Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 23
Текст из файла (страница 23)
( -ц)!! Нп" х сон' х Лх —. " Может случиться, что функция Дх) определена и непрерывна в более широком, чем [а, Ь), промежутке [А, В), тогда достаточно потребовать, чтобы значения рй) не выходили за прелелы промежутка [А, В]. 313. Формула замены переменной в определенном интеграле. Та же основная формула (А) позволит нам установить правило замены переменной под знаком определенного интеграла. ь Пусть требуется вычислить интеграл ) Лх) Их, где Дх) — непреа рывная в промежутке !л, Ь) функция.
Положим х =у(1), подчинив функцию |р[!) условиям: 1) ~р(1) определена и непрерывна в некотором промежутке (а,Я и не выходит за пределы промежутка [а,Ь)*, когда 1 изменяется в [и,Я; 3141 135 1 3. Вычисление ОпРеделенных интеГРАЛОВ 2) у(х) =а, ~р(1т)=Ь; 3) существует в (х, р] непрерывная производная р'(1). Тогда имеет место формула (9) Ввиду предположенной непрерывности подннтегральных функций существуют не только этн определенные интегралы, но и соответствующие нм неопределенные, н в обоих случаях можно воспользоваться основной формулой.
Но если Ь(х) будет одной из первообразных для первого дифференциала Ях) с1х, то функция Ф(т) = Г(9(1)), как мы знаем, будет первообразной для второго дифференциала г"(1р(1))у'(1) й (ср. 268). поэтому имеем одновременно ь ) у(х) а1х = Р(Ь) — Г(а) ~ Яр(Г))гр'(1) г11 = Ф(р) — Ф(х) =- Е(9(15)) — Ь (5с(х)) = г(Ь) — Е(а), откуда н вьггекает доказываемое равенство.
3 а м е ч а н и е. Отметим одну важную особенность формулы (9). В то время как при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной через переменную б мы должны были возвращаться к старой переменной х, здесь в этом нет надобности. Если вычислен второй нз определенных интегралов (9), который представляет собой число, то тем самым вычислен н первый. 314. Примеры. 1) Найдем интеграл ~)1аа-ха Нх с помощью подстановки о х=айп г; роль и и р здесь играют значения О и —. Имеем 2 аа! нп 2Н) Д ла' )гаа — ха ах = аа ) созе г аГ = — '(г Ч- — ) ~ 2 2 ~е 4 о о (ср. 2ба).
2) Вообще при я натуральном с помощью той ие подстановки получим а д 2яй (аа — ха1а их=огана ) совал+а сан=агам (2ин 1)и о о [314 13б !'Л. 1Х. ОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ (см. (8)), и аналогично „вЂ” в — (2« — 1)й л (ав - хв) в ггх = ав« 2лй 2 ' о ви ~)'хв - а' ггх, хг а 3) Подстановка х=а вес 1; пределам а и 2а переменной х отвечают пределы 0 и л/3 переменной г. Находим «,3 г 1 в,.пв г,«гз )Г3 — ~ юп" гсов 1ггг=-— ав а' 3 о 8а' о 4) Рассмотрим интеграл хюпх ггх. 1 ! сов'х о Подстановка х=л — г (где г изменяется от л до О) приводит к равенству « « хюлх ~(л-с)вшг ггх= 1 гй 1+савв г 3 1-~-савв 1 о о или хюпх юпг г гюлг ггх= « 1 ггг — " - ггг. 1РСОВ'Х 31+Ссзвг .1 1+СОВ«в о о о « хюпх л г юпг л («лв 4х=- ~ й=- --агсгй(совг) ~ 1+савв х 2 1+сове г 2 1о 4 о о Ср. ниже 11), где этот прщгер будет обобщен.
1 г(п (1+х) 5) Вычислять интеграл э = 31 ггх. 1+ х' о Подстановка х=18(о ~где й изменяется от 0 до — 1 переводит его в 4) «ув 1п(1418р) гге. Но о )г'2 юп ~ — +(в) 1 Ргйр Перенеся последний интеграл (в котором вместо г снова можно написать х) на- лево, получаем 137 314! 3.
ВЫЧ4ЛСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЬПГ ИНТЕГРАЛОВ так чтО :Н Гг Г 1х = — !и 2 = ~ !и 5!и ~ — Ь р) 479- ~ !и сох р Ыр. =а =3 !(4 Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстановкой р= — -И, причем р изменяется от — до О), то окончательно 4 4 4= — !л2.
