Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 33
Текст из файла (страница 33)
«х;«х;+,«... х=Ь. Обозначив через ш! и Мо соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции Ях) в ~'-ом промежутке ]хо х! ы] (1=-О, 1,..., и-1), составим суммы (Д а р б у) у= ~;гп,Ахм Я=~АХ;Лхо ! Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников (см.
рисунок). По- этому в х Рис. !8. Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Лх, обе суммы е имеют своим пределом интеграл ~)"(х) г1хе, следовательно, ему и равна искомая площадь ь е Р = ] у Их = ] Лх) Их. а н (7) Если криволинейная трапеция СХ>ГЕ ограничена и снизу и сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых уг= Ях) и уз=Як) (ажх~Ь), то, рассматривая ее как разность двух фигур АВРВ и АВРС, получим площадь названной трапеции в виде е е Р=~(уя-уд)г(х= ] (Ях) — Ях)]Ых. а а (8) 1З Г. М. Фнх ннгонмн т.
1! * В силу 336, 1) зто само по себе доказывает каадрируемость криволииейиой трапеции Аист!; чтобы получить упоминавшиеся там п о с лед о в а т ел ь и ости фигур„можио было бы, например, делить промежуток иа равные части, 194 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1338 проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции я[0) в [Вм 0;+,); в а Рнс. 20. Рнс.
19. д, н М;, то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры АОВ. Со- ставим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут Л 2 еы М АВ =-, ~ ~~ИВ 1 и, очевидно, о .Р В этих суммах и и ~ легко узнать суммы Дар 6 у для интел 1 Г трала — [ [я(0))е еГО; при стремлении к нулю наибольшей из разностей 2.[ АО; обе они имеют пределом этот интеграл*, так что и р 1 ~ анлВ [ [ [0))е ГО [9) ч Здесь можно было бы сделать замечание, ачалогнчное аамечааню на стр. 193, но со ссылкой на 336, 2).
Пусть теперь дан с е к т о р АОВ (рис. 20), ограниченный кривой АВ и двумя радиусами-векторами ОА и ОВ [каждый из которых может свестись и к точке). При этом кривая АВ задается полярным уравнением Г=В[0), где 0[0) — положительная непрерывная в промежутке [И,Л функция. И здесь вопрос стоит лишь о вычи ел енин площади Р сектора, так как существование площади обусловлено свойствами контура фигуры. Вставив между и и Р (см. рисунок) значения се=Во В, В, ... О, ВГы Ол=[), 195 3391 1 З.
ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 339. Примеры. 1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной х линией у=а сй —, осью х и двумя орлинатами, отвечающими абсциссам а О и х (рис. 9). Имеем У х х Р= ] а сц — г(х=а'а)з — =ал а а о где э — длина дуги АМ цепной линии (331, 1)]. Таким образом, искомая плошадь АОРМ оказалась равной площади прямоугольника, построенного на отрезках РБ н ЯМ (ибо КМ=-АМ). Рис. 21, т2 га 2) Даны эллипс — + — =1 и ае Ьч точка М(х, у) иа нем (рпс.
21). Определить плопзадь криволинейной трапеции ВОКМ н сектора ОМВ. Ь Из уравнения эллипса имеем у = — ](аз — х-", так что по формуле (7) а ]" Ь ... аЬ х Ь аЬ, х ху Р, — пл. ВОКМ = — ]та' —.т1 Кх = — агсз(п — + — х ]~а' — т' — агсз]п — + — . а 2 а 2а 2 а 2 о Так как последнее слагаемое представляет плошадь ц ОКМ, то, отнимая ее, для плошади сектора получим выражение аЬ х Ре - пл. ОМП вЂ” — агсз1п — .
2 а ;таЬ При х = а для площади четверти эллипса иайделз значение —, так что площадь всего эллипса Р =пав. Для круга а.= Ь =. г и получается известная формула Р=лгй х' у* 3) Пусть даны гипербола — — — =-1 и на ней точка М(х, 1) (Рис. 22). а' Ь' Определить плошадь криволянейных фигур АКМ, ОАМ и ОАМЬ.
Ь Из уравнения гиперболы имеем у-- — ]Гхе-аэ, я — по формуле (7) а Р, =пл. АКМ= — ~ ]/х'-а' Кх= — ~ — х]гхТРУай — — 1п (х )хз — а) ~ ~ а и 2 2 1 аЬ тч ](хч- аз — хе — — 1и а !3 196 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ЗЗ9 (х у) Р, — ху — -аЫп~ — + — ). г 1(а Ь! ' Отсюда уже легко получить аЬ (х у~ Рг=пл. ОАМ= — 1п)-Ч--), 2 (а Ь) 1 1 (х у) Рз= ил. ОАМЕ=- — ху+ — аь 1п ~ — + — ~ . г г (а ь~ 3 а м е ч а н и е . Полученный результат позволит иам несколько углубить аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими / / / / / / / !'ис. 22. функциямн.
