Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Второе легко приводится к первому возведением в квадрат. 3) Перейдем, наконец, к неравеисгву И си сена [144 (12*)]: (15) здесь функция 5"(х) предполагается в ы и у к л о й в некотором промежутке К, которому принадлежат точки х;; рь — положительные числа. Пусть в некотором промежутке [а, 5] задана функция 55(х), значения которой содержатся в л, и п оложительная функция р(х). Теперь х; будут означать точки деления промезгутка [а, Ь]; прежние хь в (15) заменим на р(х,), а р; положим равными р(х;) Лхь.
Переходя, как н вьппе, от иншгральных сумм к интегралам, получим ишиагрлльлаа неравенство ХХел с а на: ) р(х)е(х) г(х 'а ~ р(х) у(е(х)) ь(х а Ь ~ р(х) а(х а [ р(х) Ых а й 5. Приближенное вычисление интегралов 322. Постановка задача. Формулы ирямоугольввков н трапеций. Пусть требуется Ь вычислить определенный интеграл ~Дх) а(х, где у'(х) есть некоторая заданная а в промежутке [а, Ь] непрерывшш функдия. В $3 мы имели много првмеров вычнслснвя подобных интегралов, либо с помощью первообразной, если она выражается в конечном виде, либо же — минуя первообразиуго — с помощью различных приемов, большей часпю искусственных. Нужно отметнтгь однако, что всем этим исчерпывается лишь довольно узкий класс инзвгралов1 за его пределами обычно прибегаютк различнымметодам при 6 ли пенного вы ч и слепня.
В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов, в которых приближенные формулы для интегралов составляются по пекоторому числу значений подинтегралъной функции, вычисленных для ряда (обычно равноотстоящих) значений независимой переменной.
Первые относящиеся сюда формулы проще всего получаются из геометрн- Ь ческих соображений. Истолковывая определенный интеграл ~ /(х) а(х как площадь а некоторой фигурьг, ограниченной кривой у — -1'(х) [204], мы и ставим перед собой задачу об определении этой плошади. 1522 154 гл. пх. опвнднлвниый иитиг лл Рис. б. Рис. 7. хп-~-хге, на практике обычно берут Ьг= =луп л; если соответствующую сред- 2 нюю ордвнату у(Ь;) =)(хгь Ь) обозначить через уьь Ь, то формула перепишется в виде ь Ь вЂ” а У(х) п(хгь (У*а+У Ь-Ь... +Ул г). Впредь, говоря о формуле пр я м о у гол ь ни к о в, мы будем иметь в виду именно эту формулу. Геометрические соображения естественно приводат и к другой, часто применяемой, приближенной формуле.
Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (х;, у ), где у;=Дх~) (г О, 1, ..., л-1). Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состояшей из ряда трапеций (рис. 7). Если по-прежнему считать, что промежуток [а, Ь) разбит на равные части, то плошали этик трапеций будут Ь-и У,+У, Ь вЂ” а У,+У, Ь-а Ул, '-У л 2 л 2 л 2 Складывая, придем к новой приближенной формуле ь , Ь о /Уптул )(х) пгх- +Упч-Уп+ +Ул-г) . л 2 (2) * Мы сохраняем обозначения и' 294. Прежде всего, вторично используя ту мыслгч которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. б) иа полоски, Ь вЂ” а скажем, одной и той же ширины* г(хг, а затем каждую полоску приблил женно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат.
Это приводит нас к формуле ь Ь вЂ” а а где хгмЬгчихьы (1 О, 1, ..., л- 1). Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из п р я м о у г о л ь и и к о в ступенчатой фигуры (или — если угодно — определенный и н т е г р а л заменяется интегральной суммой).
Эта приближенная формула и называется куормуяой лрямоугояькикое. 3221 155 В 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ Это так называемая форлаула трапешы. Можно показать, что при возрастании л до бесконечности погрешности формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким образом, при достаточно большом л обе зги формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности, Для примера возьмем известный нам интеграл а1х х — 0,785398...
1 6х' 4 с и применим к нему обе приближенные формулы, беря л = 1О и вычисляя на четыре знака. По формуле прямоугольников имеем = 0,9975 = 0,9780 = 0,9412 7,8562 По формуле же трапеций ха=0,0 у,= 1,0000 хав=10 уав=05000 сумма 1,5000 10 ( 2 Ч 7'0998) = 0,78498 х,=0,9 сумма 7,0998 Оба полученных приближеннык результата обладают примерно одинаковой степенью точности — они разнятся отистинного значения (в ту и в другую сторону) меньше чем на 0,0005, Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оценить здесь лишь потому; что наперед знали точное значение иатеграла. Для того чтобы ныли формулы были действительно пригодны для приближениык вычислений, ха 0,05 у, ха =0,15 уа lз ' !а хв =025 ув аз ' /а хЧ =0,35 у, .ав5 = 0 45 уз, а Iа хп =0,55 уц з хм = 0,65 у,а !а ' /в хы = 0,75 уп 5а ' Сз тп =0,85 уа, хм 5 — — 0,95 уаа = 0,8909 = 0,8316 7,8562 0,78562 0,7030 0,6400 = 0,5806 = 0,5256 х, 0,1 х,=0,2 хз=0,3 х,=0,4 х,=0,5 хв-'06 х,= 0,7 ха=08 у, = 0,990! у, = 0,9615 Уз = 0,9174 у, =0,8621 Уа = 0,8000 Ув = 0,7353 Уа = 0,6711 Уа = 0,6098 у, = 0,5525 156 [323 ГЛ.
