Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(9) сс Из этого общего выражения для работы () а силы Г ясно, что при (Г, э) = — работа абрис. 42. 2 рашается в нуль; действительно, при этом соэ(Г, з)=0, так что подинтегральная функпня оказывается нулем. Таким образом, сила, перпендикулярная к направлению перемещения, механической работы не проюводит. Если действующую на точку силу Г разложить (по правилу параллелограмма) на дае составляющие — по касательной к пути, т. е. по направлению перемещения, и ло нормали к нему, то, согласно сказанному, работу будет произнодить лишь касательная составляющая Гэ = Г сох (Г; с): (9а) Положим теперь, что Г есть равнодействующая всех приложенных к точке сил; тогда, по закону движения Н ь ю т о н а, касательная состанляющая Гс равна произведению массы т точки на ее ускорение а, и выражение для работы А можно написать в виде А = ~ тасЬ.
Вспомним теперь, что сй сЬ а- — и о= —, так что сй с(с Пусть путь э, проходимый точкой, будет независимой переменной: при этом предположим, что начальному положению А нашей точки М соответствует значение э км а конечному  — значение г В (рис. 42). Каждому значению з в промежутке (зе, 5) отвечает определенное положение дюпкущейся точки, а также определенные значения величин Г и соа(Г, з), которые„таким образом, можно рассматривать как фуикпии от е Взяв точку М в каком-иибудь ее положении, определяемом значением г пути, найдем теперь приближенное выражение для элемента работм, соответствующего приращению «Ь пути, от а до э+сЬ, прн котором точка М перейдет в близкое положение М' (см. рисунок).
В положении М иа точку действует определенная сила Г под определенным углом (Г, «); так как изменение этих величин прн переходе точки нз М в М' — при малом сй — также мало, пренебрежем этим изменением и, считая величину силы Г и угол (Г, к) прнблюкеино постоянными, найдем для элемента работы на перемещении сй выражение 334! ; 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН н гаком случае йо (1 ! 1 'з ! 1 Л = ~ гн« вЂ” — «(в=- ! «(~ — то'~=- — то'! = — т(㫠— — тгв, где через о«и !' обозначены величины скорости, соответственно, в конечной и начальной точках пути. 1 Какизвестно,— то'есть живая сила или кинетическая энергия 2 точхн; таким образом, мы пришли к важному предложению: механическая работа А, произведенная силой, под действием которой происходило движег«ие точки, равна приращению кинетической энергии точки.
(Разумеется, работа А и приращение кинетической энергии могут одновременно оказаться и отрицательными). Этот принцип, который можно распространить и иа системы материальных точек, и на сплошные тела, играет в механике и физике очень важную роль. Его называют «законом живой сю«ы«. 354. Примеры. !) Применим в ви- Рис. 43. де примера формулу (9) к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укрепленным одним концом (рис. 43); с этим приходится иметь дело, например, при расчете буферов у железнодорожных вагонов. Известно, что растюкение в пружины (если только пружина не перегружена) создает натяжение р, по величине пропорциональное растяжению, так что р= се, где с — некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины («жесткость« пружины). Сила, растягившощая пружину, должна преодолевать это натяжение.
Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это затрачивается, тоееработапривозрастаннирастяжения от О до Я выразится так: в' з с,Р Л= ~рйв=с ~в«(в=с- 2 о 2 о о Обозначив через Р наибольшую величину натяжения (или преодолевающей ее силы), соответствующую растяжению о пружины (и равную сб), мы можем представить выражение дпя работы и виде 1 А = — РБ. 2 Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила Р (например, подвешен груз), то на перемещении 5 ею была бы произведена вдвое ббльшая работа РБ.
Как видим, лишь половина ее затрачивается на растяжение пружины; другая половина пойдет иа сообщение пружине с грузом кинетической энергии. 2) Пусть некоторое количество газа (пара) содержится в цилицяре (рис. 44) по одну сторону поршня, и предположим, что газ этот расширился и передвинул поршень направо. Поставим себе задачей определить работу, произведенную при этом газом. Если начальное и конечное расстояния поршня от левого дна цилиндра обозначить через в, н в«, давление (на единицу плошади поршня)— )Зба ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ через р, а площадь поршня — через )'з, то вся сила, действующая на поршень, будет Р(), и работа, как мы знаем, выразится интегралом .1=0 ! Рг)5. Обозначая через У объем рассматриваемой массы газа, очевидно, будем иметь У=Д».
