Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 55
Текст из файла (страница 55)
+ 1.хл а (1+г)л 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов. Как указат М е р т е и с (р. Мепепв), результат К о ш и может быть распространен на более обшей случай. * Конечно, несущественным является то, что нумерацию значений варианты мы начинаем с 0 вместо 1. 328 ГЛ. Хг. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯЛЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ !392 ТЕОрпдяи МартПЕЫСГЕ Есяи ряды (А) и (В) сходятся, причем хоть од ил из иих сходится а бе о я мелко, то разяохсеиие (13) имеет место.
Доказательство. Пусть, скажем, ряд (А) сходится абсолютно, т. е. сходится ряд (А ). Объединяя члены на л-й диагонали, положим с„= а»Ьп+ а»Ьп, +... +оп,Ь»+апЬ, Сп = с, 9 с, +... -'; с„ так что нужно доказатгп ч о Сп -АВ. Прежде всего, нетрулно видеть, что (16) Сп = аьВп ! а»В г ! ° ° ! ап 1В»+апВ Если положить Вп,—-  — Ьт (где остаток ])т О при т ), то сумма Сп перепишется так: Сп — Ап — уем где уп — аьрп+аиуп-1-'-...-!-ап — ьбь Рапи; так как Ап -А, то несь вопрос сводится к доказательству соотношения: !пп уп О.
А это утверждение сразу следует из 3', 391 (при хп — — рп и у, = ап), если учесть, что ]а,]+]а,]+" 9]ап]-.А', где А» — сумма сходящегося, по предположению, ряда (А*). В виде примера применения теоремы, вернемся к задаче 4) п' 390. Упомянутое там равенство, как мы видим теперь, имеет место и на конце х = "= В промежутка сходимости ряда ~ апх", если Д 1 и ряд на этом конце вообще сходится (хотя с бы и неабсолютно). Заметим, что если бы оба ряда (А) и (В) сходились лишь неабсолютно, то уже нельзя было бы ручаться за сходим о с т ь р я д а (13). Для примера попробуем умножить ряд (-1)" ' 1 1 1 .1,...!.( Пп — з — ]ел )'2 )е3 ]!л (как мы знаем, 382, 2] сходящийся неабсопютпо] на самого себя. В этом случае 1 1 1 с =( — 1)п 1 Ч- — -!-...Е. +....!.— 1 ]ел ]12 )'яд! ]~! ]'л-)7-1 ]ел !/ 1 так как каждое слиаемое в скобкахбольше —, то ]сп] 1 (при л 1) и ряд ~ сп и ! расходится (364, э-].
Однако если аналогично поступить с также не а б со л ю т н о сходящимся ]382, 1)] рядом ( — 1)" ' 1 1 1 !п2= ~ =1- — + — —... 1-(-!)и и=! я 2 3 л 393] 329 1 3. пОВтОРные и ДВОйныв Ряды то окажется, что -[. 1 1 1 1 сп-( 1)лз + ( + + + 1 л 2 (л-1) (.(л-(4-1) л.11 2 ( 1 1) =(-1)п ' — ~1+ — 4 я+1~ 2 л~ С,+С,-) ... +Сп=А,Вп+АзВп,+... +АпВ(. Разделим зто равенство почленно иа л и перейдем к пределу прв л . Так как Сп С, то по теореме Коши [33;см. также 391, 1'] и среднее арифметическое Сз->С О...+С„ -С. л С другой стороны, в силу 391, 4' (если положить там хп = Ап, уп = Вп), А(Вп.~-А(Вп-з |- ° ° ° +АпВ( АВ. Отсюда С= А.
В, ч. и тр. д. З 5. Повторные н двойные ряды 393. Повторные ридьь Пусть задано бесконечное множество чисел а)3) (|'=1,2,3,...„1(=1,2,3,. ), зависящих от д в у х натуральных значков. Представим себе их рас- положенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы: Г„„ он) а(') а(') а, аз аз а(" азя) а13) а(3) а(3) а(3) 1 ав 3 а(1) а(') ( а(3) а(") ф) а(3) ... а(") .. Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной матрицы с двумя входами. Здесь, при возрастании л, ~ сп [ стремится к О, монотонно убывая, так что [по теореме Лейбница, 381] ряд ~', сп все же будет сходящимся.
