Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отсюда все Н выразятся через три из ннх: (эв е) )в(1 гв)(1 в(г Д1 — гв)(1 явяв) (е'- а) в(к )Г($ кв)(1 ьвгв) Г! Ов =уг -аГо т. е. окончательно через 3„), и Н,. Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при м н и м ы х значениях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяснения по этому поводу, отсьглая читателя к 5 5 главы ХП. Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к такому общему заключению: все эллиптические интегралы с помощью элементарных подстановок — и с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном виде, — приводятся * к следующим трем стандартным интегралам: в(г Г Гв- ч~-в в' Вягэйг:вввв (О )с . 1) авг ьв Гв"РВ:вы (последний получается нз Нг введением, взамен аыО, нового пара1в метра й= — -).
Эти интегралы, как показал Л ну в илль (!. влоцчгйе), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр назвал эллиптическими интегралами, соответственно, )-го, 2-го и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него, еще (комплексный) параметр й. Лежандр внес в эти интегралы еще дальнейшие упрощении, выполнив в них подстановку г =з)п р ~у изменяется от О до -1 . Прн этом первый из них непосредственно переходит в интеграл )Т-хвипар в Хотя выше даны достаточные углзавия для того, чтобы вопрос о приведении произвольного эллиптического шпеграла к упомянутым трем мог считаться принциги алано решенным, но на практике ва этом пути могут встретиться трудности. В специальных монографиях, посвященных эллиптическим ингегралам и смеюшм вопросам, монне найти другие практически удобные приемы для этой цели, 2931 93 1 5.
эллиптические интеГРАлы Второй преобразуется так: 1 — == 4 — 4' 5!Л«|Р ««2«1 г ««9«1 г.г —; — —,— Г Г) ~ ~2 51П2 5192 )Г! — «««51п«2« ~ )' ! «««5!Л«2« т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу ~ Я вЂ” й2 251Л2 «р «1р. (1 2) Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в пэ« (1+Ь51п«««) '!'1-~ЯР (13) Интегралы (11), (12) и (13) также называются эллиипшчеекими инеегралами 1-го, 2-го и Зго рода — в форме Лежандра. Из ннх особую важность и частое применение имеют первые два. Если считать, что эти интегралы при 9«= 0 обращаются в нуль, и тем фиксировать содержащиеся в них произвольные постоянные, то получатся две вполне определенные функции от 9«, которые Л е ж а нд р обозначил соответственно через Г()«,9«) и ЕЦс,92).
Здесь, кроме независимой переменной «р, указан также параметр /с, называемый м од у л е м, который входит в выражения этих функций. Л е ж а н д р о м были составлены обшнрньге таблицы значений этих функций при различных р и различных I«. В них не только аргумент 92, трактуемый как у г о л, выражается в градусах, но и модуль й (правильная дробь!) рассматривается как синус некоторого угла О, который и указывается в таблице вместо модуля, и притом также в градусах. Кроме того, как Л е ж а н д р о м, так и другими учеными были изучены глубочайшие свойства этих функций„установлен ряд относящихся к ннм формул и т. д. Благодаря этому функции Г и Е Л ежандр а вошли в семью функций, встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями. Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в конечном вице«.
Однако было бы ошибочно думать, что этим ограничиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллиптические иатегралы Г и Е являются примерами таких функций, которые плодотворно изучаются по их интегральным выражениям и с успехом применяются, хотя и не могут быть представлены через элементарные функции в конечном виде. Мы еще вернемся к интегралам Г и Е в следующей главе и вообще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ й 1.
Определение и условия существования определенного интеграла 294, Другой подход к задаче е площади. Вернемся к задаче об определении площади Р криволинейной трапеции АВС11 (рис. 4), которой мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас д р у г о й и о д х о д к решению этой задачи е.
У Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок (см. рисунок). Заменим теперь приближенно й д 0 а ха, е ем каждую полоску некоторым пряРис. 4. моугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совладает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фшурой, составленной из отдельных прямоугольников.