8 1 Г агсГйх Заметим, что то же значение имеет и интеграл ) 47Х, в чем легко 1фх с яги "агсгй.х 1 — Ых = — ~ — 4ГГ. х 2 5!Ог с с Указание. Подстановка х=-гн —. 2 7) Преобразовать один в другой интегралы гй (х — , ')гх1- ! Созр)" 479= ( (х — )~х' — 1 сох 6)"+' с О считая х 1 н л — натуральным. Это достигается путем преобразования переменной по формуле (ХР !Хг — 1 СОзр)(Х вЂ” )~х — 1 Ссз 9) =- !. Отсюда — )гх' — ! Ехсозй С05 $' = Х вЂ” )'Хх-! СО5 9 причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы, и каждому 9 в промежутке (О, ч] однозначно отвечает некоторое р в том же проме- жутке.
При 9=0 или л также и 9=0 нли и. Имеем 5!и 6 79 алрг!ф= (Х вЂ” ) Хг — 1 СО5 6) и так как так что окончательно (х-'Г ~хх — 1 со5р) 479 (х — )(х' — 1 сок 9) ОП4УДа и слелует требуемое равенство. убедиться интегрированием по частям 6) Установить, что 5!л 6 5)п 6 =— Х вЂ” )(Хг — 1 С05 6 И6 то И1г.= Х вЂ” ! Хз — 1 СО5 6 [314 138 гл. гх. опиидилинныи интипил [Залгегим, что оба интеграла (с точностью до множителя л) выражают л-й многочлен Лежандра Ра(х), ПЗ, б).) 8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке [О, о) (а 0) функция 1(х), всегда а а г(х) Их= ~/(а — г) Ш а с (подстановка х=л — с, а г=О).
В частности, так как созх=мп л — х), то прн [2 любой непрерывной функции г"(и) будет г(зю х) 0х = ~ г(соз х) Их. 9) Пусть у(х) непрерывна в симметричном промежутке [-а, а) (а 0). Тогда в случае четной функции [99, 2эг) а а Лх) Ых =. 2 ~ У'(х) Фх, -а а а в случае нечетной а ~ Дх) а(х= О. — а а а а В обоих случаях интеграл ~ представляется в виде суммы интегралов ~ + — а — о и к первому из них применяется подстановка х = -г. 10) Пусть имеем непрерывную пер поди ч е с к у ю функцию э(х) с периодом аь так что при любом х у(хааа) =)(х).
Тогда в л ю б ы х промежутках с длиной га, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же значение а+ ~ Дх) г)х = ) у (х) Ых. а а а+~ е ава Для доказательства разлагаем: ~ =- ~ -1- ~~ + ~ и, применяя к третьему а а а а интегралу справа подстановку х= гьш, убеждаемся, что ои лишь знаком разнится от первого. 11) Доказать, что а ху(з! и х) Ых = — 1 у (з(п х) г)х, 2.~ а а где у(и) — любая непрерывная в промежутке [О, 1[ функция. !39 314! 1 з.
вычислннив Оцввднлннных ьвнтьтвллов Указание. Воспользоваться подстановкой х= л-г. 12) Доказать, что я(а сов 0 4 Ь яп О) 5/О = 2 ~ 9()/аь-5 Ь! сов Л) 5/Л, где р(и) — любая функция, непрерывная для ]и]-)/аь+ьч Определяя угол а соотношениями Ь япа= )оа'Ч-Ь) а сова= имеем асов 0 ЬЬ5!и 0 )и1-1Ь'соь(0 — а). В силу (10) моюю нацясагь ~ Р(асоь 04ЬЯп 6) г/6 =- ~ 9(]/а'-50'сов (0 — а)) 5/0 нли, если положить 6-а=ь и использовать 9), р( )/аь+ Ьь сов Л) 5/Л = 2 ) р()/аь+ Ьь сов Л) 5/Л.
— л о и получаем я/5 Л (5!и 2и)(со5 и.~;яп и) 5 а. о Здесь мы делаем замену переменной, исходя ю соотношения яп 2и=соь'г; возрастанию и от О до л/4, очевцдно, отвечает убывание о от л/2 до О. Дифференпируем со52иЫи= -яп есовоЫо; учвтывая, что сов2и=)/]-5]п52и=)/1-совье в!це)/1+соььо и 1+ соя е = 1 Ь 2 яп и сов и = (яп и+сов и)', находим окончательно (яп и+сов и) 5/и= -сов ейо.
