Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 44
Текст из файла (страница 44)
4~-0, придем к равенству Ю=(ся+АЯ) АТ, которое и показьшает, что с,+АЯ есть ср. адиаб атич соком процессе (т. е. в случае полного отсутствия теплового обмена между газом и окружающей средой). Состояние газа, кроме величин 1' и р, характеризуется еще его (абсолютной) температурой Т. Впрочем эти величины не независимы; оии связаны известной формулой Клапейрона р)г= ЯТ (Я вЂ” газовая постоянная). (17) Установим, какое количество энергии А(/„в единицах тепла, нужно затратить, чтобы перевести газ из состояния (р, )г, Т) в бесконечно близкое состояние (р ЕАр, Ггг-А)г, ТРАТ). Процесс перехода можно представить себе состоящим из двух стадий. Вопервых, объем К газа увеличивается на А)г и, во-вторых, температура Т газа— при постоянном объеме — юмеияется на АТ. Чтобы вычислить элементарную работу расширения газа„ предположим для простоты, что рассматриваемая масса газа находится в цилиндре по одну сторону поршня (ср.
354, 2)). Сила, действующая со стороны газа на поршень, будет рД, где (2 — плошадь поршня. Если при расширении газа поршень сдвинулси на расстояние Аг, то работа, произведенная газом, будет равна р()гЬ или р ЫИ (твк как ()г/г=г/Гг). Так выражается работа — в обычных единицах работы, например, в кгм (если р дано в кг/м', Гг — в мг). Желая установить потраченное иа эту работу тепло, нужно полученное выражение умножить на так называемый 1 гтермический эквивалент работыз А = — кал/кгм, что даст Ар г/И 427 Изменение температуры на ЙТ потребует сг г/Т кал, где с, есть теплоемкосгь газа при постоянном объеме.
Складывая, получим гШ= с, АТ+Ар Л'. Исключить отсюда г/Т легко. Если продифференцировать формулу (17) р Ф)гб )г Ар = Я г/Т (19) ГЛАВА ОДИННАДНАТАЯ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ я 1. Введение 362. Основные понятия. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел а„ак, а,„..., ап, Составленный нз этих чисел символ ат ' 111" аа+ . + 17п+ (2) называется бесконечным рядом, а сами числа (1) — член а м н ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так: ,л,' а„; п=1 (2а) указатель и пробегает здесь все значения от 1 до -и. Станем последовательно складывать иены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы; Аг=а„Ая= азч ая, Ап= азч а,+а„) (3) А„=атч аяч-...->а„, ...; их называют частными суммами (или отрезками) ряда. Эту последовательность частичных сумм (А„) мьг всегда будем сопоставлять с рядом (2): роль этого символа и заключается в порождении упомянутой последовательности.
Конечньпь ьми бесконсчнь1й предел А частичной султлзы А„ряда (2) нри и А=1'ппА„ называют суммой ряда и пишут А = ат -ь а +... + а„ч ... = ~ а„, п=1 17 Г. М. Чппттпптпппп, т. П и Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с пуля пли же с какого-либо натурального числа, большего едипяцы. 258 ГЛ. Хг. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСГОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 13бз придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т.
е. если сумма равна х -, либо же гуммв1 волге нет) — р а с х о д я и) и м с я"'. Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2), по оп р еде лен ию, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). Обратно, какую бы варианту х=х„(л=!, 2, 3„...) наперед ни взять, вопрос о наличии длл нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходнмости ряда (4) Хт-'г(Х — Хг)+(ХЗ вЂ” Хт)+...
