Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ГЛ. 1Х. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ О 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 307. Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем ряд примеров вычисления определенного интеграла, непосредственно как предела интегральных суъпи — в согласии с его определением. Зная наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для в ыч н с л е н н я его мы можем выбирать разбиение промежутка и точки с, руководствуясь исключительно соображениями удобства.
ь !) [ хь Фх (а, Ь вЂ” произвольные вещественные числа, а Я вЂ” натуральное и число). и Сначала вычислим внтегрол ~ х" г(х (аао). Промежуток [О, а[ разобьем на о и равных чесма, а в каждом частичном промежутке функцню х" вычислим для его правого конца, если а О, и для левого — лрн а О.
Тогда натегральная сумма и (1 '1Ь а 1О+2Ь+, ЛЬ х~ [-а~ .— а"+' ! н, если учесть лрнмер 14) л' 33, и ал.1- г хк ь(х 1пл о„ й+! о Отсюда уже нетрудно получить н общую формулу ь ь и и о о ь 2) ~хл ь(х (Ь»а О, д - произвольное вещественное число). На этот раз мы разобьем промежуток [а, Ь[ на н е р а в в ы е части, а именно между а н Ь вставим л-1 средних геометрнческвх. Иными словамьь положив л 1Гь ч=чл 1/— а рассмотрим ряд чисел ,, агь ..., а,ь, ..., а,л=Ь. Заметим, что прн л- отношение д ол-!, разности же адг+Г-ась асе меньше велвчнвы Ь(д-1)-0. Вычисляя функцию для левых концов, имеем и-1 и-1 и= Х( 41)и(лого'-ась)- +'(о-1) 2'(о е')'. 1 О 1.=О 121 1 3.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Предположим теперь да — 1; тогда ал = ал+'(ч -1) (Ь'1' - ал+г)— 6)ле'- йл+'-1 Слег — ! и, используя уже известный предел (пример 5), (в), 77). получим л 1-1 Ьль' — аа ь' хл л(х=1(ю пл (Ьл ь1 — альл) )пп— Л ,, Сл+ -! !а+1 В случае же И= — 1 будет )Гь а„= л(ал - 1) л — — ! а и на основании друаоло известного результата [там же, (б)] л л — - ! Вп а„- 1цп л ~ — — 1 = 1п Ь - 1и а. х л л а а л Ь вЂ” а 3) ) з1п х л(х. Разделив промежуток (а, Ь) на л равных частей, положим Ь я л функцию з!пх вычислям для правых концов, если а Ь, и для левых прн а Ь.
Тогда ол=й.р;В)п(ал )Ь). 1 1 Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее на Ь 211п-, а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, легко 2' получям л 1 "... Ь ~ ай! (а+В) — 2' 2вю(а+й) жив 11 Ь! 1 2 2 33п— 2 л' — — сО5 ~а 1- — Ь) — сов ~а+ я+ — Ь) — ~ соз а+1- — Ь -соа а+!.Ь вЂ” Ь 2жп- 2 11п— 2 2 Таким образом, '(соа (а'~- Ь) соз (Ь+ Ь)) !22 Гл.
1х. ОНРвднлннный интнГРАЛ Так как Ь -О при л, то » )- ~ япх»(х= йп» --. — ~соя~ач--Ь~ — соя(Ь+ — Ь)~ сова-соэЬ. » О Ь 2 2 яп— 2 Аналогично, исходя нз элементарной формулы * Яп~а+л+ — Ь)-яш~а+ — Ь) ~ соя (а+ 11») = 1 Ь 25!П— 2 (2) легко установить, что В СО» х»(х = яп Ь вЂ” яп л. 4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл я 1п (1 — 2г соя х Ь г»)»(х, о обычно связываемый с именем П у а с с о а а (б.-(З. РО1»эоп). Так как (1 — ! г ) )»я»1 — 2г соя х+ г', то, предполагая (» ! я 1, видим, что подинтегральиая функция непрерывна, и интеграл сушсстаует. Разделив промежуток (О, л) на л равных частей, имеем л и 1»» г л-1 Г гл = х» 1п ~1 -2г соя Ь вЂ” ь г»~ — 1п ~(1+ г)» П ( 1 -2 г соя 1» — + г ) ~, Л»=1 л где П есть знак произведения.