Сопоставим к ру г радиуса 1: хк~ул=1 и ра виобочную г ил ерб ол у: лл — у'=1 (рис. 23, а и 6). Эти кривые параметрически могут быль представлены так: для круга: РМ=-у=з(п /, длл гилербалы/ ОР х = с)з с, ОР = х = соз / Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль г — зто ~АОМ, для гиперболы так истолковать числовой параметр / невозможно. Можно, однако, для круга дать н другое истолкование параметра г, именно: г есть удв осинаяя площадь сектора АОМ(или площадь сектора М'ОМ). Оказывается, что э т о истолкование переносится и на случай гиперболы. В самом деле, если координаты точки М суть г/ 1.е-/ х= сй/= 2 е/-е / у=з)зг= 2 то х+у=е/ н /=1и (х+у). Если вспомнить найденную выше для Р, формулу и положить внейа=6=1,тополучим,что/ равно удвоенной площади с е к т о р а А ОМ (как я для крУга). Итак, в к руге отрезки РМ и ОР представляют круговые синус и косинус от удвоенной площади к руг о в о го сектора АОМ, а для ги п е- рб о ы аналогичные отрезки выражают г нп е р 6 о ли чески е сянус и косинус от удвоенной площади г и и е р б о л и ч е с к о г о сектора АОМ.
Роль )(хз — ая у Так как — ГО а Ь' форме это выражение можно представить в более симметричной 197 3391 а х плошади и оьънмы гиперболических функций по отношению к гиперболе вполне аншюгична роли круговых (тригонометрических) фушщий по отыошеыню к кругу. у ьу Рнс. 23. С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций, как некоей и л о щ а д и, связаны и обозначения обратных им функций (см. 49, 3) и 4)), АгзЬх, АгсЬ х и т.
и. Буквы Аг являются начальными от латинского слова Агеа, означающего аплошадьм 4) Найти площадь Р фигуры, ограниченной осями координат и параболой ')гх~-)у= г(а (а»О). а 1 Ответ: Р ~ уг(х=- ан (Читателю б е самому предоставляется сделать чертеж.) 5) Определить площадь фигуры, заюпоченной между двумя конгруентными параболами у'=2рх и х'=2ру (рис. 24). Очевшгно, нужно воспользоваться формулой (8), полагая там х' у, = —, у,=- )12рх. 2р Рис.
24. Для устаыовления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения н найдем абсциссу точки М пересечения обеих парабол, отличной от начала: она равна 2р. Имеем зр Р= ~~ )зарх — — )г)х= ~ — '12рхв — — ~ , '— — — рп 2р! ~3 бр~ ~а 3 !Чз гл.
ж и! илОжения интетуялы!Ого ночноления 1339 6) Найти площадь Р эллипса, заданного уравнением Ахьч 2Вху-1Суг=! (АС-)Р О, С 0). Р е щ е и и е . Из этого уравнения (10) — Вх — )ГВ'хг — С(Ах'- Ц У! С вЂ” Вх+ ! Вьх' — С(Ах' — !) С причем у„у получают веществеюгые значения лишь для х, удовлетворяющих неравенству С вЂ” (АС вЂ” Вг)хгжО, !)' С т.
е, содержащихся в промежутке (-и, а), где а= АС- В' Тогда искомая площадь будет Р= ~(у -у ) Ах= — ~ 'гСЗЗ(АС-В!)хгдх.= 2 г 2 ..... 1 л = — ~АС вЂ” В' )(а~ — х" Ых = — )!АС вЂ” В'.— лаг —- С ) ' С 2' )ЗА-СТВЗ' 7) Пусть, наконец, эллипс задан об щ им уравнением ах'-Ь 2Ьху+ су! -Ь 2дх-1-2еуЧ У= 0: требуется найти его плошадь Р.
Задача зта может быть сведена к предыдущей. Если перенести начало в центр (Ь) г)) эллипса, определяемый, как и!весы!о, из уравнений а$ч-Ьу+д=О, Ьб+сг+е=О, ах!+ 2Ьху+ суя+ Г' О, дд+ ег+г"=,г"'. то уравнение примет вид где (12) Исключая с, з! нз равенств (11) и (12), надаем ! а Ь д !Ь с е =О, (д е )-У' о~куда е Ь д где А= Ь с е д е У'=— ас-Ье ' Очевидно, )' и А отрицатщгьны (иначе уравнение не выражало бы вещественной кривой). 199 339! 1 3.
