Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 53
Текст из файла (страница 53)
+ ° ° ° + — + ° ° ° + йе1 аз из+1 )гз+В (В+1)з — 1 й 1 1 например, так кзк сумма первых й слагаемых меньше. чем й — = —. а сумма й' й 1 1 ПОСЛЕДНИХ (в+ 1) СЛаГаЕМЫХ МЕНЬШЕ, ЧЕМ (й Ь 1) — = —, тО Воя СуММа, дЕВСтеий'+й й тельно, будет меньше, чем †. Отсюда заключаем, что члены ряда (1) будут огрей миться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Тогда, по теореме Ле й б ниц а, ряд (1) сходится, следовательно, в силу сделанного вьвпе замечания, сходится и предложенный ряд. 387. Переместительяое свойство абсолютно сходящихся рядов.
Пусть дан сходящийся ряд (А), имеющий сумму А. Переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый ряд: ~~ ах= аз+ах Ь... -~-аьз- ° .. 1-1 (А') ч ПРИЧЕМ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ НОМЕРОВ (ЛВ) бЕЗ ПрОПуСКОВ И ПОВтОрЕНИй ВОС- производит — с точностью до порядка — цатуральный ряд. Каждый член а„этого ряда отождествляется с определенным членом а„, исходного рзща*. Возникает вопрос, сходится ли ряд (А') и — в случае сходимостибудет ли его сумма равна сумме А исходного ряда. При рассмотрении этого вопроса нам придется провести резкое различие между а б с олютно и неабсолютно сходящимися рядами. Теорема. Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд (А'), полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд.
Иными словами: абсолютно сходяи(ийся ряд обладает перемеопительным свойством. Доказательство, (а) Проведем доказательство в два приема. Предположим сначала, что ряд (А) — положительный. з1ь гл. хь ьвсконечныь »яды с послояныыми члы»»ми (зав Рассмотрим произвольную частичную сумму А»' ряла (А'). Так как а;==и»„а»=-а„„..., а»=а»„, то, взяв и' большим всех номеров л„л„..., п», очевидно, будем иметь А»'=-А„,, а следовательно, и подавно В таком случае (А') будет сходящимся (365) и его сумма А' пе превзойдет А: А'- А. Но и рял (А) нз (А') получается перестановкой членов, поэтому аналогично: А =-А'.
~ )а„(= )а,! ч )а») '-... -; ~а,~ ~»- .. и=» (А") по доказанному, при любой перестановке членов останется сходящимся, то по теореме и' 377 сохранит при этом свою (абсолютную) сходимость и ряд (А). Далее, мы видели в 377, что, в случае абсолютной сходи- мости ряда (А), его сумма выражаезся так; где Р и Д суть суммы положительных рядов составленных, соответственно, из положительных и абсолютных величии отрицательных членов ряда (А). Перестановка членов в ряде (А) вызовет перестановку членов н в этих рядах, но не отразится (по доказанному) на их суммах Р и Д. Следовательно, н сумма ряда (А) останется прежней, ч.
и тр. д. 388. Случай иеабеолютио сходящихся рядов. Обратимся теперь к рассмотрению н е а б с о л ю т и о сходящихся рядов и установим, Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому равенству: А'=-А. (б) Пусть теперь (А) будет произвольный абсолютно сходящийся ряд. Так как сходящийся положительный рял: 317 3881 Ь К СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ что они переместительным свойством не обладают: в каждом таком ряде надлежащей перестановкой членов можно изменить его сумму или даже вовсе нарушить сходимость. Предположим, что ряд (А) сходится, но н е а б с о л ю т н о.
