Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ряд расходится. 2 371, Признак Куммера. Теперь мы выведем один весьма общий признак, принадлежащий К у м м е р у (И. Б. Кппнпег); его скорее можно рассматривать как о б ш у ю с х е м у для получении конкретных признаков. Признак Хуммера. Нусть сг, сг, ..., сп, ... будеш произвольнол последовательность положительных чисел, такал, нто ряд сп расходится*. Соспгавим для испыпгуемого ряда (А) варианту ап .')(„= сп. ал+г Если (для п 11) выполняется неравеяспмо Япжд где д — постоянное положительное число, то ряд сходшнся.
Если же (для п»Ф) аьл нО, то ряд расходится. Доказательство. Пусть ап о»п сп — - сгг+гждпо аль» (неравенство это, очевидно, можно считать выполненным при в с е х и). Умножив обе части этого неравенства на ап+„получимг спал- сп, гагг,гиьд.ап ь „ значит, слил- сп+,ап+, О или спал сп+,ап ьг. ь Обращаем ввимание читателя иа то, что последним предположением мы будем пользоваться только при выводе признаю расходимости: признак сх одимости в нем не нуждается, АХ ! Л Х! БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМН 1371 Отсюда следует, что переменная с„ал монотонво убынает и, следовательно, стремятся к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулем).
Итак, ряд ~ (слал — со+зал+,) л=1 сходится, нбо сумма его и первых членов: г,а, - ел+,ал е, имеет конечный предел. Но тогда из нсравенства (б), по теореме 1, следует, что сходится ряд ~ дал+„а с ним и данный ряд (А). л=1 Если же, для н Дг, ал 3)ьл сл' ' сл+з иО алчз то имеем: ал ч1 Сл г-1 ал 1 сл 1 Так как ряд ~~ — предположен расходящимся, то, по теореме 3, расходится и сл испытуемый ряд (А), ч. и тр. д. В предельной форме признак Ку м мер а выглядит так: )(онустим, что еирианта й(л имеет нреде 1 (конечный ихи иет): 11ш 3)(,- я.
Тогда лри о( О рлд сходится, а лри с)( Π— расходится, Покажем теперь, как при помощи признака Куммера можно получить некоторые важные признаки сходнмости как частные случаи его. 1 а) Положим, например, сл- — 1; условие, чтобы ряд г~~ — расходился, соблюдено. Имеем; сл ил 1 Я, = — "- -1- — - 1. ил+1 Йл 1 Если варианта Йл стремится к пределу Й, то д)(л стремится к прадеду Ог = — — 1 Й (с)(-+ если Й=О,сгь= — 1,еслиЙ=-Р ). При Й 1, очевидно, 7( О, н по признаку КУ ммера Ряд Расходится; если же Й 1, то 3)(~О, и ряд сходится.
Такилг образом, мы пришли вновь к признаку Д а л а м б е р а . 1 б) Положим, далее, ел= и и отметим, что ряд 2' — расходится. Выражение с)(л получит вид: ')ьл=л, — -(и+1)=-й(„-1, -г ал 'го+1 если варианта й(л стремится к пределу Я то Ял стремится к пределу т('= ьт — 1 (да * если й(= Х ) При Й. 1 имеем етг ьО, н по признаку К уммера ряд сходится; если же дч«!, то йь О, так что ряд расходится.
Мы вновь получили признак Р а а бе. 279 З72! 1 2. Оходимость лОЯОжитедьных РядОВ ! в) Наконец, возьмем с„=л!ил (л~2), такой выбор допустим,ибо ряд у,— л1п л расходится [Зб7, б)!. Имеем в этом случае ;)( =и 1п и -(л91) 1п (пь!), ап+з что можно тагске представить в виде: а(п=!па [я [ — -.— — 1) — 1~ — !и [19 — ) =д(!и — !и [1+ — ) если обозначить через с7!и новую варианту: / ап Яп — - гп л [л ~ — 1) — 1) =.
