Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В аамом деле, имеем 5 5 откуда 2плв=2л~ усь; о 95=~у Ь, о Му= ~ «ив=О, откуда и; =-О. но правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, полученной от вращения кривой АВ [см. 344, 2О)[, в левой же части равенства 2лл обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси х, а В есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме Г у л ь д и и о (Р.
Сзп!д[л): Величине поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, ултоженной но длину окруж«ости, оп«сонной иентром тяжести С кривой (рис. 38) Р= 5 2лгй Эта теорема позволяет уатановить координату Ч центра тяжеатн кривой, если известны ее длина Я и плошадь Р описанной ею поверхности вращения. х' у' Зт). Прнчеры. 1) Найти статический момент обвода эллипса — + — = 1 относительно оси х [предполагая а Ь). а Ьв Для верхнего [или нижыего) полуэллипса этот момеыт только отсутатвием множителя 2л отличается оз. величины соответствующей поверхности врал:ения. Потому [см. 345, 7)1 о М«=2Ь~ЬЬ-а гп ). е 2) Если рассматриваемая дуга с и м м е т р и ч н а относительно некоторой прямой, то цеытр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой. Для доказательства примем ось симметрии за ась у, а точку ее пересечения с кривой — за начальную точку для отсчета дуг.
Тогда функция х= Ф[в) окажется н е ч е т н о й функцией ат 5 И, ЕСЛИ На Этот Раз длину всей кривой обозначить через 25, будем иметь [см. 314, 9)[ 5 230 (л. х. пРилОжения инты'РАльнОГО исчисления 1351 3) Пользуясь теоремой Г у л ь д и н а, определить положение центра тяжести дуги АВ (рис. 39) круга радиуса г. Так как эта дуга симметрична относительно радиуса ОМ, проходящего через ее середину М, то ее центр тяжести О лежит на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние Л от центра О. Выбираем оси, как указано на рисунке, и обозначим длину дуги АВ через г, а ее хорды АВ (=А'В') — через А.
От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаровой пояс, площадь поверхности Р которого, как мы знаем 945. 1)), равна 2лгА. По теореме Гу льдина та же поверхность равна 2лг(г, так что гг( и г зч= ГА В частности, для и о л у- ° окружности А=2г, г=лг и 2 з)= — г ' 0,637г. 4) Определить центр тяжести ветви цикл аиды 5' 0 Рис. 39. х=а(г-пп!), у=а(1-соя !) (о г=л ) Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что 5-ла. Учитывая же 4 результаты примера 4) и' 345, легко получить затем з) — а. 3 5) В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Г у л ь д и и а можно воспользоваться для определения площади поверхности г Рис. 40.
351. Нахождепне статических моментов и центра тюкести плоской фигуры. Рассмотрим плоскую фигуру АА'В'В (рис. 41), ограниченную сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением у=Дх). Предпалоязм, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что иове р хи о ст лая п по тность их р (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без существенного умаления общности можно тогда принять, что р = 1, т. е., что м а с с а вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (т о р а), т. е.
тела, образованного вращением крута около оси, не пересекающей его (рис. 40). Так как очевидно, что центр тяжести окружности совпадает с ее центром, то (при обозначениях рисунка) имеем Р=2гг 2чА=4л'Ы. 251 35Ц а 3. Вычисление мехАнических Величин Риа. 41. центре тижести (т, е. в центре прямоугольника), что, как изнестно, не изл1еняет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси 1 ! х на расстоянии — у, от оси у — на расстоянии ~хЧ вЂ” г(х); последнее иыражеиие 2 г 1 можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина — г(х, умноженнаи 2 на массу у Вх, дала бы бесконечно малую высшего порядка.
Итак, имеем 1 ВМХ = у ~(т, 2 ВМу = ху Вх. Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам 1 Г Мх= — ~ узйх, Му= ~ худх, О а причем под у разумеется, конечно, функция у(х), фигурирующая в уравнении кривой АВ. Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассмаз.риваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты а, 11 центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить плошадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести Ь 1 Г Г 2" е любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумеваетая, если говорят просто о статичеаких моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры. Желаи определить статические моменты М„, Мз, этой фигуры относительно оаей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент вашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см.
рисунок). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольних, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и плошадь) будет уг(х. Для определения соответствующих элементарных моментов г(М„, г(Му предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее 232 ГЛ. Х.
