Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 28
Текст из файла (страница 28)
С этой целью достаточно вычислять значения фуыкции — с четырьмя .к знаками, с точностью до 0,00005. Имеем: 6,9284 0,69284 10 сумма 6,9284 Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следонательно, н к их среднему арифметическому) содержится между 20,00005, а также принимая во внимание оценку дополннтелыюго члена Я„, найдем, что 1и 2 содержится между границами О 69279 = О 69284 — О 00005 и О 69313 =06928440 00005 40 00084, а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694.
Таким образом, )п 2 = 0,693 а 0,001. хд .=1,05 хв1 =1 15 х„„=1,25 71 ~Л хв1 = 1,45 в хдк1 —— 1,55 хкв~,,=1 65 хзв, =1,75 1в хгт1 -— -1,85 хзв1 ..=1,95 уН .— 0,9524 увй=О 8696 у„-0,8 ук1 =0,7407 ув, =0,6897 у„д - 0,6452 ум1 = 0,6061 утв1 — — 0,5714 в уд,) 0,5405 ум1 0,5128 3281 !65 р Б. ИРиьяижпнное Выч!Боление интш Радов 2) Провести го же вычисление по формуле трапешрй. В этом случае по формуле (14) ! Дл О, !и /« —. бла У, =0,9091 1,2 у, = 0,8333 1,3 у, = 0,7692 1,4 У, - 0,7143 1,5 УБ=О,6667 !,6 У, =: 0,6250 1,7 У, == 0,5882 1,8 уа = 0,5556 1,9 у„=- 0,5263 сумма 6,1877 х,= х., хр —.
1,0 >Ь =. 1,0000 хгр = 2.0 )тр = 0 5000 сумма 1,5000 ха = х,= ХБ = ар= ! /1,5000 — -!-6,1877) = 0,69377 10 2 Учитывая все поправки, ва)щем, что 1и 2 содержится между границами 0,69202 = 0,69377 — 0,00005 — 0,00170 и 0,69382=0,69377+0,00005, т. е. снова между 0,692 и 0,694, и т, д. 3) С помощью формулы Симпсона, при том же числе ординат, можно получить более точный результат. Так как четвертая производная под- 24 интегральной функции есть —, то по формуле (16) ХБ йл«о 24 2 180.
(2л)' 15 (2л)' При л = 5 (тогда число ординат будет то же, что и в предыдущем случае) имеем )га! -1,4 10 '. Вычисление поведем на пить знаков, с точностью до 0,000005: 1,2 У, = 0,83333 1,4 уа = 0,71429 1 6 УБ=0 62500 1,8 УБ =- 0,55556 ха/ = 1,1 ха, = 1,3 хр, = 1,5 х,/ — -1,7 х =-!,9 /а У,, =0,909(Е уа . = 0,76923 УБ/ =-0,66667 у,/ — — 0,58824 Ур/ = 0,52632 х,= х.= Ха= сумма 2,72818.2 сумма 3,45955 4 5,45636 !3,83820 хр=)0 Ур=),(О)00 ха = 2,0 уа = 0,50000 сумма 1,50000 1 — (1,50000-!-545636413,83820) =О 693152. 30 попробуем и здесь взять и= 10, котя тогда гарантировать можно лишь что ) /!Б !- 1 — !,7 1Π— '.
Ординаты (вычисленные с той же точностью, что и выше) 600 будут !328 166 ГЛ. !Х. ОНРГДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Огсюла ]и 2 содержится между границами 0,693133 =. 0,693152 — 0,000005 — 0,0000!4 0,693157 0,693152+ 0,000005, так что, например, можно положить!и 2 = 0,69315ае„„м. В действительности!и 2=0,69314718..., и истнййая погрешность оказывается меньшей чем 0,000005 [ср. замечание в конце предылушего п ]. 4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический ин.
те г р ал 2-го рода* с точносзъю до 0,001 по формуле Симпсона. 1 л Для функции /(х)= 1 — — з!Ле х, при изменении х от 0 до —, имеем г 2 ~ /09] 12е*, поэтому [см. (16)] 6)' ])(л] ' 2 —.—, так как ~ — ) 10. 180 (2Л)' 3 (2л)" ~2) Возьмем а=3, так что ])1,~ 0,00052. Тогда х, =- — (30') б 2у~ — ]3!4/2 = 1 8708 хз/ '=- — (45 ) з 4 4Ув = [/!2=-3,4641 = 1,35063... л 15,4771 2 18 (60') 3 2УЕ= ) 10/2 1,5811 5л хм, — — (75") 12 4Уз) -] 12 — ]/12=2,9216 л тз -'- —,, (90') Уе -- ]/2/2 = 0,7071 сумма 15,477! ' См. сноску на стр. 142. 1 1 "" Очевидно, у=/(х)~ —; дифференцируя тождество у'=1- — ыо'х, легк< ]/2 2 последовательно полу ппь оценки (сяерху) абсолютных величин пронзводньп у', у", у"', у(') хе = О (О') л;~ = — (!5') !2 Уе = 1 0000 4У, . ]/12т]/Г2=3,9324 167 328! Е 3.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ К полученному результату, кроме поправки Яь следует добавить еше (нсотрица- 0,0003 л тельную) поправку иа округление, которая не превосходит 0,00003, 36 Таким образом, ! 1) 1,350!1 Е~ — / «1,35118, ~,г2~ (1! и можно утверждать, что Е~ — ~ 1 351аяжщ. ~~(г~ (На деле в полученном результате все знаки верны.) 5) Вычислить интеграл ! И'= 1е 4(х о с точностью до 0,0001 по ф о р муле Си м и с о на. Непосредственно вычислив четвертую производную от подннтегральной функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; поэтому 12 180.(2л)' ~Яч~ы Достаточно Баять л-5, ибо ~Я4~ 0,7 10-". Имеем х =-0,0 у,=1,00000 хз = 1,0 уз = 0,36788 сумма 1,36788 14,96108 1,36788-! 6,07580+ 14,96108 сумма 3,03790 2 6,07580 30 = 0,746825 0,746813 «И' 0,746837 И' = 0 7468-~-4,аиег (И здесь в полученном результате верны все ш е с т ь знаков!) 6) Найдем интеграл агсгй х 6 4ГХ х о х,— -0,2 у,=0,96079 хз = 0,4 у, = 0,85214 х,=06 у,=069768 х4 0,8 у4 =.