)п л Щп — ! ). оп+ г Отсюда получается уже новый Признак ллнрнт[цини (1. Бег!заид). Допустим, что варианта йгп илгггпг предел (хонсчный или нет); йг =.!пп Ят Тогда при сл! 1 ряд сходится, а лри суг ! — расходшпся. 1 зп+л Действи~ельно, так как 1пп1п [! +-~ =!ой г= 1, то варианта К у ми м е р а с)(п стремится к пределу й(.= д(! — 1 (д)(= ~, если д!) 2 ). Остается сослаться на признак К ум мера. Сопоставляя признаки Р а а бе и Бертрана, можно было бы повторить те же замечания, которые мы выше сделали по поводу признаков Д а л а м б е р а и Р а б б е [Зб9[.
Эта цепь все более и более чувствительных (но и более сложных!) признаков может быть неограниченно продолжена. 372. Признак Газчсв. Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана н а легко может быть получен следующий признак Гаусса (С. Е Оапвз). а„ Признак Гаусса. донустилц что для данного ряда (А) отношение— может быть представлено в виде: ап+з а„р — Л+ — ь —, а„+л и л' где Л и р — постоянные, а 0п есть ограни ч вн пал веги шпаг [0„[шЬ; тогда ряд сходится, если Л 1 ши если Л 1, р 1, и расходится — если Лы1 ши Л=1, /ьш!, ап+ 2 Случаи Л~! приводятся к признаку Даламбера, ибо 1цп- Пусть теперь л =-1; тогда ап ап '! Вп йп=-и!.—.. — 1!=р+ —, Ж=р, ап ь1 л и случаи/с~~! исчерпываются признаком Ра а бе.
Наконец, если р=!, то имеем: 1и л сап=(п п(йп 1) = 'Вп ° !п и Так как —, как известно, стремится к нулю при л -, а В„ограничена, то сзд = л = Гш йгп = О, и по признаку Б е р т р а н а ряд расходится. 280 гл. хг. еесконечные ряды с постояннымн членами (ЗП П р и м е р ы . 1) Рассмотрим так назынаемый гялергеометряческяй рлс) (Гаусс): а.(а+1) °.... (а-1-л — 1).)).О)-Ь!) °... ° (р-Ь л — 1) Р(а, О, у, х) = 1 + Р, " ' ' " хл = я=т л(у (ув 1) ... (уЧ-л — !) а с) а (и+ 1) 1).(р"-г 1) а (сс + !).(ач- 2). р".(()-~-1).()) + 2) = 1+ — х-ь хсгг 1 у 1 2 у (у-Ь1) 1 2.3 у (уч1) (уе2) предполагая п о к а а, (1, у, х» О.
Здесь ил+с (а е сс)(ст-~ л) х-х, п„(!рл)(уел) так что по признаку Даламбера сразу устанавливается сходимость при х 1 и расходимосп прях 1. Если жех=1, то возьмем отношение ал (!+л)(у-ьл) ~ л) ( сс) л„чс (а — , 'л)(1) л) и, пользуясь разложениями: р" Р' 1 = 1 — — ч- — — —, (1 л Я лс 1е— л и 1 сс ас 1 -- -=1 — — -с— а л ал' 1-Ь— 1е— сс л представим его в виде; 1+ ~ — ) + (+-... ч ~ — ) +... (р» 0), который сходится при р 2 и расходится при р:а2. Здесь — по формуле Т е й л о р а откуда р 2 О„ — = 1-1- — ь— лл !.с (В„ограничена), и т.д. а„у-а — !)+1 Вл 1Ь + ил+с л и" где б)л огРаничена.
ПРименЯЯ пРизнак ГаУсса, видим, что Рад Р(а, Р У, 1) сходится при у-а-)У О и расходится при у-а-(МО. Нике мы нериемся к гипергеометрическому ряду при более общих предположениях отиосятельно а, !), у и х. 2) Другим првмером на првмеяеине признака Г а у с с а может слуюпь ряд Зтэ1 гш 1 х схОдимосгь пОложитллъных РядОВ 373. Интегральиыи признак Маклорена — Коши. Этот признак по форме отличается от всех предыдущих. Он построен на идее сопоставления ряда с интегралом и представляет собой обобщение того приема, которым мы уже пользовались для выяснения сходимостн или расходимости ряда в примерах 4), 5), б) и' Зб7. Пусть предложенный ряд имеет форму .З;"ал= ~1'(и), л=1 л 1 (7) где Яи) есть значение при х=и некоторой функции 7(х), определенной для х~1л; функцию эту предположим непрерывной, положительной и монотонно убывающей.
