Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла 1 — г' 8) ! — Вх (О г 1), 1 — 2г соз х+ г' так как найденная в 288, 13) первообразная (1+ г х) г(х)=2агс18 ~ —. 18-! г! не имеет смысла при х= лл. Однако сузцествуют, очевидно, пределы 1'пп г"(х)= -л, йпз г"(х) л, к и+О к и — О и если, как обычно, положить В(-л) и г(л) равными именно этим пределам, то функция г(х) будет не только определена, во и непрерывна на концах промежутка. Поэтому все же имеем 1 — г' и(х =- Р(х) —.
Р(л) — Р(- н) = 2л. 1 — 2г соз х-~- гз 9) Аналогично вычисляется и интеграл ах (АС-Ви»й). Асов'х+2Всозхяпх+Сз!л'х з Мы уже имели [288, 10)[ выражение первообразлой 1 С 18 х-~-В г(х) = агс18 "угАС С— В' [/АС вЂ” В' и л пригодное для -- х —. Отсюда 2 2 [- -е л -р(.)~ .„= ял х )гАС В А созихц-2В сов хяп хеС 131о 12й Гл. 1х. ОпРедепенныи инте! Рхл причем значки — — 1-О, — -О символизируют необходимость брать соответствую- 2 2 щие предельные значения функции Е(х). 10) Если при вычислении интеграла х»+1 исходить из формально вычисленной первообразной 1 Зх(х' — 1) — — агс1я 3 х»-4х»-~-1 и подставить сюда х= о и х= 1, то для интеграла получится парадоксальное значение О (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое значение!).
Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при х= [Г 2- У3 х,. Если порозвь вычислять интегралы от О до хе и от х, до 1, то получится правильный результат 1 ~»,— С 1 л е ,'«+е 3 е 11) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы «(х р — =(лх~ =1п2, х 1 «(х р л = агсГйх~ = —. 1+ х' )с 4 е Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то можно получить, например, такие предельные соотношения: (1 1 11 1нп ~ — + — ф...
+ — ! =-!и 2, (л41 л42 2л! 1 1 11 л 1(ш [ — + — Е...-Р— ~ л=- —. л (,л»-Р 1« л» 4-2» 2л») 4 310. Другой вывод основной формулы. Установим теперь осговиую формулу (А) при более общих предположениях. Пусть функция у'(х) инте три руе ма в промежутке [а, Ъ1, а непрерывная в [а, Ь) функция г[х) имеет Лх) своей производной Р'(х) =Г"(х) (3) повсюду в (а,(г) или даже лишь повсюду, исключая конечное число точек.
)гэ зю) 1 3. ВЫе1ИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Разобьем промежуток (а, Ь] произвольным образом на части точками а=ХЕ. Хд ХВ ... ° Х;. ХН1к....ХА=Ь (позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те точки, где не имеет места соотношение (3), если такие точки естьь Очевццно, будем иметь л-1 Х(Ь) — Г(а) = ~(Г(х1.„,) — Г(х1)) . 1=О Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы, формулу конечных приращений, — условия для ее применения все выполнены. Тогда получим л-1 Г(Ь) — Г(а) = ~Г'(11)(х;+1 — х,), г где $1 есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значение х м е ж д у х1 и хыь Так как для этого значения ГЯ1) =Я41), то мы можем написать л — 1 Г(Ь) — Г(а) =.~Дсг)гх1. 0 Справа получилась интегральная сумма о для функции Лх).
Мы предположили, что для суммы о при й 0 существует определенный предел, не зависящий от выбора чисел 11. Следовательно, в частности, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе этих чисел) постоянное значение, также стремится к интегралу, откуда и вытекает, что 1 Г(Ь) — Г(а) = ) Г'(х) 11х. а В предыдущем и' мы с помощью основной формулы вычисляли определенный интеграл. Но она может быть использована и в другом направлении. Заменив в основной формуле Ь на х, а Лх) на Г'(х), можно написать ее в виде Г(х) = Г(а); ~ Г'(г) й.
Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определенный интеграл есть предел), по заданной производной Г'(х) евосстанавливается» первообразная функция Г(х). Впрочем, это предполагает, что производная не только ограничена, но и интегрируема в согласии с римаиовым определением, что осуществляется не всегда. Ч Г.
М. Фиигеиглльи, . и ~зы 1зо ГЛ. ЬХ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНГЕГРАЛ ~ иьь'е=ие — ~е Ыи и ее обобщение (270 (3) и (5)), а также другие формулы приведения (271 (6); 280; 287), частично на ней же основанные. Общая форма их такова: ~ у"(х) ььх =- ч:(х) — ~ е(х) Ых. (4) Если областью применения подобной формулы является промежу- ток (а, Ь), то ей в определенных интегралах отвечает формула ~ Ях) ех = еь(х)) — ~ 8(х) ь(х. а (5) При этом функции 1; е будем считать непрерывными. Для доказательства обозначим последний интеграл в формуле (4) через Ф(х).
Тогда Ь ~ Дх) пах =- Щх) — Ф(х)) )„= р(х) („— Ф(х), . а Так как, в то же время, Ь ~ е(х) гух=Ф(х))„, а то мы и приходим к доказываемой формуле. В частности, формула интегрирования по частям примет теперь вид Ь Ь ) и ЬЬЕ г ип~', — ~Е Ьти, а а а о б обще ни ая формула перейдет в такую: Ь Ь пфп ьн еьх [пфп) ифл-п, и ( !)лвьл)е] ~ ь ( 1)па ь ) ьь(а+ не ь(х. (7) ~а а в 311. Формулы приведения.