+ (Хп — Хп 1).~- .. для которого частичными суммами как раз и будут последовательные значения варианты: х„х„ха,..., хп,... При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты. Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто н о в а я ф о р м а изучения варианты (или последовательности) и ее предела. Но эта форма, как читатель увидит из дальнейшего изложения, представляет неоценимые преимущества как прн установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
363. Примеры. 1) Простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая читателю геометрическая прогрессия: в~. вв 1 вам Ч .~. аеп-~ Ч Ее частичная сумма будет (если Е и!) вп гп = ! — ц Если знаменатель прогрессии, е, по абсолютной величине меньше единипы, то ]как мы уже знаем, 23, 7)] еп имеет конечный предел т. е. Еаш ряд сходится, и х будет его суммой. При ]е]~! та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если у 1, то его суммой будет бесконечность ]определенного знака), в прочих случалх суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при а=1 и Об этом уже была речь в первом томе [23, Ч)].
збз] ВВЕДЕНИЕ и д= — 1: 1 — 1+1 — 1; ...Ее19[ — 1)-!.1+! — 1) —,'-., Его частичные суммы попеременно равны то 1, то О. 2) Вещественное число и„разложенное в бесконечную десятичную дробь С«, сссз... с« ]9], очевидно, представляет собой сумму ряда: с, сз св с« РО 10г )ОЯ 1О« 3) По обра !ну ]4) построен ряд 1 ! ~~ !и ~1-Ь вЂ” )м ~ 1!е !«";1) — !ил], « г л «=г явно расходящийся, нбо )п(л-Е1)-+ 4) На той же ипее построены следующие ряды (где а обозначает произвольное число, отличное от — 1, -2, -3, . ): 1 -)1 1 1 ! «=! 1а '-л)(и лт1) „-..г)иЧ.п а «и ' 1! ял 1 1 «=-! (и-гп)(и«-л.)-1)(иЧ-В-«2) 1 ~ ! 1 мЛ-1 «=22 Ца, и)!и+и+1) (иЧ л ! 1)(и-, 'и+2П 2(и )1)(к '-2) и, вообще, при любом целом р-1: „=т(а+л)!ийяя1) ...
° !и — '«лр) 'р!и — '!) ° ... ° !тор) Л 5) Аналогично трактуется ряд где х есть любое фиксированное число, отличное от т 1. Так как я-я частичная сумма равна 1 1 ! — т ! -хз" т 1 го при ]х! 1 ряд сходится к сумме, а при ]х! 1 — к сумме 1 — х 1 — х «Если какой. либо член а ряда оказывается отрицательным числом: а =- — Ь !где Ь- 0), то вместо того, чтобы писать: ..+(-Ь)Ч ..., пишуж ... — Ь+.. Подчеркнем, что ч л с н о м ряда здесь будет все же — Ь, а не Ь. 2ЕО гл. х!.
БескОнечные Ряды с ИОстОяниыь!и членАми 13бе б) Легко установить расхолимость ряда 1 1 1 1 Л вЂ” = 1+ — + — 1- ° ° ° — + ° ° ,=! )гл )2 Г'3 В самом деле, так как члены его убывают, то его л-я частичная сумма 1 1 1 1-~- — е... -! — л ° — = ) л )2 и растет до бесконечности вместе с л. 7) Наконец, менее тривиальный пример нам достаниг уже известное 137) разложение числа е: 1 1 1 е--1-ь — ь — -1-...-!- — !-...
=1е 2„ 1! 21 л! л=гл1 Вспоминая приближенное вычисление числа е в 37, читатель на этом примере сможет оценить выгоду последопательного введения все менее и менее значительных поправок, постепенно улучшающих получаемые в лице частичных сумм приближенные значения е. Зб4. Основные теоремы. Если в ряде (2) отбросить первые т членов, то получится ряд а ьз+а ьзе . -,а„ьг+...= ~ ал, (5) называемьш остатком ряда (2) после гп-го члена. 1'.
Если сходится ряд (2), то сходится и любой из его остатков (5); обратно, из сходииости остатка (5) вытекает сходимогть исходного ряда (2). Фиксируем и! и обозначим й-ю частичную сумму ряда (5) через А,': А,=а„„!.! а,„+а.~- .. Ра ь,„ Тогда, очевидно, А!=Аль! — Ам. () Если ряд (2) сходится, так что А„А, то — при безграничном возра- стании )г — существует конечный предел (7) А'=А -А„, и для суммы А,', что и означает сходнмость ряда (5).