С другой стороны, из алгебры известно разложеаие ** «-1 г 1»т г»п — 1 = (г*- 1) П (» 1 — 2г соя — + г») . 1=1 л 1 !' Ьл г'" - 1 = П (х- соз — — (жп — ~, л л Л -л где ! есть мнил»ая еди»шца. Если выделить множители г =- Ь 1 (отвечаюшне Ь =. — л я Л Которая получается из (1) заменой а на ап —. 2 *Я Учитывая значения корней степени 2л из единицы, имеем такое разложение а»«-1 на линейные множители: !21 3081 1 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДРЛЕННЪ|Х ИНТЕГРАЛОВ Используя это тождество прн к= г, представим о„в виде л гг+1 (г л !)1 л г — 1 Пусть теперь )г! 1, тогда г-"л-О н ! и 11 — 2г сок х т г') лх = 0|в и„=- О.
л е Бали же 1г! 1, то, переписав и„твж л ИЧ-1 г-'л — 11 ол — — -1п( — ~+2л 1л !г~, л г-1 ггл вавдем 1п (1 — 2г сов л+ г ) 4П = 2л !п ) г ~. е Читатель видит, что прямой способ вычисления определенного интеграла, как предела сумм, требует даже в простых случаях значительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным является прием, излагаемый в следующем и'. 308. Основная формула интегрального исчисления.
Мы видели в 305, что для непрерывной в промежутке [а, Ь) функции Лх) интеграл к Ф(х) = ()Яе) с|! л оказывается перв о о 6 разной функцией. Если Р(х) есть лю ба я первообразнан для Дх) функция (напрьпиер, найденная методами Я 1 — 4 предыдущей главы), то [203[ Ф(х) = г[х) Р С. Постоянную С лепсо определить, положив здесь х = а, ибо Ф(а) = О; будем иметь О=Ф(а)=Г(а)-",С, откуда С= — Р(а).
Окончательно Ф(х) = Р(х) — Г(а). и )|=о) и собрать вмеате сопряженные множители, то мы и получим, что к'" — ! равно )сл лл) ( )гл, lсл) (к"-1) П [к-соя — -! ып — ! !к-сок — +|ып — ! = 1 1 П л п л) л-1 Г : —. !к'-1) Д '[1 -21соч — ч 1'), 1-1 124 (зоа Гл. 3х. ОпРеделенный интеГРАл В частности, при х=Ь получим Ф(Ь) =- ~ Лх) дх = Г(Ь) — Р(а). а (А) Это — основния формула интегрального исчисления ". Итак, значение определенно го интеграла выражается разностью двух значений, нри х=Ь и нри х=-а, любой и ер в о о бра зи о й функции. Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9'1 и вспомнить, что 1'(х)=Р'(х), то получим Р( Ь) — Г(а) = Х(с) ° (Ь вЂ” а) = г'(с) ° (Ь вЂ” а) (а с ~ Ь); ) Ях) дх = Р(х) (",, о (А*) Так, например, сразу находим: хо+' И Ьи+з- ао41 1) ) ходя- ~ (ио — 1), л-~-1 а д+1 о гг)х 1ь 2) ) — = (пх ( (п Ь - 1и о (о О, Ь О), х о о Эту формулу называют закис Формулой Н ь и т о и а — Зуе й 6 и о В о.
