Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, если считать, что т н М суть наибольшее и наименьшее значения функции, существующие по теореме В е йе рштр асса, 85, то и промежуточное значение,и, по теореме Боль цано — Коши, 82, дол- жно приниматься функцией Дх) в некоторой точке с промежутка г(с) [а, Ь). Таким образом, ,а 4 х ~лх) Ых = (Ь вЂ” а)Лс), в с в а Ряс.
5. где с содержится в [а, Ь]. Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть у'(х)~0. Рассмотрим криволинейную фитуру АВСЮ (рнс. 5) под кривой у =Ях). Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая определенным В Г. М. Фааааагаааа, а. Н 114 ГЛ. 3Х, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ интегралам) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой ТМ в качестве высоты. 10'. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) Т(х) и е(х) интсгрирувмм в промежутке '(а, Ь); 2) т-;у(х)тМ„З) е(х) во всем промежутке нс меняет знака: е(х)~0 (ф(х)~0].
Тогда в ь ь ()~(х)1((х) йх = (л() е(х) (Ы, гдс т-(л~М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала е(х) ~0 и а. Ь; тогда имеем те(х) мДх)е(х) ~ МР(х). Из этого неравенства, на основании свойств б' и 3', получаем т ~ е(х) Фх ~ ~Дх)е(х) |(х- М~ е(х) дх. Ввиду предположения о функции «(х), по 5', имеем ь ~е(х) |(х ~ О. а Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно, что одновременно также ~у(х)д(х)||к=О, а и утверждение теоремы становится очевшгным.
Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двойного неравенства, положим ~у(х)В(х)г(х а =(л ~ в(х) дх в и придем к требуемому результату. * Самое существование интеграла от произведении у"(х)В(х) следует нз 299, 11. Впрочем, мозно было бв| вместо ннтетрнруемостн функции Дх) непосредственно предположить ннтетрнруемоеть самого произведения у(х) В(х). Пб з 2. ьиоыьтВА онвьдю1ю1ны: ннгыеАлои От случая амЬ легко перейти к случаю а»Ь, равно как от предположения д(х)1»0 — к предположению я[х)- 0: перестановка пределов или изменение знага е[х) не нарушат равенства.
Если Дх) непрерывна, то зта формула может быть записана следующим образом: ') у'[')б[х)д =-.1[с)~ И[- ) 1Ь1, а где с содержится в [а, Ь]. 305. Определенный интеграл как функция верхнею предела. Если функция Дх) интегрируема в промежутке [а, Ь] [а Ь), то [299, 1П] она интегрируема и в промежутке [а, х], где х есть любое значение из [а, Ь]. Заменив предел Ь определенного интеграла переменной х, получим выражение * х Ф[х) = ~Яг)дг, а которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает следующими свойствами: 11'. Если функция у[х) интвгрируема в [а, Ь], то Ф[х) будет непрерывной функцией от х в том оке нролгежутке. Д о к а з а те л ь с т в о. Придав х произвольное приращение г]х=Ь (с тем лишь, чтобы х+Ь не выходило за пределы рассматриваемо~о промежутка), получим н о в о е значение функции (1) х.1 Ь х х+1 Ф(х Ь)=[,1ЯЛ=~+1 а х [см.
2'], так что «+ а Ф[х ь Ь) — Ф[к) = ~ у" Я 11г. Применим к атому интегралу теорему о среднем значении 9' Ф[т ь Ь) — Ф[х) = рЬ; [2) здесь р содержится между точными границами т' и М' функции Дх) в промежутке [х, х, Ь], а следовательно, и подавно межцу (постоянными) границами ее т и М в основном промежутке [а, Ь]*". * Переменную интегрирования мы обозначили здесь через 1, чтобы ие смешивать ее с верхним пределом х; разумеется, изменение обоз н а ч ел и я переменной интегрирования не отражается на величине интеграла.
а* напомним, что интегрнруемая фунхлия о г р а н и ч е н а 129л1. ь* 1зоя ыд Гл. !х. Опгеднлннный питео'Рвл Если устремить теперь Ь к нулю, то, очевидно, Ф(х е Ь) — Ф(х) О или Ф(х+ Ь) Ф(х), что и доказывает непрерывность функции Ф(х). 12'. Если функцию з(г) предположить н е яр е р ы в н о й в то~ке (=х, то в этой точке функция Ф(х) имеет производную, равную у'(х) Ф'(х) = г'(х). Доказатслос гво. Действительно, нз (2) имеем Ф(х.~. Ь) — Ф(х) — =-р, где т' (о~д('. Х(х) -е-.у(Г)-)(х),.е для всех значений ( в промежутке (х, х+Ь].
В таком случае имеют место и неравенства Дх)-е .т'.н(х*аМ' .Ях)ее, так что ~ р-Х(х)! -е. Теперь ясно, что Ф'(х) = Йп — = 1пп )з = )'(х), Ф(х+ Ь) — Ф(х) о-о о-о что и требовалось доказать. Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию у(х) н е п р ер ыв н о й во всем промежутке (а, Ь], то она интегрируема (298, 1], и предыдущее утверждение оказывается приложимым к любой точке х этого промежутка: производная от интеграла (1) по переменному верхнему пределу х везде равна значению )'(х) подшгтегральной функции на этом пределе.