0,52729 хг) — — 0,1 уг! — — 0,99005 4 ' 2 хв) =0,3 уя( =09!393 хз!4 = О 5 у41 = 0.77680 хц —— 0,7 у,, =0,61263 сумма 3,74027 4 168 132 гл. !х. опвнднлннный ннткг ал [ср. 314, 6)] по ф о р м у л е С н м п с о н а, при л = 5, вычисляя на пять знаков Ув= ! ув = 0,78540 сумма 1,78540 1,78540 Ч-7,36476-~- ! 8,32880 30 = 0,9! 5965.
В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить погрешность по формуле (16). Значение С иногда называют лостоявяой Катаяаяа (Е. Саса!ав) (см. также 440, 6) (а)]. Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так что ими воспользоваться для вычисления определенных ивтегралов было бы невозможно, Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принципиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю для элементарных функций.
На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближенные выражения. у, = 0,98698 У =0,95127 у =0,90070 Уз = 0 84343 сумма 3,68238.2 7,36476 уз) —— 0,99668 ув( =097152 ув~ —— 0,92730 у,( — — 0,87246 ув~ = 0,81424 сумма 4,58220 ° 4 18,32880 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ в 1 Длвна кривой 329. Вычисление длины кривой. Пусть на плоскости параметрическими уравнениями =9'(~) У =Ф) (1) «, с=.т1 задана непрерывная простая кривая АВ.
В первом томе [247) было установлено понятие длины кривой как точной верхней границы о периметров, вписанных в кривую ломаных зцР 1Р). (2) В предгюложении, что функции (1) имеют непрерывные производные, было доказано 1248], что кривая сир ямл яема, т. е. длина дуги к о не чн а. Больше то~о, если рарсмотреть переменную дугу АМ, где М вЂ” любая точка кривой, отвечающая значению 1 параметра, то было установлено, что длина АМ = г = з(г) есть днфференцируемая функция от б производная которой выражается так: з'(~) =При))' ~ Ь'(~))' нлн — короче— к~ = )~хг УР (3) 1248 (10)) и, очевидно, тоже непрерывна.
Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к вычислениюю длины х кривой АВ. По основной формуле интегрального исчисления, сразу получим х(~")-4го)= ) к~А 1 70 (329 гл. х, пгиложвния интвгглльного исчисления или г т А О = Ь' = ~ )гх,'-~-у," г77 = ! Яф'~~))'~- ~~рЪ))е й. 1 ь Длина переменной дуги АМ, о которой выше шла речь, как легко понять, выразится формулой АМ=зг к(7)=-) )гхе<-у",й. (5) и (4) у = 7(х) (хе-х-Х), то, принимая х за параметр, из формулы (4), как ее частный случай, получим х х 5= ~)г(-~у„"г7х=~~Т Ях\~'Ых.
(4а) х, Наконец, случай полярного задания кривой г=О(О) (О.=О=о), как известно, также приводится к параметрическому с помощью обыч- нык формул перехода х=гсозб=е(О)созО, у=гзп7О=-я(О)з1пО; роль параметра здесь играет О. Для этого случая у= ~ уг- ~ О= ~ )7( (О))е ~(О(О))з~(О. (4б) в.
е Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать и выражения для величины переменной дуги АМ, если М отвечает абсциссе х или полярному углу О: х АМ вЂ” з — з(х) — ~ )71 ~-у„зЫх х (5а) Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая- либо внутренняя точка М,. Если г„по-прежнему определяет именно эту точку (в этом случае ге уже не будет к о н ц о м промежутка, где изменяется г), то формула (5) дает, очевидно, в с л и ч и н у луги АМ со знаком, именно, со знаком плюс, если г г и точка М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг Мр, и со злаком минус, если 7=ге и точка М лежит с отрицательной стороны от М.
Если кривая задана я в н ы м уравнением в прямоугольных коор- динатах гп !. ДЛИНА КРР!ВО!! ззо1 или, соответственно ь АМ=-з = ~0) =- ~ ]~г'ч г,,"-'110, (5б) о =!1ш р. и-о (6) Впрочем, удобнее исходить из значений параметра и (7) Го !! Г1 "11-Р1 .. ел= т определяющих положение на кривой вершин ломаной (р), и предположить, что стремятся к нулю все приращения с]11=11„д — б (или, точнее, наибольшее из них 7 =шах г]г!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