Из сходимости следует, что 1ип а„=О (364, 5'). Что же касается рядов (Р) и Я), о которых мы упоминали в предыдущем и', то, хотя, очевидно, (2) 1иирн= О и 1пи о =О, но в данном случае они о б а расходятся. Действительно, имеют место равенства (3) АА=РН-0т 44 =РН4-0т* если к и т означают число положительных и отрицательных членов в составе первых п членов ряда (А). Подчеркнем, что из трех номеров п, й, т один может быть взят произвольно, а другие два по нему подбираются. Из сходнмости одного из рядов (Р) или Я), ввиду первого из равенств (3), вытекла бы с необходимостью и сходимость другого, а сходимость обоих, ввиду второго из этих равенств, имела бы следствием сходимость ряда (А") — вопреки предположению! Докажем теперь следующую замечательную теорему, принадлежащую Р иман у: Теорема Римана.
Если ряд (А) н е а б с о л ю т н о сходитпся, то какое бы ни взять наперед число В (конечное или равное ~ ), можно так переставить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно В. Доказательство. Остановимся иа случае конечного В. Заметим, прежде всего, что из расходимости рядов (Р) и Я), в силу 364, 1', вытекает, что и все их остатки также будут расходящимися, так что в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произведем перестановку членов ряда (А). Сначала возьмем столько положительных членов нашего ряда (в том порядке, в каком они в нем расположены), чтобы их сумма превзошла число В: Рг ьрг ~ ° ° эры - В. Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в том порядке, в каком они расположены в данном ряде), взяв их столько, чтобы общая сумма стала меньше В: Р,-~-Р,4 ...
4 Рн-а,-аг —... — 4)„, 318 гл. хт, игсконсчныв гиды с постоянными члинями [388 После этого снова поместим положительные члены (из числа оставшихся) так, чтобы было Рт+ +Рд — Чт — . — Ь -~-Рд+т+... +Рь.-В. Затем наберем столько отрицательных членов(нз числаостав- шихся), чтобы было Р, +... З Р„, — ттт —... — т1 Ерп+т-ь... +Ра — тт,~т —... -т1,ь=В и т. д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности; очевидно, каждый член ряда (А), и притом со своим знаком, встретится на определенном месте. Если всякий раз, выписывая члены р или д, набирать их не больше, чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то уклонение от числа В в ту или другую сторону не превзойдет по абсолютной величине последнего написанного члена.
Тогда из (2) ясно, что ряд (Рт+ ° ° ° зРп) — (тттз з 4т,)+ ° е (Ргт,"т 1 . 'ьрп) (т)зч,з-т+ ° ° Ч т) + Приме р и. 1) Рассмотрим заведомо не абсолютно еходяшийся ряд: 1 1 1 1 1 1- — + — — — +...+— 2 3 4 2/с-1 2я (4) * Читатель легко сообразит, как разместить члены дааного ряда, чтобы частичная сумма преобразоааиного ряда имела а качестве наименьшего и наибольшегоо пределов два наперед заданных числа и и С С.
имеет своей суммой В. В силу замечания п' 386, это останется верным и после раскрытия скобок. Если В=- + , то, взяв последовательность возрастающих до бесконечности чисел Вь можно было бы набор положительных чисел подчинить требованию, чтобы суммы последовательно становились больше Вт, Вя, Вз и т.д., а из отрицательных членов помещать лишь по одному после каждой гругшы положительных. Таким путем, очевидно, составился бы ряд, имеющий сумму .~- -.
Аналогично можно получить и ряд с суммой — -*. Установленный результат подчеркивает тот факт, что н е а б с ол ю тн а я сходимость осуществляется лишь благодаря в з а ими ому погашению положительных и отрицательных ч л е н о в, и потому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем, как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов — и от порядка их не зависит.
319 1 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ сумма которо~о, как легко показать (см. 2)), есть 1п 2. Переместим его члены так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных: 1 1 1 1 1 1 — + — + 1 1 1 — — + (5) 2 4 3 6 й 2»-1 4й — 2 4» мы утверждаем,что сумма ряда от такого перемещения уменьшится вдвое. В самом деле, если обозначить частичные суммы этик двух рядов, соответственно, через Ал и Ал то 1 так что Азл - — 1п 2. Так как 2 1 Авл-а =Аьа+— 4ал 1 н 4ал-а=.чзи-а+ 4ал — 2 1 стремится к тому же пределу — йа 2, то ряд (5) сходится и имеет суммой именно 2 это число.
