Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 51
Текст из файла (страница 51)
— (са я — сз 1), легко установить, что суммы нечетного порядка стремятся к С у б ы- в а я. Таким образом, всегда Сзи С ~ Сзи — 1 ° В частности, можно утверждать, что О С с,. Это позволяет дать весьма простую и удобную оценку для о с т а тк а рассматриваемого ряда (который и сам представляет собою такой же знакопеременный ряд). Именно, для ухе =Сх +1 — Сз +Х Ь очевидно, имеем: О уз ся наоборот, для уя„т= -св,+св +1 —... -(сх — сз +Зе...) будет: ~Ъ,-З О, ~уя з! «ск . Таким образом, во всех случаях остаток ряда лейбницев- ского тип ае имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине. Это замечание часто используется при приближенных вычислениях с помощью рядов (см.
4091. 382. Првмеупь 1) Простейщвмп прпмерамв р1щов левбвпцевского тапа служат ряды (-1)" ' 1 1,1 (а) .~ =1- — Ь вЂ” — ...Е(-1) -' — Ь... пг и 2 3 и (-1)" ' 1 1 1 (б) .а, — 1- — + — —... +(-1)" ' — е... и-1 2и-1 3 5 2и-1 Сходвмость обовх вытекает пз доказанной теоремы. В то же время ряды, составлевпые пз абсолютных велпчвп вх членов, расходятся1 для ряда (а) зто будет гармовпческпя р1щ, для ряда же (б) получится ряд 1 1 1 1+-+ — +...
+— 3 5 2и — 1 е Так мы называем злакоперемеввыя ряд, удовлетворяющпй условиям теоремы Левбппца. расходимость которого ясна из того, что его частичная сумма п ! я 2' — » ~ — = — н' =1Ж-1 120 2 Таким образом, в лице рядов (а) и (б) мы имеем первые примеры н с а б с оп ю т но ох од я щ их с я рядов. [Няже мы увидим, что сумма первого из иих л есть 1л 2, а сумма в~орете равна —; 388, 2); 405, 404].
4 2) По теореме Л ей б ниц а сходятся ряды Л, 2~,—, ( !)л-г ( !)л «-1 лз «=за 1иел ( !)л-1 2' (з-О). я =з л )п л. (1и 1п и)з Если замензпь все члены их абсолютными величинами, то, как мы знаем, при з 1 получатся сходящиеся ряды, а при с я1 расходящиеся. Таким образом исходные ряды при з- 1 оказывиотся абсолютно сходязцимз1ся, анри хсн!— не а б солю тн о схолл~димися. .л В частности, про степенной ряд л., —, который мы рассматривали в 370 я=зла ' и 378, теперь можно сказать, что на конце х- — 1 своего промежутка сходнмосги, при зм! он все еще сходится, но не абсолютно. х 3) Рассмотрим ряд ~(-1)" зш —, при любых х *О. Теорема Лейбл л н и ц а применима, если не к атому ряду, то к его достаточно дапекому (по ноя меру) о с т а т к у.
Действительно, при достаточно большом л, зш — приобретает л знак х и по абсолютной величине убывает с возрастанием л. Итак, ряд сходится [очевидно, неабсолютно, см. 307, 8) (в)). 4) Для того чтобы выяснить, что требование монотонного убывания чисел сл в теореме Л е й б н и ц а отнюдь на является лишним, рассмотрим знакопеременный ряд 1 1 ! 1 1 ! — + — + ° ° ° -1- [(201 [(3 — 1 [г3 3Ь! ['л-1 [(и лр! [(2- ! общий член которого стремится к нулю.
Сумма 2л его членов равна я~! ! ! ез -2- =2Нл !=я[,[%-1 )%+1) зй-! и бесконечно возрастает вместе с л: ряд расходится! Нетрудно проверить, что монотонность убывания нарушается всякий раз при переходе от члена 1 1 — к члену ч ° ')гль1 — 1 304 ГЛ. Х!. ьиСКОНСЧНЫг. РЯДЫ С ПОСтояннЫМИ ЧЛВНАМИ [382 305 зяз! ! 3.
