Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Конечный предел 1 суммы о при 2»0 называется определенным инт~егралом рэункиии е(х) в пролтежутке от а до Ь и обозначается символом а л = ) т(х)дх; а в случае существования такого предела функция т(х) называется и нт егр ируе мой в промежутке (а, Ь). Числа а иЬ носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла.
При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Р и м а н у (В. К!ешапп), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. И самую сумму о иногда назьвают р и м а н о в о й суммой*;мыжебудемпредпочтительноназыватьее инте градьн ой суммой„чтобы подчеркнуть ее связь с интегралом. Поставим теперь себе задачей — выяснить условия, при которых интегральная сумма о имеет конечный предел, т.
е. существует определенный интеграл (4). Прежде всего заметим, что высказанное определение в действительности может быть приложено лишь к ограниченной функции. В самом деле, если бы функция Лх) была в промежутке (а, Ь) неограннчена, то — при любом разбиении промежутка на части — она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки с можно было бы сделать у(Ц, а с ней и сумму о, — сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для о, очевидно, существовать не могло бы. Итак, интегрируемая функиип необходимо ограничена. Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед предполагать рассматриваемую функцию Лх) о г р а и и ч е н и о й т у(х) .М (если а~х-Ь). 296.
Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства исследования, наряду с интегральными суммами, введем в рассмотрение, по примеру Д а р б у, еще другие, сходные с ними, но более простые суммы. Обозначим через т; н М„соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции Лх) в !-м промежутке (хы х,,!) и составим суммы я — ! а — ! л=-~тп;Лх!, О= г, М!Вх!. ! =.в !=а е На деле сщс К о ш и отчетливо пользовался пределами подобных сумм, по лишь для случая испрсрывиой фуикпии. Г. М. Фихтев!алея, т. Н ГЛ.
ЕХ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1зэь Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верхнейй интегральных сумм, или сумм Д арбу. В частном случае, когда З(х) непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция Дх) в кезкцом промежутке достигает своих точных границ, и точки Ц, можно выбрать так, чтобы — по желанию — было Лй~) =т~ или Я4~) =Ми Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней грашщ имеем т;~у(с,) — М;.
Умножив члены обоих этих неравенств на г)х, (г)х~ положительно) и просуммировав по 1, получим При фиксированном разбиении суммы з и Б будут постоянными числами, в то время как сумма и еще остается переменной ввиду произвольности чисел бн Но легко видеть, что за счет выбора $, можно значения У($~) сделать сколь угодно близкими как к т;, так н к М„а значит — сумму и сделать сколь угодно близкой к з или к Б. А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже общему замечанию: при данном разбиении промежутка суммы Дарбу з и Я служат точными, соответственно, нижней и верхней гртпщами для интегральных сумм.
Суммы Д а р б у обладают следующими простыми свойствами: 1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться. Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления еще о д н о й точки деления х'. Пусть эта точка попадет между точками х» и х»» ы так что х» х . х»ь,.
Если через Я' обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней Я она будет отличаться только тем, что в сумме Я промежутку 1х», х»+») отвечало слагаемое М»(х» м — х»), а в новой сумме Ю' этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых М»(х' — х„) + М»(х»»Г — х'), 296) ъ Опкеделенив и услОВия сущестВОВ»ния где М» и Мк суть точные верхние границы функции у'(х) в промежутках [хк, х'] и [х', хккД. Так как эти промежутки являются частями промежутка [хк, хк+г], то Мк™к Мк так что и к(х хк»™к(х хк) М»(хк+, — х') ~ Мк(хк+, — х').
Складывая эти неравенства почленно, получим Мк(х М + Мк(хк+к — х )-Мк(хк+з хк). Отсюда и следует, что О'~О'. Для нижней суммы доказательство аналогично этому. Замечание. Так как разности Мк-Мк и М»-М», очевидно, не превосходят колебания 1;) функции у'(х) во всем промежутке [а, Ъ], то разность б — К' не может превзойти произведения Йгзхк. Это остается справедливым и в том случае„если в 1с-ом промежутке взято несколько новых точек деления.
2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дар бу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка. Доказательство. Разобьем промежуток [а,Ъ] произвольным образом на части н составим для этого разбиения суммы Д а р б у В И О,. Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение промежутка [а, Ъ].
Ему также будут отвечать его суммы Дарбу Вк И Ок. (11) Требуется доказать, что в»~о». С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы вк и бк. (П1) Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании доказанного 1-го свойства сумм Д арбу, имеем к,емк.
