Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Полагая для краткости /(х)+7'(х) Р, +7(л)(х) = д(х) имеем отсюда ь еьГ(0) = г(Ь)+еь~ У(4е -" Их. о Возьмем здесь последовательно Ь = О, 1, 2, ..., ен умножая получаемые равенства соответственно на с„с„с„..., см и складывая, в силу (1), придем к окончательному равенству О=с,р(0) ]-с,р(1) Ь ...
+Р„,Р(гя) 1 ~44е' ~ Дх)е хз)х, о (2) которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена ]'(х). Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство (2) стало невозможным; этим теорема и будет доказана. Положим, с этой целью, 1 Дх)= хя- ( — 1)Р( -2)Р...( т)Р, (р — 1)! где р — простое число, большее ш и ] ср]. Производные этого многочлена порядка р и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает непосредственно из того, что произведение р последователыиях натуральнык чисел делится на р!. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют целые значения, кратные р. Так как при х = 1, 2, ..., т многочлеи У(х) и его первые 4 Вслед за этим Линдеман (г.
1.]вбешалп) доказал трансцендентность, числа л, чем впервые установил неразрешимость исстари звамеиитой задачи о квалратуре круга. 143 1520 ГЛ. ГХ. ОЦРЕДГПЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ р-1 производных обращаются в О, то Р(1), г(2). ° ° ., Р(т) будут целымв числами, кратвьзми р. Иначе обстоит дело с Г(0). При х= о многочлен Дх) обрашаеюя в О лишь с р — 2 своими производными, так по р(о) =Лр — о(о)+Лр)(о)+... Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные р; по ЛР ')(0) =(-1)Р(т1)Р, а с ним н Р(0), на р не делится.
Так как при сделанных относительно р предюложевиях и со не делится на р, то приходим к заключеввю, что первая сумма, стоящая в равенстве (2) справа, есть целое число, не делящееся на р и, следовательно, заведом о не р ав нос нулю. Обратимся ко второй сумме в (2). В промткутке [О, т), очевидно, 1 ттр+Р 1У(х)! пьо-гтртр„. = (р-!)! (р-1)! Поэтому ~ ~ У(х)е-х ~(х ~ ~ е-хйх о о "' если сук~"'у 1со! о 1сг1+ ° ° + 1ст ! обозначзпь через с„ г ! ттр+р-г (тт+')р — г 7г) сге ~ Ях)е х Их ~ «Сот = ге ттт -о (р-1)~— (р-1)1 о Но мы знаем 155, 1)1, что последний множитель при р - стремвтся к О, так что вторая сумма в (2), при достаточно большом р, будет по абсолютной величине меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться О, и мы пршпли к противоречвю. 320. Миогочлевы Левшвдра. Поставим себе задачу — найти такой многочлен и-й степени Хп(х), чтобы для л ю б о г о многочлева Д(х) степени виже л выполнялась равенство Хп(х)()(х) Их = О, о где а и Ь вЂ” произвольные, но ф и к с и р о ванные числа.
Каждый многочлен л-й степени Х„(х) можно рассматривать ках л-ю производную от некоторого многочлева Я(х) степени 2п, который из Х„(х) получается л-кратным последовательным интегрированием. Если при кавщом витегрировалии произвольную постоянную выбирать так, чтобы при х - а интеграл обращался в О, то лля многочлева л(х) окажутся выполненными еще условия л(а)=0, Я'(а)=0, ..., л(п 0(а) О. (4) Итак, задача наша сводятся к нахождению такого многочлена л(х) степенв 2п, чтобы было о й(п)(х)()(х) Их = 0 (5) 149 2201 1 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ для любого многочлена (2(х) степени ниже л н, кроме того, выполнялись равенства (4).