схОдимость пРОнзволъных Рядов Для той же цели может служить и расходящийся ряд 1 1 ! / 1 ! ! ) /! 1 !п 2=.1 — -+ —.— — ч ° ° ° =-~! ч — -!.--ь — 1-... ~ — 2 ~ — + — + ° ° ° ) = 2 3 4 ~ 2 3 4 ~ !2 4 -Н-- 1 1 ! ! 1 1 1 ! -~ — + — Ч вЂ” -! ... ~ — ! ! + — Ч вЂ” -Ь вЂ” Е... ) = О! 2 3 4 ~ ! 2 3 4 Если то же преобразование применить к сходящемуся ряду 1 1 1 р=- ! — -ч — — — +... (2»0), 2к Зз 4е то получим, что где 1 1 1 ч = 1 -!- — -~- †.!- — +... 2' Зк 41 При к 1 (в этом случае последний ряд расходится!) снова прнходим к парадоксу: р О (ср. 381, замечание). при 2 1 мы имеем дело с сходящимися рядами, и получается прашгльный результат.
383. Преобразование Абеля. Часто приходится иметь дело с суммами парных произведений вида с = ~ плуг = птглг + изФ2 ь ° ° ~ ать ° 1=1 (9) Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее элементарное преобразование, указанное А б е л е м (Р1. Н. А!зе)). Введем в рассмотрение суммы В, †-Р„ Ва = рг ч !12 Вз =Рг+)кг+ Рз В.=Р1.рач... +Р.. 20 Г. М. Фиктсн екав, т. П в чем убедиться предоставляем читателю.
5) Последний ряд дает повод к такому замечанию. Если его сопоставить со ( Пл — 1 сходящимся рядом ~, —, то оказывается, что отношение их общих в=1 )гв членов стремится к 1. Таким образом, теорема 2 и* Зяб не имеет аналога в теории рядов с членами произвольных знаков. 6) Использование в выкладках расходящихся рядов и действий над их бесконечными суммами может привести к парадоксам.
Нот, например, один из них: 306 ГЛ. Х!. НЕСКОНЕЧНЫБ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1заз Тогда, выражая множители р! через эти суммы, ф,=В„ф  — В„р = — В„..., Р„=В -В сумму Я можно написать в виде Я = атВ1+ аз(Вз — В1) Ь ссз(Вз — Вз) Ь . -; асс( — Вм,) Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу* Я= г' а!Рс=(а — а )В -«(аз — а )Вз+...
!=1 и-1 ....! (а„т-ссы)ВИ 1 ь аыВ = ~ (а! — а!+1)В!+ ил!Вес. (10) ! 1 [Если переписать ее в виде ,г' а!1!!= амВМ вЂ” „~ (сс!+1 — ас)В1, 1=1 1=1 то станет ясно, что эта формула для конечных сумм является аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл — суммой.) Основываясь на формуле (10), выведем теперь следующую оценку для сумм указанного вида: Лемма. Если множители а, не возрастают (или не убывают), а суммы В! все ограничены но абсолютной величине числом Е: )3!)~Е (!'=1,2,...,т), то )5! = ~~ сс!р! ~Х.
° ((ат( + 2 !ам)). ~! 1 Действительно, так как все разности в (10) одного знака, то и-1 !~5! и,~» ~ас-ас+ ( ° Е-> (а,„) ° Е=Х((а — а,„(+ (а,„!) мЕ()а !-ь2(а,„)). 1=1 Нетрудно видеть, что если множители а; не возрастают и положительны, то оценку можно упростить: М=Л Р! 1=1 Этими оценками мъг будем ниже не раз пользоваться по разным поводам. Сейчас мы их применим к выводу критериев сходимости, более общих, чем установленный выше критерий Лей б ниц а. е По сути дела, мы уие лользонались подобным преобразованием при доказательстне второй теоремы о среднем значении 13061. 307 ь 3. схОдимость НРОизВОльных РядОВ 384.
Признаки Абеля и Дирихле. Рассмотрим ряд: ,г а„Ь„=а1Ь1л-гьльа+... Ра„Ь„-~-,.,, л=1 где (а„) н (Ь„) — две последовательности вещественных чисел. Следующие предположения относительно каждой из них в отдельности обеспечивают сходимость этого ряда. Признак Абеля. Если ряд 2 Ь„=Ь,-'Ь,+... РЬ„+ л=т (В) то ряд (%) сходится. Признак Дирихле.