Какова же его сумма, будет ли оиа равна (1п 2)'7 На этот вопрос отвечает Теотеелаа Абеля. лишь только дяя двух сходящихся рядов (А) и (В) и их произведение, взятое в (дорне Кои(и, оказывается сходящимся, то его сумма С необходимо равна А В. Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, из (!4) легко получаем: ззо ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1звз Теперь ос гановимся на одном понятии, связанном с рассмотрением матриц вида (1) — понятии и о в торного ряда. Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последовательность рядов вида ~ а!!"!.
1=1 (2) Просуьпиировав теперь эту последовательность вторично, будем иметь (3) Полученный символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т. е. если суммировать члены нашей бес- конечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный ряд (4) Повторный ряд (3) называется сходящимся, если, во-первых, сходятся все ряды по строкам (2) (их суммы, соответственно, обозначим через А!Еэ) и, во-вторых, сходится ряд ~ Аы!. 1=! его сумма и будет суммой повторного рядо (3). Легко перефразировать все это и для ряда (4).
Элементы матрицы (1) можно многими способами представить в виде обыкновенной последовательности (5) из,из, ...,и„.. и по ней составить простой ряд (Об этом мы уже говорили в связи с частного типа матрицей (7) и' 389). Обратно„если имеем обыкновенную последовательность (5), то разбив все ее члены (не считаясь с их расположением) на бесконечное множество бесконечных групп, можно ее представить многимн способами в виде матрицы с двумя входами (1), и по этой матрице составить повторный ряд (3). Естественно встает вопрос о связи между рядами (б) и (3), состоящими из одних и тех же членов. зз> 3931 5 К ПОВТОРНЫВ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ Теорема л.
Если ряд(6) сходится а 6 с о лил т н о к сумме У, то, как бы его члены ни расположить в виде матрицы (1), сходится и повторный ряд (3), причем имеет ту же сумму. Доказательство. Ряд (6*) по предположению, сходится; обозначим его сумму через У*. Тогда, прежде всего, при любых и и 1с, откуда следует сходимость ряда ~ ~а!!л>)[365), а значит и сходнмость ряда г а)л> [377[ (при любом >с). 1 ! Далее, для любого числа е О найдется такое г„, что (и,! «е, (7) --О5.1 следовательно, и подавно (8) ~ и, = У-~и, се. л! и=! Члены и„ие, ..., и, ряда (6) содержатся в первых и строках и первых т столбцах матрицы (1), если и и т достаточно велики, скажем, прн и пь и т. т .
Тогда для указанных и и т выражение „л' ~; а)л> —,г, и, 1=11=! и=! представляет сумму группы членов и, с номерами, большими гв, н ввиду (7) по абсолютной величине е. Переходя к пределу при т получим (для и- п) ! и .г, А! > — г и, е, л=! и=1 так что — в связи с (8) и А Аоо — л> 2, л=! откуда следует сходимость повторного ряда (3), н именно к сумме У. 332 гл, хь песконвчныв ряды с постоянными планами 1393 3 а м е ч а и и е.
Некоторые строки матрицы (1) могут состоять и из конечного числа членов; легко распространить результат и на этот случай. Если вспомнить, что в 386 мы разбивали члены простого ряда лишь на конечные гругшы, не нарушая при этом их р асп о л о ж ения, то станет ясно, что теорема 1 формулирует далеко идущее распространение (совместно) сочетательного и цереместительного свойства абсолютно сходящегося ряда. Обратная теорема имеет место лишь при усилении предположений о повторном ряде.
Теорема л. Пусть дан повторный ряд (3). Если по замене его членов их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходится не только ряд (3), но и простой ряд (6), состоящий из тех лсе членов, что и ряд (3), расположенных в любом порядке, и притом к той же сумме. Доказательство. По предположению ряд Д Д!4")! сходится; пусть Аь — его сумма.
