Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Имеем 1 г Р.= — ~ [асоея г.заяп! геок гч загон!к!и г аяпз!]лг= 2" о 3. 3 г, 3 Г з]п4г)д 3 = — а! япз !соса ггл — а' г — ' = — лак 2 16 ~ 4 )~о 8 о ]' =хнр (Х) и [Уо =ту(Г) совпадают, то их общее значение И назьгвается абь ел! ам тела ([г). В этом случае тело ([г) иногда называет куб яру ел! ьслг. * Мы нмеем в виду непрерывную поверхность, допускающую параметрическое предста алена е.
340. Определение понятия объема. Его свойства. Наподобие того, как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было установлено понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем многогранника. Итак, пусть дано произвольной формы тело (И), т. е. ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей (5) тела пусть служит замкнутая поверхность* (или несколько таких поверхностей).
Мы будем рассматривать многогранники (Х) объема Х, целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники (У) объема г', содержащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница ]ге для Х и точная нижняя граница И* для У, причем [г ак]га; их можно было бы назвать, соответственно, внутренним и внешним объемами тела. Если обе грамм!(ьг оз злв1 , овощ«ли и оьъвиы И здесь легко видеть, что для существования ооьема пеобходалю и достаточно, чтобы для любого е.=О нашлись п|акие два л«ногогракника (Х) и (У), для которых У-Х е. Далее: Если тело (У) разложено на два тела (Кз) и (Яз), то из существования обьемп для двух из этих трех тел вып«екает существование обьема для третьего. При этом т.
е. и объем обладает свойством аддитивности. Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2), 3), которые в 336 были доказаны для плошадей. 1) Для«того чтобы тело (У) ииело обьем, необходимо и достаточно, чьпобы гуществовалн такие две последовательности, соответственно, входящих и выходящих многогранников ((Х„)) и ((Уп)), обьемы которых имели бы общий предел Этот прсдел и будет о б ъ е м о м тела (Г). Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогранников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы. 2) Если для тела (К) можно построить такие две последовательности, соответственно, входящих и выходящих тел ((Т„)) и ((О„)), которые ииеют обьемь«, причем зти обьемы стремятся к общему пределу !пп Т„= 11ш У„= К, то и тело (У) имеет обьем, равный упомянутому пределу.
В заключение упомянем о возможности выбирать многогранники, приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандартным«образом. Заключив тело внутрь некоторого прямоугольного параллелепипеда (1Р) с гранями, параллельными координатным плоскостям, разобьем его на части с помощью ряда плоскостей, параллельных его граням. Из частичных параллелепипедов, входяпн«х в (Г), составим тело (Х), а присоединив к ним и частично выходящие из (У) параллелепипеды, получим тело У.
Эти тела представляют частные случаи тех многогранников (Х) и (У), о которых была речь выше. Будем обозначать через а' наибольшую из диагоналей тех прямоугольных параллелепипедов, на которые был разложен параллелепипед (1Р). 3) Если при и' О оба обьема Х и У стремятся к общему пределу У и только в этом случае тело (У) будет иметь обьем; при выполнении этого условия упомянутый предел и выразит объем тела ()г).
Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем читдтелю; их легко скопировать с рассуждений п' ЗЗб. 205 5421 а плОщАди и ОБъемы окружить точку (и, о) на плоскости ио такой окрестностью а = (и — д, и ~- д; о - д, о + д), чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области ф) и к покрывающей ее системе окрестностей А;"=(о) лемму Б о р е ля 117Я, чтобы установить возможность разложения рассматриваемой гладкой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением одного из трех типов.
Отсюда — по предыдущему — следует, что гладкая поверхность имеет о бьем О. Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями, заведомо имеет обьем. Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверхности конечного числа о с о б ы х точек, которые могут быть выделены окрестностями с произвольно малым объемом. 342. Выражение объема интегралом.