Если частичные суммы ряда (В) в совокупности ограничены *: )В„(-М (п=1,2,3,...), а числа а„образуют монотонную последовательносгпь, гтремяи7уюся к нулю: 1пп ал=О, то ряд (%) сходится. В обоих случаях для установления сходимости ряда (%) мы прибегнем к принципу сходимости (376). Рассмотрим поэтому сумму аада=~ аль~ьллч, 1-льт ~=1 она имеет вид (9), если положить а;=а„ы, р1=Ь„Ы. Попытаемся оценить эту сумму с помощью леммы. При предположениях А б е л я, по заданному е О найдется такой номер Ф, что при и Ь7 неравенство (Ьл+1РЬл+а+... РЬ < р~ ~в будет выполняться„каково бы ии было р (принцип ох о димостити).
Следовательно, за число А, упоминавшееся в лемме, можно принять е. Имеем тогда при п Ф и т=1, 2, 3, ...: ! аада е()а„+11-~ 2~а„ь ))~ЗК е, л=л+1 что и доказывает сходимость ряда (%). * это требование шире предпсаожеааа с сходимости р1ша (н). сходюпся, а числа ал образуют монотонную и ограниченную последовательность (а„( — К (и = 1, 2, 3, ...), зпз ГЛ. Х1 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ [385 При предположении Дирихле, по заданному е 0 найдется такой номер )1(, что при и )т' будет [а„) «Р. Кроме того, очевидно, (Ь„~1 ьл,е. Ь„,)=-(в„1л-в„~ гМ, и можно в лемме положить 1..= 2М.
Тогда, при и - Ж и из = [, 2, 3,..., ! пел акЬя чя2М (~~а„зт~ Р2~а„ы„)) 6М Гь 1,=пчз и сходимость ряда (%) доказана. Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из предложений Абеля следует, что ал имеет конечный предел а. Если переписать ряд (%) в виде суммы рядов ~ (а„-а)Ьл.~-а ~ Ь„, л=1 л 1 385.
Примеры. 1) Если ал, монотонно убывая, стремится к нулю, а Ь„=- ( — 1)"-', то условия теоремы Д и р и х л е, очевидно, выполнены. Следователыю, ряд .~ (-1)л-'ел=аз-алЧ-ап-" '. (-1)л-за.+ п=1 сходится. Таким образом, теорема Л е й б н и и а получается, как частное следствие теоремы Д и р ихле. 2) При тех же предположениях относительно ал, рассмотрим ряды (х — любое): 2' ал ми ах, п=т „Х ал СОЗЛХ. л.=1 Полагая а = О и Ь=х в тождествах (1) и (2) и' 307, которые там были установлены по другому поводу, мы найдем 1 1 1) соз-" х соз '(лч- — ~ х Л' л ЗШ 1Х вЂ” —— — 1 2 я1п — х 2 11, 1 мп и-1- — х — 11П вЂ” х Л соз 1х— — 1 2 я1п — х 2 то второй из них сходится по предположению, а к первому применим уже признак Д ирихле.
309 зйб) 1 х сходимость пвоизвольных видов вших " ( 1 1) вш пх — ~ ~1»-+...Ч- — ~ и т, п. яз п вг(1 2 п~ п 3) Большой интерес представляют р»щы вида л, а,» и гпх (12) где (ап) — произвольная последовательность вещесп»еиных чисел; они носят название рядов Дир их лв. Длл них может быть доказана лемма, имеющая сходспю с леммой и' 379, отнесшцейся к степенным рядам: Если ряд (12) сходится при некотором значении х = х, то оп сходился про всяком х х. Это сразу следует из теоремы А б е л я, так как при х х ряд (12) получается из сходящегося ряда ап и 1»»х умножением его членов на монотонно убывающие положительные множители 1 — (и = 1, 2, 3, ...). пх-х 1 1 Существуют ряды (12)»всюду сходящиеся», вроде,~ — —, и»всюду 2п пх - 2п расходящиеся», вроде ~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