Читатель видит, что рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми мы пользовались в 264 при вычислении вуекпин Р(х) н площади р. Сама формула (А) легко могла бы быть получена сопоставлением результатов пп' 2б4 и 294. читатель узнает в этом формулу Лагранжа (112) для функции Р(х). Таким образом, с помощью основной формулы (А) устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и интегральном исчислении. Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции у(х).
Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают символом Р(х) )', (чдвойная подстановка от а до Ьь) и формулу пишут в виде 125 1 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫК Г1НТЕ3 РЯЛОВ а 3) ~ з(п х г(х =- — соз х )а = соз а соз Ь, а а .! соз х Нх =з(п х ~ =зш Ь -зш а ~а ~а — результагы, не без труда полученные нами в предыдушелг о* (ср. примеры 1,) 2), 3)) '. 3О9.
Примеры. Приведем дальнейшие примеры использования формулы (А): 1 Гз!и (т л)х зГЛ(т ьл)х1 ~ 4) (а) ~ з(п лгхз!и лхг(х= — ~ О (лаат), 2~ га — л т+л 1 Г яп2тх1 Еа (б) ~, з(патхг(х= — ~х- ~ л ( . 2б7, 17), 18)) 2г Аналогично (в) ~ з)п глх соя их а(Х=О, (г) ~созтх созлхЛХ=О нли л, смотря по тому будет яи кит или л-т. 5) Найти значения интегралов (т, л — натуральные числа): ып (2т — 1) х (а) 0Х, з)п х о з (б) ) ~ — „) г(х.
о У к а завис. (а) Из формулы(2)„полагая в иейа О, Ь 2хил=т-1,можно вывести, что 1 ~ ып(2т- 1)х -+ х, соз 2(х 2 2япх * Пример 4) предыдушего п' уже не может быть исчерпан так просто, ибо соотвезствуГоший неопределенный интеграл в конечном виде не выражается. 12б [309 гл. зх. опннднлннный ннтнп ял Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются ло формуле (А), сразу получается яп (2ги-1)х л Ых —. =яп 2 о (б) Из формулы (1), полагая а= — х, Ь=2х, найдем 1 — соз 2их з]пз их ,х, яп(2зи.-!)х— «1 2 з!п х яп .т Отсюда, если использовать предыдущий результат, о 3 о б) Вычислить интеграл ! Ых )Г! - 2«ха-и' ]/! — 2])х+б" гней «,Р 1. Если в формуле [283 (б')] Их 1 1 Ь = — 1п ( ах+ — +)га ](ахх' ьЬх+с (-ьС )(ах'+Ьх+с )1а отождестви гь ах'+ Ьх+ с = (1 — 2«х+ из) (! - 2])х+])'), то, диФференцируя, найдем Ь ах+ — = — «(1-2рх+Я-р(1-2«х+«2).
2 Отсюда легко вывести„что при х-1 выражение, стоящее под знаком логарифма, получит значение — и(1-д)з-й(! — и)о+2)г«р(1-и) (1-1)=- = -П~ -и -](я — )1'= -М«-]([))'( я) а при х= — 1 значение -(Г-Р)'( -Я)'. Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выра- жение 1 1+ )ги]) — !и —, )у -ЬТ зависящее только от произведеаия ир"*. ч Наши выкладки безупречны лишь при и яр", но легко видеть, что результат верен н при и=[). 127 2091 1 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Заметим, что прн выводе основной формулы нам на деле не было надобности требовать„чтобы функция Р(х) была для у"(х) первосбразной в з а м к н у т о м промежутке [а, б). Опираясь на следствие л' 131, достаточно было бы предположить это для открытого промежутка (а, Ц, лыаь бы только ы на концах его луункцыл Р(х) сохраняла непрерывность. Поэтому, вапрнмер, мы имеем право писать [268) Г1 а', хз ~и ла' 7) ~ )гаи — хиАх ~-х~/а' — хзч- — агсз!п — ~ [ 12 2 а ~ — и 2 -и хотя при х= Ла вопрос о производной найденной первообразной еиде требовал бы исследования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