Иными словами, для непрерывной в промежутке (а, Ь] функции г'(х) всегда существует первообразная; примером ее является определенный июпеграл (1) с переменным верхним пределом. Таким образом, мы, наконец, установили то предложение, о котором упоминали еще в 264. В частности, мы теперь можем записать Функции Г н и Лежандра 12931 ввиде определенных интегралов де р(г,т)= ' ]Г(-Ьоп В о Л(г, Ф).= ~ У(- Ь йп* В ВВ. Но, ввиду непрерывности функции г"(() при (=х, по любому е О найдется такое Ь О, что при )Ь~ Ь зпб! 117 1 Х СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Пе доказанному только что, зто будут первообразные функции, ееотве«етвенно, для функций 1 )11 - А«з!п«Г )71 — к«к!Л«~о и притом Обрап2аюц1иеея в О при и=о.
Производная от этого интеграла по х, очевидно, равна — Дх) (если х есть точка непрерывности). 30б. Вторая теорема о среднем значении. В заключение установим еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведения двух функций 2 = ) дх)фх) !ух. Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства следующего предложения: 13'. Если в промежутке (а, Ь) (а Ь) Лх) монотонно убывает (хотя бы в и!проком смысле) и неотр2п7тпельна, а е(х) интегр22руема, то ~ ~(х)дЯ г(х =у (а) ~ Кх) дх, (3) где с есть некоторое значение из названного промежутка. Разбив промежуток [а, Ь'! произвольньпи образом на части с помощью точек деления х; (1'= О, 1,..., и), представим интеграл 1 в вине «4« пь ~ Ях)фх) Йс = ~ 7"(х!) ) Е(х) дх -' и-2 Г + Д' ) (7'(х) - !(х!))Ь(х) е(х=о В О. ,.=.е Если через Е обозначить верхнюю границу для функции ~фх)~, а через о1, (как обычно) колебание функции 1'(х) в !еом промежутке 3 а м е ч а н и е.
Утверждения, доказанные в настоящем и', легко распространяются на случай интеграла с переменным н и ж н и м пределом, так как (1') ь ыз 1зоа Гл. 1х. ОпРеделеннын интегРАл (ХН ХРР1) ДЛИНЫ ЛХ1, тО, ОЧЕВНдНО, л-1 л-1 (й) н~ ~ ~Дх)-Дх1)((д(х)( 11х~Т,~Е1рдх1. 1=О 1 Л Отсюда ввиду интегрируемости функции Г"(х) (298, 11Ц ясно, что о О при л=шах1)х1 О, так что 1=!пп т. 1-а Введем теперь функпшо С(х) = ~я(г) пг а и с ее помощью перепишем сумму о так: л-1 о =,5 Лх1)(С(х1 +1) — С(х,)) или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые, л-1 о = ~ С(х) ЯХ1-1) — 1 (х1)] + С(Ь)у (х„-1).
Непрерывная функция С(х) (305, 11'), при изменении х в промежутке 1а, Ь~, имеет как наименьшее значение и, так и наибольшее значение М [йэ1. Так как все множители У'(х, 1)-Ях,) (при 1=1,2, ...,л — 1) и Яхл 1), в силу сделанных относительно функции г"(х) предположений, неотрицательны, то, заменяя значения С соответственно через т и М, мы получим два числа: л11"(а) и МДа), между которыми содержится сумма а, Между теми же числами, очевццно, содержится и интеграл 1 как предел этой суммы, или иначе 1=111(а), где л1~д~М.
Но, по непрерывности функции С(х), в промежутке (а, Ь) найдется такое значение с, что Н=С(5) (нл1. Тогда 1 = Яа)С(с), шо равносильно формуле (3). 119 Ь 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Аналогично, если функция Дх), оставаясь неотрицательной, монотонно возрастает, то имеет место формула ()1ЯЯх) дх =~(Б)Г~е(х) йх, где а~с ьЬ. Эти формулы обычно называют формулами Бонне (О. Воппет). Наконец, 14'. Если сохранить только предположение о монотонности функции Ях), пе требуя ее пеотрицательпости, то можно»тверждатье ') з (х)н(х) дх =Яа) ~ я(х) с3х ьз (Ь) ~е(х) Ах (4) (аде э) Действительно, пусть, например, функция у(х) монотонно убывает; тогда, очевидно, разность 1(х) — Г(Ь)и О, и стоит только к этой функции применить формулу (3), чтобы после легких преобразований получить (4). Доказанная теорема и носит название второй теоремы о средпе.и значении 1ср.
304, 10а). Следующее простое замечание позволяет придать сй несколько более общую форму. Если изменить значения функцйи у'(х) в точках а и Ь, взяв вместо ннх любые числа А и В под условием лишь А~у(ад О) и В~У(Ь-0) (сслн у' убьпает), А~ЯаьО) и Ви ЯЬ-0) (если у' возрастает), то не только значение интеграла 1 не изменится, но и сохранится монотонность функции у(х), так что по образцу (4) можно утверждать ь е ь ~,У'(х)й(х) дх =А ~ й(х) дх -, В~ й(х) ах. (5) В частности, ~ У'(х)й(х) а)х = г'(а ь О) ~ е(х) дх ь ЯЬ вЂ” 0) ~ е(х) ах. (5ь) Здесь, как и выше, с означает некоторое число из промежутка (а,Ь), но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