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (352 откуда М» 1 Г уь ь(» Р 2Р а Му 1Г 4= — = — ~1 хуь(х, Р И а (8) И в данном случае мы получаем ваягное геометрическое следствие из формулы для ординаты г) центра тяжести, В самом деле, из этой формулы имеем ь 2лг)Р=Л ~ узах. а Заметим, что формулы (7), (8) распространяются на случай фигуры, ограияченной кривыми и снизу н евер»у (рнс. 19). Например, для этого случая ь ь 1 Г М»=-~1 (Уьь-Уь)дх, М = ~ х(У,-У,) д~; 2" а а (7а) отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (8).
Если вспомнить форыулу (8) и* 338, то легко усмотреть, что теорема Г у л ь д и н а справедлива также и для этого случая. 352. Примерм. 1) Найти статические моменты М„, Му и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной и а р а б о л о й у'=2рх, осью х и ордииатой, соответствующей абсцнссе х. Так как у= 1'2рх, то по формулам (7) 1 Г 1 М„= — 2р~ х Ых= — рх', 2 г 2 е .
г ь 2)г2р— М = )г2р~ хьдх= — хь . 5 о С другой стороны, площадь (338, (7)] г г 21'2р Р= )(2р~ хьдх= — хь . 3 о В таком случае по формулам (8) 3 3 3 с=-х, ь)=- '1'2рх= — у. 5 ' 8 8 Правая часть этого равенства выражает объем Н тела, полученного от вращения плоской фигуры АА'В'В около оси х [342 (16)), левая же часть выражает произведение плошади этой фигуры Р на 2лг) — длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гуль дина: Обьем мела еранзенин плоской фигуры около не пересекамигей ее оси раасн произееденщо площади эшой фигуры но длину о»дул»лососи, описанной иентролг тллеесщи Фигуры: И=Р 2ль).
3531 231 1 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛЗ!ЧИН Пользуясь значениями 4 и Ч, легко найти — по пиреме Гуль дина объем тела вращения рассматриваемой фигуры нокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться иа последнем случае, так как 2 расстояние центра тяжести от оси вращения есть — х, то искомый объем будет 5 8 И= —.тх'у. 15 х' у' 2) Найти центр тяжести первого квадранта э лл и пса — Ф вЂ” - 1, воспользовавшись результатами 339, 2) и 343, 2). а' Ь' 4а 4Ь По теореме Г ульд и на 4= —, л= —.
Зл Зл 3) Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси. Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми у, =.Ут(х) и у, = Рт(х). Если взять ось симметрии за ось у, то обе функции у, и у, окажутся ч е т и ы ми; промежуток же изменения х в этом случае будет иметь вид [ — а, а[. Тогда, по второй из формул (7а) [см. 314, 9Я Му=- ~х(ут-ут) т(х=О, вместе с чем и 8=0, 4) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды х= =-а(г — ыл с), у= а(1 — сок т) и осью х. Воспользовавшись 339, 9) и 343, 4), по теореме Гу н ь д и н а легко устано- 5 внггс т)= — а. По симметрии 5=па.
б 5) То же для фигуры, ограниченной двумя и арабо л а м и уз =2рх их'=-2ру (см. рис. 24). Вспоминая пример 5), 339, по формуле (7а) находим б ,т х) 5 9 [т2рх — — ~ т1х= .. — = — р. 2р! 4 1О рт 3 1 г т)=1= — 11 Х Р" е 353. Механическая работа. Из элементарной механики читателю известно, что если сила, приложенная к двужушейся точке М, сохраняет постоянную величину Г и постоянный угол с направлением перемещения точки, то работа А этой силы на перемещении з точки выразится произведением Г сох(Г, з) з, где (Г, з) обозначает угол между направлениями силы и перемещения точки.
Произведение Г,= Глох(Г, з), очевидно, представляет собой проекцию силът Г иа перемещение з; вводя эту проекцию, можно выражение для работы представить в виде А = Газ. Если направление силы совпадает с направлением перемещения точки, то А = Гз; в случае же, когда оба направления прямо противоположны, А= — Гз. Вообще говоря, однако, и величина силы Г и угол (Г, г) ее с направлением перемещения могут не оставаться постоянными. При непрерывном изменении хоть одной из этих величин для выражения величины работы приходится прибегнуть снова к определенному интегралу.
6) Подобно первой теореме Г у л ь д и н а [ср. 359, 5)) и вторая теорема также может быть использована в том случае, когда положение центра тяжести ясно, для определения объема соответствующего тена вращения. Например, для т о р а (рис. 40) получается объем )г=2лтгтА 234 ГЛ, Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (353 асА Г (Гз . так что вся работа А представится инте- гралом А= ~ Гсох(Г, с) сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