Нетрудно теперь перейти от переменной 5 к новой переменной 1; мы получим к Л= !Р!)У, (10) где 1; и Уе означают начальное л конечйое зйачення объема У. Если бы нам известно было Рис. 44. давление р как функция от объема 1; то э!им определялась бы работа Л. Предположим сначала, что при расширении газа температура его остаегся постоянной, так что необходимая для его расширения энергия в виде тепла притекает извне; в этом случае процесс называют из отер мическим. Считая газ гидсальнымэ, по закону Бо йл я — Мариотта будем иметь: РУ= с=соим, с так что р = —, и для работы получаем значение 1' гс Л= ~" — )У=с)п ~ '=с)о —. т, У, Если обозначить через Р, и Ре давления в начале и в конце процесса, то Р, 1', = Р, У) Р! и —" = †. Поэтому работу расширения, связанного с переходом от давления Р, к давлению Р! Р„можно представить в виде Л = с1пв Р! Р! Наконец, вместо с в этн формулы можно подставить произведение Р, У,.
Часто бывает, однако, естественнее предположить, что во время расширения ие происходит теплового обмена между газом и окружающей средой, и на производство работы затрачивается энергия самого газа, температура которого при этом понижается; такой процесс называется адиабатическим. В этом случае зависимость между давлением р н объемом 1' рассматриваемой массы газа имеет вид Р Ук с сола! [эта зависимость будет выведена ниже, Зб1, 3)), где )г есть характерная для каждого газа (пара) постоянная, всегда ббльшая единицы. Отсюда р = 51' к и 3551 1 3.
ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Этот результат можно представить в более удобной форме, если всломнитзь что с Р, "=- р„с(', "= р,; подставляя, придем к следующему выражению для работы." Рг(гг — Рд'х й= й-1 Мы лишь для простоты рассуждения и наглядности предположили расширяющийся газ заключенным в пилиндр. Основная формула (10), равно как и полученные нз нее частные формулы, сохраняют силу независимо от формы, которую имеет в каждый данный момент рассматриваемая масса газа. Разумеется, те же формулы выражают н работу сжатия газа от объема 1', до объема 1; уа (сопровождаемого повьппением давления от р, до р, р,), т. е.
работу внешней силы, заставляющей газ сжиматься; работа самого газа в этом случае отрицагельна! 355. Работа силы трения в плоской пяте. П я т о й вообще называют опорную часть вертикального вращающегося вала; неподвижная опора, в которой вращается пята, называется п о д и я т н и к о м.
В настоящем и' мы рассмотрим вопрос о мощности, затрачиваемой на преодоление трения в пятах, ограничиваясь простейшим случаем — п л о с к ой п я ты. Плоская пята представляет собой цилиндрическое тело, которое на подпятник опирается своим плоским основанием (рис. 45). Это основание имеет, вообще, форму кругового кольца, с внешним радиусом Я и внутренним радиусом гр( в частном случае, при г,=-О, мы получаем сплошное круговое основание.
Обозначим через Р полное давление, передаваемое пятой, через го (11сек.)— угловую скорость вращения вала, через р — коэффициент трения, наконец, через р — давление на единицу площади ияты в рассматриваемой ее точке. Не касаясь пока вопроса о раси р е де лен и и давления, отметим лишь одно очевидное обстоятельство: точки пяты, равноудаленные от ее центра О, находятся в одинаковых условиях, и в них давление должно бьжь одинаково. Таким образом, р вообще можно считать фушщией от радиуса-вектора г. Нике будут указаны допущения„которые обычно делаются относительно этой функции: по одному условию она должна удовлетворять во всяком случае, именно полное давление на пяту должно уравновешиваться давлением Р со стороны вала, Для того чтобы вычислить зто полное давление, прибегнем снова к методу суммирования бесконечно малых элементов по схеме и' 348, причем за независимую переменную примем радиус г, изменяющийся от г, до Й.
Разбииая этот промежуток на части, мы в то же время можем разложить все кольцо на элементарные концентрические колъца, так что все давление Р сложится из элементарных давлений, соответствующих отделъным кольцам. Рассмотрим теперь кольцо, ограниченное окружностями радиусов г и г+ г(г (на рис. 45, б оно заштриховано). Плошадь этого кольца есть л(г+бгР— лг'=2лг бг+л(г(г)*; отбрасыная бесконечно малую второго порядка л(бг)', можно принять эту площадь приближенно равной 2лг г(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