ГХ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не только оценивать погрешность при данном и, но и выбирать и, обеспечввающее требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в и' 325. 323. Параболическое ватеунолирование. Для приближенного вычисления интег- 6 рала ) г"(х) в(х можно попытаться заменить фующию 1(х) вблизкнмв к ней многое членом у=Р»(х)=оах»ьовх» в-~-... -~-а» в»то» (3) и положить 6 6 ) йх) в(х='. ~ Р»(х) в(х. а а Иначе можно сказать, что здесь — при вычислении площадд — данная вкрнваяв у г"(х) заменяется впараболой»-го порядка* (3), в связи с чем этот процесс получил название параболического иппнрполироаогвич.
Самый выбор ннтерполяционвого многочлена Рв(х) чаще всего производят следующим образом. В промежутке [а, Ь] берут»+1 значений незаввсимой переменной «а, «„..., «» и подбирают многочлен Р»(х) так, чтобы при взятых значениях х его значения совпадали со значениями функции Ях). Этим условием, как мы знаем [12й], многочлен Р„(х) определяется однозначно, и его выражение дается ннтерполяционной формулой Лагранжа: (х -«в)(х — «в)... (х -«») (х — «а)(х -«в)...
(х — «») («а «в)(«а «6)' ' '(«а «») («в «а)(«в «в)' ' '(«в «в) (х-«,)(«-х,)...(х — «»,) ")(')' " '(«„;х«„«,) „,(«„«„,) ~" ' ) Дх) в(х — ' (Ь-с)г[ ) . а (4) Геометрически — площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площадью прямоугольника с высотой, равной средней се ординате. При»=1 функция ~(х) заменяется линейной функцией Р,(х), которая имеет одвнаковые с ней значения при х=«а и х=«,.
Беля взять «, а, «в =Ь, то х-Ь х — а Р,(х) — — Да) -~- — — ) (Ь) о-Ь Ь-а (5) ПРи интегРиРованви полУчаетсЯ л п н е й н о е относительно значений У(«а),... ..., Г(«») выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не заввсят. Вычислив коэффициевты раз навсегда, можно ими пользоваться для любой функции /(х) в данном промежутке [о, Ь]. В простейшем случае при» = О, фущщия Дх) попросту заменяется и о с т о я н- в+Ь в о й г"(«6), где «а — любая точка в промежутке [а, Ь], скажем, средняя: «,- —, 2 Тогда приближенно )57 323) 5 5.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ и, как легко вычислить ~х- — ) (х — Ы Р5(х) = Да) + ( - —.)— аеЬ) а- — ) (а-Ы ач-Ы (х-а)~х- — — — ) (х-а)(х — Ы )'ач-61 ~ 2 ) ( 2 — )( — — Ь) (Ь вЂ” ) )Ь вЂ” --2 — ) С помощью легкого вычисления установим ')х- — ) (х — Ь) ь (- ) а(х= — 11(х-Ы+ )(х-Ь)Нх= ач-Ь) (Ь-а)аЭ [ 2 а- — — ) (а-Ь) а 2) а (7) 2 ((х — Ыа Ь-а (х — Ы') ~а Ь вЂ” а (Ь вЂ” а)а1 3 2 2 )~а 6 и аналогично (х — а)(х — Ы Ь вЂ” а 1'--- П-" --') (х-а) ~х — — ) Их =.— аеЬ) 6 (Ь-а) ~Ь вЂ” — — ) 2) а Тавим образом, приходим к приближенной формуле ь ~ Дх) а(х — — ~йа)+4/~ ) +ЛЬ)1 . а а Р,(х) а(х = (Ь вЂ” а) 2 Таким образом, здесь мы приближенно полагаем а Г(а) +Яй у"(х) а(х '= (Ь - а) (6) 2 а На зтот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции: вместо кривой берется хорла, соединяющая ее концы.
Менее тривиальный результат получим, взяв 1=2. Если положить (а=аа, а+Ь вЂ” —, ба = Ь. то интерполяциониый многочлен Р,(х) будет иметь вид 2 158 [324 Гл. !х. определенный интеГРАл 324. Дробление промежутка интегрировании. При вычислении интеграла ~ /(х) ах а можно поступить так. Разобьем сначала промежуток [а, Ь[ на некоторое число, л, равных промежутков [х„, х,], [х» хв[, ..., [хл „хл[ (х,=л, хл" Ы, в связи с чем искомый интеграл представится в виде суммы х, х„ ~ Пх) г(х+ ~, Дх) Нха ...
9 ~ Дх) в(х. (9) Теперь же к каждому из этих промежутков применим параболическое интерполирование, т. е. станем вычислять интегралы (9) по одной из приближенных формул (4), (6), (8), ... Легко сообразить, что, исходя из формул (4) или (6), мы таким путем вновь получим уже известные нам формулы прямоугольников и трап е ц и й, (1) и (2). Применим теперь к интегралам (9) формулу (8); при этом, для краткости, положим, как и выше, хг(-хгэ, г(хв) =-у, ' хеен, г(хьа'6) угэ'ь ° 2 Мы получим Х Ь-а у(х) г)те'.
- — (у„+4ув, +у,), х , Ь-и Х(х) (хгь — (у .~-4ув Ч-ув), бл х 6 †)(х) в(х-с .— — (Ул — вЧ-4ул 9,+Ул) бл кв, Наконец, складывая почленно эти равенства, придем к формуле в Ь-а У(х) гх-'= — — Нуа-ЬУл)+2(у,+Уз+ +Ул — в)+4(ув +Ув,в" аул — 'Ь)[. бл а (РЗ) Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется плошадью фигуры, ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через крайние и среднюю точки криной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