2) Более общий результат можно получить, если исходить нз формулы для частичной суммы Нл гармонического рида (367 (4)) 1 1 Нл-14 — -1-... + — =1л л+Сч.ул, 2 л 1 1 1 1 1 1 1 — + — +... + — = - Нлз — — — 1п ла+ — С+ — ула, 2 4 2ал 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1+ — +... + — =Н໠— — Н» 1л 2+ — 1пФ+ — С+у,» — у». 3 2» — 1 2 2 2 2 Расположим теперь члены ряда (4) в таком порядке сначала помостам р положительных и 4 отрицательных, потом снова р положительных и е отрицательных и т.
д. Для того чтобы определить сумму ряда 1 1 1 1 1 1 1 14 — ~-... + — — — †. ° ° — — + — +...+ — — — — ° (6) 3 2р-1 2 2а) 2р+1 4р-1 24+2 нам удобнее объедвиить последовательные группы вз р или 4 членов. Частичная сУмма Аа„полученного такам путем ряда равна Азл = 1п 2 +ил (ел 0) где С есть эйлер о в а постоянная, а ул — бесконечно малая. Отсюда, прежде всего, имеем 320 Гл. х1.
Бвсконичнын Ряды с постоянными члин»ми 1389 и стремится к пределу 1п 2 —; к тому же пределу стремится и сумма.4ю-1. Наконец, в силу замечания и' 386, и ряд (6) будет иметь суммой это же число 1п 2 В частности, для ряда (4) получается !п 2 (р — д=.1), для ряда (э), как и в 1), 1 2 — (п 2 (р=-1, 4 —. 2). Аналогично: 1 1 1 1 1 3 1„.-- — Š— + — — +... = — (п г, 3 2 5 7 4 2 (»=э, 4=1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- — 0 2 4 6 8 3 10 12 14 16 5 (» 1, 4=4) и т. и. Заметим, что если численность последовательных групп положительных и отрыт»тельных членов е|пе измеюпь от группы к группе, то легко закон этого изменения подобрать так, чтобы для преобразованного ряда действительно пол)- чить лю б у ю наперед заданную сумму. Предоставляем читателю убедиться в этом. 389.
Умножение рядов. О почленном сложении (или вычитании) двух сходящихся рядов, равно как о почленном умножении сходящегося ряда на постоянный множитель — уже была речь в 364, 3' и 4'. Теперь мы займемся вопросом об умножении рядов. Пусть даны два сходящихся ряда: А= ~ а„=а!+а,4-...->ал+ 4=1 (В) — Ья|=Ь|+Ьэ+... +Ьт ( а 1 Подражая правилу умножения конечных сумм, рассмотрим и здесь всевозможные парные произведения членов этих рядов: а)Ь»; из них составится бесконечная прямоугольная матрица: Г а,Ь, аА а»Ь1 ... а|Ь, а,Ь. а,Ь, аэЬ, ...
а;Ь, агьэ а.Ь| азЬ. " а|Ь. а,Ь» а,Ь» а|Ь» ° ° ° а|Ь» 3891 321 5 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ что, соответственно, приводит к последовательностям: адб,; а,Ьз, азЬд; а,бз. азбз озЬ„' .. (8) илн адбд; а,бз, адбз, азЬд; адбз азбз 'дзбз 'дзбз, азЬд; ... (9) Составленный из подобной последовательности р яд называется произведением рядов (А) и (В).
Теорема Коши. Если оба ряда(А) и(В) сходлтсл а бе о л ю т н о, то их произведение, составленное из произведений (7), взятых в л юбол! Яорлдке, также сходится и имеет своей суммой произведение сумм АВ. Доказательство. По предположению, ряды ~)а,)=)ад)4-)аз(4-... -! )а„)Ф .. л=! (А*) и .л, 1Ь 1=1Ь ~->.~б ~;... +~б )4- ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