Начнем с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит к Бадр ируемая плоская фигура (Р), имеет обьем, равный произведеншо площади основания на высоту: У=РН. Рис. 26. Возьмем 133б, 1)] многоугольники (А„) и (В„), соответственно содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы нх площади А„и В„стремились к Р. Если на этих многоугольниках постронть прямые призмы (Х„) и (У„) высоты Н, то их объемы н У„=В„Н Х„=А„Н будут стремиться к общему пределу $'=РН, который в силу 1) и' 340 и будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (Р), содержащееся между плоскостями х = и и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями, 3431 а плОщАди и Оьъвмы окружить точку (и, о) на плоскости ио такой окрестностью о = (и — д, и ~- д; о - д, о + д), чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области (2А) и к покрывающей ее системе окрестностей ~ = (о) лемму Б о р е л я ~17Я, чтобы установить возможность разложения рассматриваемой гладкой поверхности на конечное число частей, каждая нз которых выражается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда — по предыдущему — следует, что гладкая поверхность имеет о бьем О. Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями, заведомо имеет обьем. Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверхности конечного числа о с о б ы х точек, которые могут быть выделены окрестностями с произвольно малым объемом.
342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного замечания: прямой иилиндр высоты Н, основанием которого служит к в а д р и р у е м а я плоская фигура (Р), имеет обьем, равный произведеншо площади основания на высоту: 12= РН. Возьмем 133б, 1)] многоугольники (А„) и (В„), соответственно содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы нх площади А„и В„стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы (Х„) и (У„) высоты Н, то их объемы и У„=В„Н Х„=А„Н будут стремиться к общему пределу У=РН, который в силу 1) и' 340 и будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (~'), содержащееся между плоскостями х = и и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями, 206 гл, х НРиложения интГГРАльного Исчисления 1342 перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти сечения к в а- црируе, и пусть площадь сечения, отвечающего абсцнссе х, — обозначим ее через Р(х) — будет непрерывной функпней от х (для а~х Ь). Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то онн могут либо содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо частично одно на другое налегать или лежать олно вне другого (см, рнс. 27, б, в). О 1 ! 1 / (б7 (б/ Ряс. 27. Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к осн х, оказываются всегда содержащимися одно в друг ом.
В этом предположении можно утверждать, что тело (1') имеет объем, который выражается формулой (15) Для доказательства разобьем отрезок (а, Ь) на осн х точками а=х х .... х; х+ ... -х =Ь на части и разложим плоскостями х =х„проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим 1-й слой, содержащийся между плоскостями х=х; и х=х+, (1=0,1,...,л — 1). В промежутке [хн х;+2) функция Р(х) имеет наибольшее значение Мс н наименьшее значение ги;; если сечения, отвечающие различным значениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, х=х;, то все они (при сделанном предположении) будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь Мн и содержать в себе наименьшее, с площадью т;.
Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты Ах,.=х;~,-хн то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании за21 а плОщАДи и Оньемы сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут, соот- ветственно, Мибх, и т;Ахп Из входящих цилиндров составится тело (Т), а из выходящих— тело (У); их объемы равны, соответственно, У ~т,4х; ~М,х)х, и, когда стремится к нулю 2 = шах т)хы имеют общий предел (15). В силу 340, 2) таков а л х же будет и объем тела (Г)и.
Важный частный случай, ю когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют т ел а в р а щ е н и я. Вообразим на А плоскости ху кривую, заданную уравнением у=Ях) (а~ -хжр), где Лх) непрерывна н неотрицательна; станем вращать ограниченную ею криволинейную трапецию вокруг оси Рис. 28. х (рис. 28, а и б). Полученное тело (Р'), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси х плоскость в виде концентрических кругов.
Здесь Р(х) ь жуа =л(7(х))а, так что к е К=и ~ ух ~Ух а ж ) (7(х)]а ~Ух. (16) Если криволинейная трапеция ограничена и снизу н сверху кривыми ут=,уг(х) и уа=Ях), то, очевидно, 7 --~~ (га-.;! ~7хьж ~ ЦУ;,(х))а-К(.г))-),7х, (17) и ' Деля, например, промежуток на равные части, легко выделить те и о с л елоо в а те л ь н о с ти входящих н выходящих тел, о которых говорится в нитироваииом предложении. хотя предположение о сечениях здесь может и нс выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, 208 ГЛ. Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