Но по формуле (7) л 311, если заменить в ней и на н-1, ь Д[н)(х)Д(х) дх= [Д(х)Д(а 0(х)-О(х)Д(н 4)(х)+... Яь))((н — 1)[Ы вЂ” 0;[ь)(((л — ь)(Ы+... ь Я[л — 0(ь))г(Ы = О. [6) Ввиду полной произвольности многочлена (л-1)-й степени Д(х) значения Д(Ы, Д'(Ь), ..., Й(а ')(Ь) этого многочлена и его последовательных производных прн х Ь можно рассматривать как произвольные числа, а тогда условие (6) равносильно следуиицим: д(Ь)=.0, д'(Ь)=0, ..., К(н-О(Ь)=0. (7) из (4) и (7) видим, что мпогочлсл л(х) должен иметь числа а и ь корнями и-и кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться от произведения (х-лT(х-Ын. Таким образом, окончательно лн Ха[х) - с„— [(х — а)" (х — Ын).
4(хл Если, в часпюсти, взять а — 1 н Ь = + 1, то придем к уже знакомым иам ьвьегечленам Лелсандра ь[л[хь Ын Ха(х) гав Ихн Мы услоиились в 118, 6) обозначать многочлены Лежандра через Р„(х), если постоянные с„выбраны так: 1 1 2Я„Л1 2лп ' для этих многочленов вмеем Р„(1)=1, Р„( — 1)=(-1)". Обыкновенно полагают еше Рь[х) - 1. Все члены многочлева Р„имеют показатели одинаковой с л четноств. Старший коэффвциеит, очевидно, будет ул(2Л-1)...(я41) (2в-1)й 2нй л! По самому определению миогочленов Л е ж а н д р а имеем всегда 1 Ра(х)ЕХ) 4[х О, — 1 (8) каков бы ви бып многочлен (7[х) степени неже л.
В частности, если л и нь — два неравных неотрицательных числа, то ~ Рн[х)Рнь[х) 4(х = О, -1 (9) а Ь ... *0(а 0(х))((х)) ) ч ~ Я(а)(х)д(х) дх. а Если принять во внимание (4), а также то, что ы[н)(х) и О, то условие (5) прнведекя к вщьу [320 !50 гл сх. опвнднлвинь»й интнгвал ется от и»пеграла 1 .с(о(х» — !)и с)о(х» \)и с!х. ,!ко,! и -1 Если примеыить к последнему снова формулу (7) и' 311, заменив л па и — 1 и положив с(о(х» !)о о = , и = (к» вЂ” !)", ,!хл то он сведется к интегралу 1 ! Г с!»л(х» -! )л ( — 1)о (х' — !)ос!к=-2 2л! ~(1-х»)о с)х с(к»л -т с (все внеиитегральыые члены исчезают, потому что фушщня и и ее производные до (л-1)-и включительно при ха1 обращаются в 0). Полагая здесь х-э!и г [ср.
314, 2)), получим 2лй 2 2.2»с!. = — (2»с!»)», (2л+ 1)й 2л -1- ! так что окончахельыо 2 Ро(х! с(х = — . 2л41 — ! (10) В заюыочение, используя свойства миогочлена Лежандра, выведем рекурревтиое соотношы»не, связывающее три посведовательнык таких многочлеыа. Заметим предварительно, что степень х" может быть представлена в виде лвнейвой однородной фушщии от ЄЄ°, Ро с постояныыми коэффипиентами; тогда то же справедливо и для любого миогочлена степени л.
Поэтому хрл а,рас,;о,Р„+о,Р„,+а»Р„,+..., где а„а„а„а», . ° . — постоянные коэффициенты. Легко устаиовитгч что а»=а, = ... =О. Например, чтобы определить а„умножим обе части этого равенства ыа Х„» и проинтегрируем от — 1 до +1 1 1 1 Р„.хро, с(х о ~) Роч»Р„» с)х+а»~РоРо» с(хЧ-» — » -1 1 1 д1ЄРс)х+а 1Р„~»)х+... Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, н мы получим ! а» ~Р»»с(х=О, — 1 откуда а» = О. » 1 Найдем значение интеграла ~ Р,'(х) с(х; ол лишь множителем с» = — отлича(2л!!)» — ! 151 321) ) К ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Коэффициент а, также равен О, ибо левая часть равенства не содержит вовсе члена с х".