При любых п и т, имеем (9) ~ .г , 'а!") ! Аь. г=! ! Возьмем теперь и ро из в о ль ную частичную сумму ряда (6*): П.*=!»! ! !-!".'!щ! При достаточно больших п и т, члены и„и„..., и, будут содержаться в первых и строках и первых т столбцах матрицы (1). Тогда нз (9) следует, что У*«Аь н ряд (6*) сходится, т. е.
ряд (6) сходится а б с о л ю т н о. Остается применить теорему 1. Так как, пчел!дно, все сказанное о повторном ряде (3) справедливо и для повторного ряда (4), то как следствие из доказанных теорем получается следующее важное предложение, которое часто бывает полезно*. Теорема 3. Пусть дана лгатрича (1).
Если по замене членов ряда (3) их абсолютными величинами получается сходящиисл ряд, то сходятся оба повторных ряда (3), (4) и имеют ту же сумму: ~ ваагн)= ~ 5 а!г>. ь=! г=! г=! г=! ь В немецкой литературе зто предложение носит название гягозвег ГЛппгг)- пппявзагть. зйл) ззз ! з. повтогные и двоиныв гиды 394. Двойные ряды. С бесконечной прямоугольной матрицей (1) связано и понятие двойного ряда. Так называется символ а!)!)+ айз> з- а»зз> -ь...
ч а!'> ч-... + а!'> ь а»зя>+лая>+... -! а)з> ! ... а!»> !. а!'> ', а!"' >, ! а!»> ! ... я з ~ а(») !,» ! (10) Ограничившись первыми т столбцами и первыми л строками, рассмотрим конечную сумму 1!Я) ~ а!») >,»=! называемую част ич н ой су м мой данного двойного ряда. Ста- нем увеличивать числа т и н одновременно, но независимо друг от друга„устремляя нх к бесконечности.
Предел (конечный или бескоиеч- ный) А=1ппА!"> называют суммой двойного ряда, и пишут А = г а>»>. (,»-! с!!»> = а>о» . В зтом случае частичная суьпиа, очевидно, равна (если сохранить прежние обозначения) так что двойной ряд, соответствующий упомянутой матрице, всегда сходится и имеет суммуь С= 1пп АтВл=АВ ' таким образом, если лроюяедевие двух сходяшвхся простых рядов представить в виде двойного ряда, то суммой последнего всегда будет произведение АВ! трудность была в доказательстве того же по отношению к произяедевяю рядов, представлеввому простым рядом. Если ряд (10) имеет конечную сумму, его называют сходлщимся, в противном же случае — расходящимся. Вернемся для примера к матрице (7) предыдущего параграфа, с общим членом З)4 ГЛ, Хг.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1зрв На двойные ряды легко перенести теоремы [364, 3' и 4') об умножении членов сходящегося ряда на постоянное число и о почленном сложении или вычитании двух сходящихся рядов; предоставляем сделать это читателю. Точно так же для сходнмости двойного ряда необходимо стремление к 0 общего члена: 1пп а)л) =0 1ср. 364, 5'1 Это сразу видно из формулы а)л! =А!Я) -А!!Я)! - А!!л 1) -РА)" !').
Естественно сопоставить двойной ряд(10) с повторными рядами (3) и (4), рассмотренными выше. Так как ~(л) ~ ~~ ~!) то, переходя здесь при фиксированном н к пределу при т (в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим !Пп А<я>=~А<">. л Л 1 Теперь ясно, что сумма повторного ряда (3) есть не что иное, как повторный предел 1)п> А (л) л л! Вопрос же о равенстве сумм двух повторных рядов (3) и (4) является частным случаем вопроса о равенстве двух повторных пределов. Применяя к рассматриваемому случаю общую теорему и' 168 о двойном и повторном пределах*, прндем к результату: Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (10) и 2) сходятся все ряды но строкам, то сходится Бовторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд Р ~ а)л) = А = Р, аг!Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
