и проверяетщг с учетом того.
что здесь ул ограничено: [ул [«е. Обращаясь к общему случаю, перегщшем гл в виде (х,-а)Улч-(хг — а)Ул,+...4(хл-а)У, У,+Уло...+У гл = .'г а Первое слагаемое справа стремится к О„по только что доказанному. Второе же слагаемое стремится к аЬ, ибо множитель при а имеет пределом Ь по теореме Коши (1'). 5'.
Если хл а, то и* 1.хи+Си хг+Сл.ил+ . ° +Сл хл в хл— -а 2л Применяем теорему П, полагая Сл гллг = — ° 2л лт Так как Сл пт н — -0 [32, 9)), то условие (а) выполнено. Выполнение условий 2 (б) н (в) вытекает непосредственно из того, что л Л С„"=2л. гл= с б'. Если хи а и г=солвг(г»0), то и 1 хлч Слг хг+Слг'х,+... 4-Слгщхл хл— * .-а. (1 4-г)л Это — простое обобщение предыдущего утверждения, н доказывается оно анало- гично. Можно коэффициенты расположить н в обрапюм порядке, так что и гл.х,+Сггл †'х,ч-Свгл †'*хв+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