Для определения аа приравняем козффипиенты при хл ы в обеих частях равенства (2п — 1)!! (2п 1- 1 )!! п + 1 = са откуда с, = — . и! (Лч- 1)! 2п+ 1 Наконец, чтобы найти а„приравняем обе части равенства при х=. 1; и 1 па+о„так что с,=1 — а = —. 2п+ 1 Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем (и+1)РЛ44 (2п+1)хРп.)-пРи г О. (11) Это и есть искомое рекурреатное соотношение, которое позволяет находить много- члены Лежандра последопттельно, отправляясь от Р, 1 и Р,=х: Зх'- ! 5х'-Зх 35ха-ЗОхач-3 2 2 8 321. Интегральные неравенства.
В и' 133 и 144 был выведен ряд неравенств для сумм, покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть установ- лены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции р(х), с(х), у(х) будем с тягать интегрируемыми *. 1) В л' 133 мы имели неравенство (4), которое можно переписать так: Гр,л, 2'Р, (12) Рассмотрим в промежутке [а, Ь) положительные функции Р(х) и 9(х). Разделив промежуток точками а ха х, ... х) хььгм. ° .
х„Ь $ р(х) арх а а Из этого предположения вытекает уже интегрируемость и других астречаюшияся ниже функций: для обоснования этого достаточно сослаться на о' 299, 11 и и' 300, 4). на части, с длинами 4)Х) Хр+,-ХО полажим тЕперЬ в иалнеаННОм Нсравенетае рг р(х, )Лхо пр 9(хг); мы получим ~р(ж) )а Ф(ж)оиг тр(и).пп ~р(х)(а(х,) 4)х, е ,~Р(х,) 4)хр Все суммы здесь имеют вцц н н те грал ьны х сумм и при Лх,-О стремятся к соответствуюшим интегралам. Таким образом, в пределе получим кюпегральный аналоге неравенства (12): ) р(г))а 4(х) ах 4 ~ Р(х)(р(х) р(х а а [321 152 ГЛ. 1Х. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В частности, при р(х) и 1, будем иметь; Выражение справа называетск «средним арифметнческимл зааченнй функпии р(х) в промежутке [а, Ь), а выражение слева — их лсредним гсометрическимь. 2) Выведем теперь нлГГЕГРальные аналоги неравсиетв К о ш н — Г е л ь д е р а и Минковского [133, (5) и (7)): Лала,-[Лай 1ГЬ1 ) (13) [~(о 1Ь,)х) [~аь)ь.-аьль[ь.
[Л,Л' 1,„- л-;=1) (14) пусть в промежупсе [а, ь) даны положительные функпан ьь(х) и чл(х) разложна как и выше, этот промежуток точками хл, положим в (13)1 л 1 ь л ал=тл(хл) л)хл, Ь,=у(х,);1х, а в (14): ь а,=(ь(х) л)х,, Ьл-р(х).ЛХ,, Будем иметь: ~ р(хл) р(хл) л)хл~(~[(ь(хл)[ь л)хл11 . (,~~[у(хл))ь' л(хл)л [.Р [у(хл)+р(хл)]ь (хл) ~(Е[р(х,)[к лхл) +[.2,[р(хл)[а М . Перехода к пределу, при л(хл-О, получаем окончательно ь Ь 1 Ь 1 ~4ж Г (13ь) ь Ь 1 Ь ~~'"'""'"~*-8""""~"'М""""~" П4ь) Отметим частные случаи этих неравенств прн /г=й'=2; ь ь ь 1% ул г(х '[ (РЧх ° ~тль л(х а а а (13') ь — ~ лпч(х)ах е е 1 г ж — — [ р(х) ллх. Ь-а ь 153 згг] Ь К ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИОЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ Ь Ь Ь ~[и+В] 4 1~Чх+ 1Р ( . а а а П4') Первое из ннх принадлежит В. Я. Бу н я к о в с ко му.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