Обозначим абсциссы точек деления через ха=а х, ха х; хгм ... х„=Ь. ' Обобщая при этом идею, уие однажды примененную в часпюм примере 132, 41. Основание 1-го прямоугольника (1=О, 1„2, ..., н — 1), очевидно, равно разности хт+т-хм которую мы будем обозначать через т)х;. Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна у;= 1'(х). Поэтому площадь 1-го прямоугольника будет у;.'1х,=Дх;) т)х... 1 1. ОпРгделениВ и услОВия сущестВОВАния Просуммировав плогцади всех прямоугольников, получим и р нб л н же ни о е значение площади Р криволинейной трапеции л-1 л-1 Р— ь;У, у, Ах; илн Р--,~Дх,) Ах,. 1=О 1=0 Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех Ахг стремится к нулю.
Точное значение площади Р получится как и р вдел: Р=1пп~у,Ах;=1пп~)'(х,) Ах„ (2) в предположении, что все длины Ах; одновременно стремятся к О. Тот же прием применим и к вычислению площади Р(х) фигуры АМ)»г)) (рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы отрезок АИ. Заметим еще, что случай, когда у= Дх), принимает и отрицательные значения, исчерпывается заключенным в 264 услонием считать площади частей фигуры под осью т отрицательными.
Для обозначения с у м м ы вида ~у Ах (вернее сказагь — и р сдельногого значения этой суммы) Лейбниц н ввел символ у сгх, где у ых напоминает типичное слагаемое суммы, а) есть стилизованная буква о — начальная буква латинского слова «Зпшша»*. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ сохранился н для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать ~ у(х) «1х, если речь идет о переменной площади, и » ~ /(х) с»х а — в случае площади фиксированной фигуры АВСВ, отвечающей изменению х от а до Ь.
Мы воспользовались интуитивным представлением о плошади, чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобразнык сумм вида (2) (которые исторически и были введены в связи с задачей о вычислении площади). Однако самое понятие площади нуждается в обосновании, и — если речь идет о криволинейной трапеции — оно достигается именно с помощью упомянутых пределов. Разумеется, этому должно быть предпослано изучение пределов (2) * Термин «внтеграл» (от латинского »пгейег — целый) был предложен учеником нспоцввжввкОм Лейб ница Иоганном Бернулли (1ой. Негпопйй); Лейбл в ц первоначально н говорвл «сумма».
Гл. зх. ОпРеделенный ингегвял самих по себе, отвлекаясь от геометрических соображений, чему и посвящена настоящая глава, Пределы вида (2) играют исключительно важную роль в математическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут неоднократно повторяться на всем протяжении курса. 295.
Определение. Пусть функция г(х) задана в некотором промежутке (а, Ь). Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между а и Ь точки деления (1). Н а и б о л ь щ у ю из разностей Ах!=х!+з-х! (з=О, 1, 2, ..., и-1) будем впредь обозначать через 2. Возьмем в каждом из частичных промежутков (х!, х!+!) по произволу точку х = с! * х; Ь!* хз!з(!'=0,1, ...,и — 1) и составим сумму и-1 !=о *1 а — 2~ в выполняется при любом выборе чисел Ь!.
Записывают это так: 2=!ппа. х-о (3) Этому определению яиа языке е-дя, как обычно, противопоставляется определение сна языке последовательностейя. Представим себе, что промежуток (а, Ъ] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть о с н о в н о й, если соответствующая последовательность значений 2 2„2я, 2в, ... сходится к нулю. Равенство (3) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы а, отввчаюи1ая любой о е н а в и о й поеледовательиостиразбиеиий промежутка, всегда стремится к пределу 2, как бы ни выбирать при этом Ь!. Доказательство равносильности обоих определеник может быть проведено в том же порядке идей, что и в 53.
Второе определение я Выше мы в качестве с! брали во всех случаях вавмевъшее значение х!. Говорят, что сумма а при 2- 0 имеет (коиечный) предел 1, если для каждого числа в. 0 иайдетея такое число Ь. О, что, лить только 2 Ь (т. е. основной промежупюк разбит иа части, е длинами Ах! Ь), неравенство 296! ! !. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый вед предела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