Рассмотрим'какую-либо перво образную функцию Г(х) для 7'(х); так как ее производная Г'(х) =Дх) О, то Г(х) возрастает вместе с х и, при х-+ -, наверное, имеет предел, конечный или нет. В первом случае ряд .5;(Г(п ч- 1) — Г(п)) л 1 (8) Г(пь1) — Г(п)=1(п10) (0=8=1), так что вследствие монотонности функции Дх) а„+1= 7(и+1) Г(п+1) — Г(п) .Ли)=а„.
(9) В случае сходимости ряда (8), по теореме 1, сходится ряд ~а„+1= л 1 Рл л„7(и+ 1), члены которого меньше соответственных членов ряда л 1 (8); значит, сходится и данный ряд (7). В случае расходимости ряда (8), расходится и данный ряд (7), ибо члены его больше соответственных членов ряда (8). Таким образом, мы приходим к следующему интересному признаку (впервые найденному в геометрической форме Маклорен о м, но позабытому и лишь впоследствии вновь открытому К о ш и): * Начальным значением номера л, вместо 1, может быть и любое лрутос иатуральиое число л; тетри и функцию г(х) иаллежит рассматривать лри х~лл. сходится, а во втором — расходится.
С этим рядом мы и сравним нспьпуемый ряд. По формуле конечных приращений, общий член ряда (8) представится в виде: 282 ГЛ. Х1. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1зтз Интезралъным признак. При сделанных предположениях ряд (7) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли функция р(х) ~ дх) с(х при х -1-- конечный предел или нет. Приведем примеры применения этого признака (помимо рассмотренных в 367). 1 1) ~ — — (оь-О).
3 п.)п««п 1 Имеем у'(х) =- — — —; с(х) = 1п 1и 1п х +: ряд расходится. х 1п х )а !п х ' В этом случае ()- Дх) = Г(х) = —— -О: х 1пхбп!пх)'+ ' ' ' о Оп!пх)а ряд сходится, н т. д. Псрвообразную функцию Р(х) можно взять и в форме определенного интеграла Цх) = ~ 7(()«((. 1 Предел его при х- -, - называют «интегралом от 1 до + з* и обозначают так: + р(.1- ) =- ~ Л() а((. 1 Итак, предложенный ряд (7) сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли этот интеграл конечное значение или нет"в. «Это так называемый несобственный интеграл; подобными интегралами мы будем заниматьси в главе ХП1. При такой формулировке признака доказательство легко провести без предположении о непрерывности функции Дх) и испсльзув только о п редсленн ый интеграл (который для монотонной функции существует, 298, 1П).
1 Здесь Лх) = —,„- —,-; дится. г) Л в=з п!п п.!п!пи ' 1 Г(х)= — — — О при х +: ряд схоо!по х 373 ! . схолимость положитяльных гядов В такой форме интегральный признак допускает простое геометрическое истолкование, близкое к идее Маклорена. Если изобразить функцию )(х) кривой (рис. 54), то интеграл Г(х) будет выражать площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью х и двумя ординатами; интеграл же г(ь ), в некотором смысле, можно рассматривать как выражение для площади в с е й бесконечно простирающейся направо фигуры под кривой. С другой же стороны, члены 0 1 2 3 и и+! .т Р««с.
«к а„а„..., а«, . ряда (7) выражают величины ординат в точках х= =1, 2, ..., и,... или, что то же, площади прямоугольников с основаниями 1 и с высотами, равными упомянутым ординатам. Таким образом, сумма ряда (7) есть не что иное, как сумма площадей выходящих прямоугольников, и лишь первым членом отличается от суммы площадей входящих прямоугольников. Это делает совершенно наглядным установленный выше результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и подавно конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры, и предложенный ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры бесконечна, то бесконечна и площадь содержащей ее ступенчатой фигуры, так что в этом случае ряд расходится.
Сделаем теперь некоторые замечания относительно дальнейшего использования неравенств (9). а) В случае существования конечного предела !пп Р(х) = Г(+ -) можно указать удобную оценку остатка предложенного ряда. Именно, просуммировав неравенства а» ~ ~(!4) ~(74 1) '«и»-1 при !с=и+1, ..., и;-т, получим « .~. т «ч « — 1 а» г(п ', и) — Г(п) ~ а». »=««-» »=« 284 гл. х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