Мы видели, что основная формула при благоприятнык условиях сразу дает значение определенного интеграла. С другой стороны, с ее помощью различные формулы п р ивед е н и я в теории неопределенных интегралов преобразуются в аналогичные формулы уже в определенных интегралах, сводящие вычисление одного определенного интеграла к вычислению другого (вообще более простого). Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по частям 131 3121 1 з. аычислвнин опввднлннных нпты ~ ялов при атом по-прежнему функции и, е и все встречающиеся их производные предполагаются непрерывными. Формула (5), устанавливающая соотношение между ч и с л а м и, принципиально проще формулы (4), в которой участвуют ф у н к ц и и; она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю. 312.
Примеры. 1) Вычислить интегралы 2 Ум - ~а1пж х г(х, ./,„= ~ созм х г(х (при натуральном ьч). Интегрируя по частям, найдем lм .-. ~ а(пм ' Ы(- соя х)- — Япм ~хссах '1 бл 1) ~ 51пяз х соке х Лх. е О гл — 1 Ут= -уп-м л1 по которой интеграл ум последовательно приводится к У, или ам Именно, при >и=та имеем (2л — 1)(2л — З)...3.1 и Хз.-- я(пзл х4х= 2л (2л — 2)...4.2 2 е если же м=2я+1, то 2л (2я — 2)...4 2 зе„ем = ~ апю+'хг(х= (2ле1)(2л — 1)...3 1 о Такие же точно результаты получаются и для Ум.
Двойная подстановка обращаеттл в нуль. Заменяя соьчх через 1-з(пк х, получим Ум — — (ьч — 1)ум к — (гл — 1),/м, откуда рекурреитиая формула; 182 [812 Гл. 1ж ОНРеднлВнный интВГРАл Длк более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом глй *. Тогда можно будет написать (л1-1)!! 1« — — при 1л четном.
тй 2 (8) аюях1(х ~ созях1(х (т — 1)й при л1 нечетном. Л18 с а 2) Доказать формулы (а) ~созя х сок (1л+2)х 1(х =. О, е 1 (б) ~созмхз!Л(л1+2)х1(«= -" я+1 е тл ял— 2 (в) ~ зй«Я«сок(л1-Ь2)хй« л1+ ! 1Л:1 соз— 2 (г) ~ зюя х яп(л1+2)х «!л— л1Ч 1 е (где т — л ю б о е положительное число). Рассмотрим интеграл СОЗ И Ь з Х СОЗ (иН2)Х 11« е и дважды произведем в нем интегрирование по частим: сная+ « х соз (1л -!-2)х Ых = е 1 !й — [созя+' х яп (т + 2)х — созя+' х яп х соз (т+ 2)х) !б+ т-Ь2 !е 1 "[-(л1ч 1) созя хяп' «Рсозя+'х) сок(тя2)хаак.
я+2з о * Напомним, что т!! означает произведение натуральных чисел„не превосходлпяхти одной с ним четности. 312! !33 1 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОЕ е в/З И /л-!-1 à — ... ) Созм х сок(л/+2)хс/ХЧ- ~ сойи+з х сов(гл+2)хаак, л/+ 2 е е откуда и следует (а). Аналогично устанавлива/ется остальные равенства. 3) Вычислить (при натуральном л) интегралы Кв = ~ соня х ап лх Их, е Ел= ) созв хсозлх Их. Интегрируя по частям, будем иметь /3 1 К ~ соап — 1 х 3!л х соз лх Лг и 0 Если к обеим частям прибавить по К„, то преобразуя выражение под знаком интеграла справа, легко получить 1 2Кл = — !-Кл, или л 1 1 К„= — ~ —, К„,~, По этой ре кур рентной формул е легко уже найти 1 /2 2е 2з 2л) Кл = — — ~ — + — -!- — -!- ° ° ° + — ) . 2м~! 2 3 л) Аналогично Е, — -'--., 2л+1' 4) Найти интеграл 1 ЫИ =- ~хк! х/.
в где /г О, а гл — натуральное число. Интегрирование по частям (ср. 271, 5)] 1 / .! 1 В/ ха !Ем х дх — ха+ з !Ет х ! — — ~ х» !лы з х г/г //ч ! ,ч е /СЧ-1. е е приводит к рекуррентной формуле ~И и„„= -- — -н, //+ 1 откуда и получается л/! )(/, ы=(-!) —- (/ ! 1)ИЧ-1' Двойная подстановка обращается в О. Заменяя под знаколг интеграла з!и' х через 1-соз'х, придем к равенству я/3 соз"'! 'хсоз(л/-! 2)хаак=.
!З(З !.л. !х. опгндвллнныи интшилл Особенность этого примера в том, что в точке х= О значения как подннтегральных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как и р е д е л ьн ы е при х-+О. 5) По формуле (1П) и' 280 имеем (считая р и д натуральными числами) (1 — х)лхдт' р (1 -х)РхдЫх= О ~ (1 — х)Р 'хд Лх, Р+д+1 р+д+1З что при переходе к определенным интегралам в промежутке от О до 1 дае! (1 — х) Рхд Их = — ~ (1 — х)Р— 'хч Их.
Р р+д-~-1 !1ослсдовагельно применяя эту формулу, получим р(р 1) ° ° ° ! (! — х)рхч Ых= [ хд Ых <р ьд ь 1)(р-ьд)...(д ь г)) и окончательно р'д' (1 — х)В дИх= (р+ д+ 1)' з б) Если в формулах (!к') и' 287 при натуральных д и т перейти к определенным интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более обшую формулу (1 — 1)! Кд - 1)1! л .— (при ч е т н ы х Л и т), (т-ь!О!! 2 (т — 1)й(Л- 1)!! (во всех прочих случаях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