Обратно, если дано, гго сходится ряд (5), так что А,',-А', то перепишем равенство (б), полагая в исм )с=-и-т (при а. т), так: '1л Ат '1л- 261 3641 введеииг отсюда можно усмотреть, что — при безграничном возрастании и— частичная сумма Ав имеет предел (8) А =А,„А', т. с. сходится ряд (2). Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или расходимостн). Сумму ряда (5), если он сходится, обозначим вместо А' символом а, указывая значком, после какого члена берется остаток.
Тогда формулы (8) и (7) перепишутся следующим образом: (9) А=А .~-и„, им =А- Аы Если увеличивать пг до бесконечности, то А А, а и О. Итак: 2'. Если ряд (2) сходится, то сумма и его остатка после т-го члена с возрастанием т стремится к нулю. Ъ'помянем следующие простые свойства сходящихся рядов: 3'. Если члены сходящегося ряда (2) умножить на один и тот же лтожитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножшпся на с). В самом деле, частичная сумма А„ряда са, ь сав†; ...
+ са„, очевидно, равна А„=са„-.сае- ... са,=с(а, -а,- ., ва,)=сА, и имеет пределом сА. 4'. Два сходящихся ряда А=а, — аг ... +а~в- В=ь -~ь ~ ...;Ь„.4.... лтжно почленно складывать (или вычипиипь), так чпю ряд (а„-ь. Ь,) (аг х Ь,) —, ... ' (а„+Ь,) "- ... также сходится, и его сумма равна, соответопвенно, А-'В. Если А„, В„и С„означают частичные суммы упомянутых рядов, то, очевидно, С,=-(а,~Ь,)-.'.(а -ьдг)~- ... - (а„хЬ,)= = (а„ь а е .., - а„) ь (Ь, -ь Ь -~...
-- Ь„) = А„+ В„. ! Я. Х!. ЬЕСКОНЕ 1НЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ 1365 262 Переходя к пределу, найдем, что 11п1 е;,=.!Нп А„~11ш В„, что и доказывает наше утверждение. В заключение сделаем еще одно замечание. 5'. Общий член а„сходящегося ряда стремится к нулю. Это может быть доказано совершенно элементарно: раз А„(а с ним н А,,) имеет конечный предел А, то а„=А„— А„, О. В предыдущем утверждении содержится н е о б х о д и м о е условие для сходнмости ряда, которым мы будем часто пользоваться. П р и нарушении его ряд заведомо расходится. Однако важно подчсркнуть, что это условие не является само по себе д о с т ато чным для сходнмосгн ряда.
Иными словами, даже при выполнении его ряд может расходиться, Примерами этого служат ряды ~ 1п (1",--) и рассмотренные вьш1е [363, 3) и б)); многочисленные другие примеры этого же рода читатель найдет в последующем. й 2. Сходимость положительных рядов 365. Условне сходимости положительного ряда. Займемся теперь вопросом об установлении сходимости или расходимости ряда. Этот вопрос всего проще решается для рядов, члены которых неотрнцательны; для краткости такие ряды мы будем называть просто п о л аж н т е л ь н ы м н. Пусть ряд ~ а„=а, ! ае-Г... "а„! п=! (А) будет положительным, т.
е. а„=-О (н= 1, 2, 3, ...). Тогда, очевидно, А,е! =А„-. а„е1-А„, т. е. вариантаА„оказывается возрастающей. Вспоминаятеорему о пределе монотонной варианты [34), мы непосредственно приходим к следующему основному в теории положительных рядов предложению: Положителыгый ряд (А) всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, !ледовательно, ряд — сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд — расходящимся) в нро- тивнолГ сл>чае. Все признаки сходнмостн (и расходимостн) положительных рядов в конечном счете, основаны на этой простой теореме, Но непо- 3651 263 Ф 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ средстве нное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