плОШАди и ОБъемы Получеыыое уравнение легко приводится к вашу, рассмотренному в 6), если положить а Ь с А= — —,, В= — —,, С= — —,. Г' У" Г' Значит, площадь эллипса будет н(у'! лЛ )сас-Сск (ас-Ь') с' 8) Формула (7) может быть использовала и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрнчески или уравнениями вида (6). Произведя замеыу перемеыной в интеграле (7), получим (в предположе. нии, что х=а при с=се и х=6 или с Т); т т Р ) ухс с(с= ~р(с)р'(с) с(с.
(13) Если, например, при вычислении площади э л л н и с а исходить нз его параметрического представления х=-аспас, у=дплс и учесть, что х возрастает от — а до а, когда с убывает от л до О, то найдем Р = 2 ~ ь ип с ( — а з! и с ) ссс = 2аь ~ ен' с ау = лаь. Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоилн ее. 9) Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной ц и к л о и д о й х=а(с-ып с), у=а(! — соз с).
имеем пе формуле (13) (3 1, )Р" Р-~аз(!-сенс)сссс-аз!-с — 2з!псд — ын 2с~ ! =Зла'. (2 4 ~о а Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной плошали абра зуюшего крута. 10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали г=.аа (рис. 25). Имеем по формуле (9) 1 г аз йм 4 Р,= — ав ~ Ьэс(8= — Ос = — лса', 2 6 !е 3 е с=асозндЬ при Ь:ин. в то время как плошадь круга радиуса 2на будет 4н'а'. Площадь вшнка спирали равна трети нлощади круга (этот результат был изнестен еше А р х и м е д у).
Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с разностью 8лса'. 11) Найти площадь улитки 1339 200 ГЛ. Х. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Имеем по формуле (9) 1 г Р = — ~ (л со5 6 + Ь)»»(6 = 2 е ЗР л = — 1 — л»+Ь»)6+ — а»ащ 2В+2аЬ5!и 6~ ~ =- — (а»-~-2Ь'). -21Ь ~е 2 3 В часпюсти, плошадь к арди оиды (ь=а) равна — ла".
2 12) Найти площадь лем н и скаты г»=2а'со»26. Рис. 25. Достаточно удвоить плошадь правого овала, которому отвечает изменение угла 9 от — — до —: 4 4 1 Р=2 — 2а' ~со52В»(6=-4а' ~со52В»16=2ак 2 13) Найти площадь декартова листа х»+у'-Заху=0. Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой х=гсо56, у гып 9, По сокращении на г» придем к такому полярному уравнению: Зл Яп 6 сО5 В г= 5$л» 6+соя» В го! 3361 З К ПЛОЩАДИ И ОБЪЬМЫ Так как самый виток кривой отвечает изменению угла 0 от 0 до —, то по формуле (9) 2 9а» г ып'О соя'0 Р- — [ АО. 2 3 (ыпз Весов»0)» с Заменяя ыл В через !В В соя 6, приведем подинтегральное выражение к виду гйз ОВ20 0 (1+ Гйз 9)' откуда сразу находится первообразная функция 1 1 1 соз»В 3 14та»9 3 ыпз 04 соз»0 Таким образом, Заз созе В )» Заз Р= —— 2 ып»0+соя»9 ~~ 2 14) Решить задачу б) наново, воспользовавшись полярными координатами.
Р е ш е н и е . Вводя полярные координаты, представим уравнение (10) эллипса в виде 1 г»вЂ” А соз' 91 2В соз 9 з!и ОЪСБ!и' 0 Тогда по формуле (9) сразу получаем [306, 9)) 1 АВ Р-г — ( 2 ) А соз» 9-~-2В соз В ып 6-[-Сын' 0 ')ГАС вЂ” В' хуг — х[у О;= х»фу' г' х'-!.у', 9 = агсгй — и У х ! 1 — г'АО = — (ху! — х[у) Аг. 2 2 Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной плошади той его части, которая лепит в 1 и 1Ч координатных углах. Какие затруднения встретились бы при использовании результата 10) 283 для вычисления непосредственно асей площади эллипса? 15) Формулу (9) мотКИО ПРиспособить к случаю, когда кривая задана своими параметрическими уравнениями вида (б).
Так как ]34О !"л х пРилОжения интегРАзп ИО!'О исчисления Если изменению Угла вот и до Р' отвечает изменение паРаметРа г от го до Т, то т т 1 г, ! г Р= — ~] (ХУг-ХгУ) ГГГ= — ~ [ОГ(Г)зг(Г)-Р(Г)ГР(Г)] ГГГ. 2 2 (14) Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым выкладкам. Например, если по ней вычислить плошадь з л л и и с а. исходя из его параметрических ураваений х= а сов !, у=ь яп г, то получим 1 г 1 Р= — ) (асов нЬсоз ! гамп г.ьзьп г)гуг= — аЬ ~дг=лаь. 2 16) Вычислим еще по формуле(14) плошадь а с т р о и д ы х=-а соко г, у= аяпо !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