Теперь уже нетрудно получить требуемый результат. 13) Доказать„ что я/5 Яз у(яп 2и) сови565= ~ у(соьв о) сов 55/о, о о где 0(5) — любая непрерывная функция от х в промежутке ]О, 1]. я/5 /5 Юв Представив первый интеграл в виде суммы интегралов о о ./1 подстановкой и= — — и' приводим и второй из иих тоже к промежутку [О, л/41 2 [З14 гл. ~х. опвндвлпниый интнгвал 14) В заключение вернемся к интегралу П у а с с о н а !(г) = ~ 1и (1 — 2г соа х+ г') г(х е [ср.
307, 4)!. Мы уже знаем, что при [г~ и 1 подинтегральная функция непрерывна и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого искусственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную роль. Заметим предварительно, что из очевидвь!х неравенств (! — [г[)чм) — 2гсозх+гг*н(14[г))', лотарифмнруя и затем интегрируя от 0 до л, получаем (при [г[ 1) 2л !и (! — [ г[) !(г)~2л !и (! 4 [ г[).
Отсюда ясно, что при г 0 и Цг)-0. Рассмотрим теперь щпетрал л 1(- г) =- ~~ !п (! ч-2г соз хо г ) ~[х. е Если в этом интеграле положить х=-л — г, причем г изменяется от л до О. то ока- жется, что 1(-г) = [ 1п(1+2г соя(л-г)+г') е(л — г)= [ 1п(1 — 2г сов гвгг) й42(г). В таком случае 2!(г) 4 2(г) 4 !( — г) = ~ 1п [(! — 2г соя х г гз)(1 т 2 г соз х Ч г )[ г х 2!(г) = ) 1п (1 — 2гз соз 2х-1-гз) Кт. е Полагая х= г/2 (где г меняется от 0 до 2л), получим в тв 1г 1г 1г 2[(г)=-)! 1п(1 — 2г'соя г+г') г)т=-~ 4 — ~ . 2 2 2 е Последний из полученных интегралов подстановкой ! = 2л-и (где и меняется от л до 0) приводится к первому, так что у нас получается 1 2т(г) = йгз), откуда !(г) .= — !(гг).
2 Заменяя здесь г на г' и т. д., легко получить общую формулу 1 )(г)=.— )(гг") (л=1, 2, 3, ...). 2л 315! 1 3. Вычислннин ОпРВДВЛВнных интнггллов Пусть теперь ! г! ч 1, так что г'" О при л -; так как при этом (согласно замечанию вначале) г(гь") О, то должны иметь тождественно 1(г) = О при ! г) 1. Легко теперь вычислить этот интеграл и при !г( 1. В самом деле 1 1! 1-2гсоьхь г'= гь ~! -2 — сот ха — ~ г 1 !и(1 — 2г сок хуг ) =. 2 !и !г! —,'-!и ~1 — 2 — сот х !.— ~ г гь гак что, интегрируя от О до л, будем иметь !1! 1(~)=-2л1и ! г! Р)~ — ~ .
г (1! Но, по предыдугиему, )~ — ~ -О; следовательно, при )г! 1 имеем Г г(г)=2л !и (г!. Те же результаты мы получили и в 307. 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена. В качестве еще одного примера иа замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную Гауссом (С. Г. Паиьь) лля п(юзбразоаания интеграла 6= ~ — ( -Ь-О). "1'аь соьг у+ Ь- Виь у е Положим здесь 2аь!и 6 ь!Ву-— (а-ЬЬ)-Ь(а-Ь) Впь 0 легко видеть, что при изменении 6 от О до л)2 и у растет в тех же пределах. Диффереицируем (а+Ь)-(а-Ь) ь!и' 6 соь у Ыу =: 2а соь 6 г(0. ((а+Ь)-1-(а-Ь) ьюиь 6!' Но ялзт-'т:ь' ' '6 сову = соь В, (а у 0)+(а- Ь) ь!и' 0 так что (ау Ь) — (а — Ь) ь!и' 0 ~(6 И =-2а (аЧ-Ь)у(а-Ь)ь!и В )'(а, Ь)ь — (а-Ь)ьь!иь В С другой стороны, (ауЬ)-(а-Ь) пи' 0 Гх гчьь' =. (а+Ь)+(а — Ь) ь!иь 0 и окончательно !Iагсоььу-гбььюьу ! а';Ь ь / - — сола 1-аЬпиь6 2 [315 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
