Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Зададимся любым е. О н положим з (Ь) — з(а) Как только г)х( Ь, тотчас будем иметь .г,н(г)х( Ь г,[г"(х(+з) -.1(х()[ = Ь[1(Ь) - )'(а)[ =е, откуда и следует интегрируемость функции. 299. Свойства интегрируемых функций. Из признака пь 297 можно вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций. 1. Если функция Лх) интегрируема в промежутке [а, Ь[, то и функции ( )'(х)[ и ку'(х) (где к=сонм) интегрируемы в этом промежутке. Доказательство проведем для функции [1(х)(. Так как для любых двух точек х', х" промежутка [х(, х(ь() имеем [17) Ях") [ — ( Ях') ! ~ ! г(х") — Ях') (, то н колебание н," функции [('(х)( в этом промежутке не превосходит (о; [85).
Отсюда ~;н(*г)х( а ~н(г)х(; так как последняя сумма стремится к нулю (при 1 О), то первая и подавно, что влечет интегрируемость функции [Г(х)[. П. Если две функции 1'(х) и я(х) интегрируемы в промежутке [а, Ь), то их сумма, разность и произведение также интегрируемы. Д о к а з а т е л ь с т в о ограничим случаем произведения Ях)8(х). Пусть [Г(х)(~К, )8(х)! ИЕ.
Взяв в промежутке [х(, х(+() любые две точки х', х", рассмотрим разность у(х")я(х") -1(х')е(х) = [Лх") — 1(х))я(х") + [я(х") — я(х')[7(х'). гл. ьх. опееделенный интегелл Очевидно, !Дх")е(х") — 1(х')е(х') ! «Ею; е Ксоо если через ю;, еь обозначить, соответственно, колебания функций Дх), е(х) в промежутке [хо хмз1 Но тогда [85] и для колебания О, функ- ции У(х)д(х) в этом промежутке будем иметь 0~«з со~+ Ксоо ~0ьАх; «Е,~ю, Ах~+ К ~Й~Ах;.
откуда Так как две последние суммы стремятся к нулю (при 1 О), то первая и подавно, что и доказывает ннтегрнруемость функции Ях)8(х). П1. Если функция Г(х) интегрируема в промежутке [а, Ь], то она интегрируема и в любой части [а, р] этого промежутка. Наоборот, если промежуток [а, Ь] разложен на части, и в каждой части в отдельности функция Лх) интегрируема, то она интегрируема и во веем промежутке [а, Ь].
Доказательство. Предположим, что функция г(х) ннтегрнруема в промежутке [а, Ь], и построим для этого промежутка сумму ~в~Ах~ (счнтая, что и и [) входят в состав точек деления). Аналогичная сумма для промежутка [и, р] получится отсюда, если опустить ряд (положнтельных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если стремится к нулю первая сумма. Пусть теперь промежуток [а, Ь] разложен, скажем, на две части [а, с] н [с, Ь] (где а с Ь), и в каждой из них функция г'(х) ннтегрируема. Возьмем снова сумму ~со;Ах, для промежутка [а, Ь]; если точка с оказалась в числе точек деления, то названная сумма составится из двух подобных же сумм для промежутков [а, с] и [с, Ъ] и вместе с ними стремится к нулю. Заключение это остается в силе и для случая, когда с не является точкой деления: присоединив эту точку, мы изменим лишь о д и н член суммы, который сам, очевидно, стремится к нулю.
1У. Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе («К) точек, то интегрируемость ее не наруиавпся. Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения коснутся не более чем (с членов суммы г,в;Ах;. Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не потерпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций— исходной и измененной — точки 3, в интегральной сумме всегда можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для которых значения их разнятся. 3 а м е ч а н и е. Благодаря этому свойству мы получаем возможь ность говорить об интеграле ] у'(х)с~х даже тогда, когда функция з'(х) зоо) 1 ь Опгнднлннин и услОВия сущнствоняния 103 не определена в конечном числе точек промежутка [и, [>~.
При этом можно приписать в этих точках нашей функции совершенно произвольные значения и рассматривать интеграл от функции, определенной таким образом во всем промежутке. Как мы видели, ни существование этого интеграла, ни величина его не зависят от значений, приписанных функции в точках, где она не была определена. 300. Примеры и дтюлиения. В качестве упражнения приведем еше примеры применения признака л' 297 к конкретным функциям. 1 1) Вернемся к функции, рассмотренной в 70, 8); у'[х) = —, если х есть нссокра- Р тимая правильная дробь —, и равно О в прочих точках промежутка [О„Ц.
и Пусть промежуток [О, Ц разбит на части с длинами г)х;ту, Возьмем произвольное натуральное число >ь>. Все частичныс промежутки распределим на два класса: Р (а) К псовому отнесем промежутки, содержвцие числа — со знаменателями а чш)»; так как таких чисел существует лишь конечное число й — — Оь>, то и промежутков первого рода будет не больше 2й, а сумма их длин не превзойдет Ил. [б) Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для 1 ннх колебание ть очевидно, меньшс —. Ф Если соответственно этому разложить сумму ~со;дх> на две и оцепить каждую порознь, то получим в результате 1 ,У шп)х;-2бы1+ —. >У 2 с Взяв сначала >>>» —, а затем 2 — — =6, буден> иметь,л,с>гдх; ьз что доказывает айгг ннтегрируемость функции.
Пример этот интересен тем, что фуннцня здесь имеет б е с ч н с л е н н о е множество точек разрыва и все же ннтегрируема. [Впрочем, примеры такого рода можно построить и на основе теоремы ПЦ 2) Теперь рассмотрим вновь функцию Дири хле [46; 70, 7)) у[х)=1, если х — рациональное число,и О, если х иррационально. Так как в любой часгя промежутка [О, Ц колебание этой функции и= 1, то и 2',югах;= 1, так что функция заведомо не интегрируема. 3) Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297, может быть представлен в следующей форме: для существования виредглвнного интеграла необходима и дастатаюю, чтобы на заданным числам в»о и а О можно было найти такое быо, что, лишь только всв ах; 6, сумма .~г)х> ° > длин твх нрамвхеутнав, которым отвечают колебания т>'>ив, сама а.
1Об [301 Гл. !х. Оцевдвленный интьгиил Н с об ходим ость ясна из неравенства ,~~т!Лхом ~в! Лх! те,~~Ля!з ! !' !' если, за счет выбора д, сделать первую сумму меньшей чем от. До с тат о ч иост ь же вытекает вз оценок! ,от!Ля! = ~о!еЛх!'+ ~! Он" Лх!" «Й~ЛХ!'+Я~Ля!" гго 1-е(Ь вЂ” о). !' ! ! (Здесь Й, как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом промежутке; значком !" отмечены частичные промежутки, в которых колебания ее!- « е,) 4) Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего пРедложения: ту™~оия !'(х) ион!егр руе ы ее не выходят за нределы нромежутка [е, И], в котором н е л р е р ы в н а Нзунквия р(у), то сложная функоия !р(1(х)) н!анже инн!егрируема в [а, Ь].
Возьмем по произволу числа еыО и а О. По числу е, в силу непрерывности функции (е(у), нацлется такое е) О, что в любом промежутке значений у с длиной = О колебание функции Ч! будет е. Ввшгу иитегрируемосги функции ь по числам г) и а теперь найдется такое д, что лишь только промежуток разбит на части с длинами Лх! д, сумма ДЛх, !' длин тех из них, для которых колебания функции у'!оя [У]тг), сама меньше о [см. 3)].
Для прочих промежутков имеем вг-[Д О, а следовательно, по самому выбору числа гь ео; [ч!(г)] е. Таким образом, для сложной функции д(г"(х)) колебания могут оказаться те лишь в некоторых из промежутков первой группы, сумма длин которых заведомо о.
Применяя к сложной функпии критерий 3), убеждаемся в ее интегрируемости. 5) Если и относительно функции (е предположить лишь интегрируемссть, то сложная функция может оказаться и неинтегрнруемой. Вот пример". В качестве функции у'(х) иозьмем ту, которая была уже изучена выше в 1); она ннтегрируема в промежутке [О, 1], причем значения ее также не выходят за пределы этого промежутка. Далее, пусть р(у)=1 для О«у «1 и (е(0) = О. грункцня Ч!(у) также интегрируема в [О, 1], г"ложная же фунт!на т(ге(х)), как легко видеть, совпадает с функцией д и р и хл е [см. 2)]: она не ингегрируема в [О, 1], 301. Нвжинй и верхний ивтеграяы кан пределы. В заключение мы вернемся к нижнему и верхнему интегралам, которые в и' 296 бьшн определены как т очны е г ра я и цы сумм Д арбу е и Я. Мы покажем теперь, что вместе с тем они явлтотся и пределами названных сумм. Тнорнмгг Дарббг.
какова бы ви была ограниченная взунквия г(х), для нее всегда 1 =1!ш л, (е«йш Я. г-о г-о Доказательство проведем, например, для верхних сумм. Прежде всего, по наперед заданному е О, возьмем такое разбиение промежутка [а, Ь], что для отвечающей ему верхней суммы Я' будет 5' 1*+ —; 2 20Ц 107 з ь опгедялвния и условия сущвствовгцзи» цо возможно, так как 1* служит точной нижней границей для множества верхних сумм. Пусть зто разбиение содержит т' (внутренних) точек деления. Положим теперь д= 2т711 где И означает колебание функции 1(х) во всем промежутке [а, Ь], и рассмотрим п р о и з в о л ь н о е разбиение промежутка, для которого все г)х;«б; пусть ему отвечает сумма 5. Для того чтобы оценить разность между 5 и 1', введем еще третье разбиение нашего промежутка, объедение точки деления первых двух разбиений.
Если соответствующая ему верхняя сумма есть 5", то, по 1-му свойству сумм Д ар 6 у [296), 5"~5', так что и подавно [см. (9)) 5" 1»+-. 2 (1О) С другой же стороны, по замечанию и' 296 разность 5 — 5" не превосходит произ- ведения 0 на сумму длин г)хз тех промежутков второго разбиения, внутрь которых попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков ие больше т', а длина каждого из них меньше д, так что г 5 — 5" гн'Пд= —, 2 откуда, в связи с (10), 5 1*+в. Так как, с другой стороны, 5г»1», то, лщпь только, (хг . б, 0-ж5-1» е так что, действительно, 5-1».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