Сопоставив теперь Второе ц третье разбиения, сочно гак же В- ключаем, что Я, =.5, |'л. |х. ОПРеделенныи интегРАл Но в2~52, так что из только что полученных неравенств вытекает в1~~2« 1, —.Епр (в) 1 =|Ь; и, кроме того, какова бы ни была верхняя сумма Я. Так как множество Я верхних сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу числом 1„ то оно имеет конечную точную нижнюю границу 1*=|пГЯ, 12 -1*. причем, очевидно, Сопоставляя все сказанное, имеем в-«1 . ~1« = Б (5) д||я любых нижней и верхней сумм Д а р б у. Числа 1« и 1" называют, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу (ср.
ниже 301). 297. Условие существования интеграла. С помощью сумм Д а р б у теперь легко сформулировать это условие. Тес)зелен. Для еуи«еетвования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было 1|ш (Я вЂ” в) =-О. (б) Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого предела.
Например, «на языке е-д«, условие (6) означает, что для любого г О найдется такое д .О, что лишь только 1 д (т. е. промежуток разбит иа части с длинами бх; д), тотчас выполняется неравенство Доказательство. Необходимость. Предположим, что существует интеграл (4). Тогда по любому заданному е О найдется такое д -О, что лишь только все Лх|«д, тотчас |о -1~ в или 1-г о=1|в, как бы мы ни выбирали "; в пределах соответствующих промежутков. Но суммы в и Ь; при заданном разбиении промежутка, являются, что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что все множество (в) нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой б.
В таком случае (11) это множество имеет конечную точную верхнюю границу 29В1 1 1. опггдвлвние и 1словия си1цесгвовоиия как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, т о чн ы м и нижней и верхней границами; поэтому для них будем иметь 1-е-в~Я 1 ~ е, так что !пп Ь' =1, 1 О 1пп г =1, 1-О (7) откуда и следует (6). Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что условие (6) выполнено; тогда из (5) сразу ясно, что 1л — -1о и, если обозначить их общее значение через 1, Если под а разуметь одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы г, Я, то, как мь1 знаем, в-а.ч Ь'.
Согласно условию (б), если предположить все Лх1 достаточно малыми, суммы г и Б разнятся меньше, чем на произвольно взятое е»О. Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел а и 1: 1а -11сг, так что 1 является пределом для а, т. е. определениьгм интегралом. Если обозначить колебание М1 — то функции в 1том частичном промежутке через ео1, то будем иметь л — 1 л — 1 Я вЂ” г=~(М;-т1)Лх1»~; а11Лхо 1=О 1О н условие существования определенного интеграла может быть переписано так: л — 1 1пп л, а11Лх, » О. 1-О1=О В втой форме оно обычно и применяется.
(8) л-1 л-1 ~а11Лх1- е~ Лх;»г(б-а). ,.-л 298. Классы интегрируемых функций. Применим найденный нами признаккустановлениюнекоторых классов интегрируемых функций. 1. Если функции 1'(х) непрерывна в пра,иегкутке [а, Ь), та ана иптегрируема. Доказательство.
Раз функция Дх) непрерывна, то на основании следствия из теоремы Кантора [87) по заданному г 0 всегда найдется такое д О, что лишь только промежуток [а, а1 разбит на части с длинами Лх, .д, то все а11 г. Отсюда 1298 Гл. !а опесдвлвнный ингьтеь/! Так как Ь вЂ” а есть постоянное число, а е произвольно мало, то условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование интеграла. Можно несколько обобщить доказанное утверждение. П.
Если ограниченная функция з'(х) в (а, Ь) имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точки разрыва будут х', х", ..., хсв>. Возьмем произвольное в О. Окружим точки разрыва окрестностями (х'-е', х'ое'), (х"-е", х" ье"),..., (хС"! — е!">, хил о оба) таким образом, чтобы длина каждой была меньше е. В оставшихся (заквкнутых) промежутках функция у'(х) будет непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие из теоремы К а н т о р а.
Из полученных по е чисел Ь выберем наименьшее (его мы также будем обозначать буквой 6). Тогда оно будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам не мешает взять при этом Ь е. Разобьем теперь наш промежуток (а, Ь] на части так, чтобы их длины Лх! все были меньше Ь. Полученные частичные промежутки будут двух родов: 1) Промежутки, лежащие целиком вне вьшеленных окрестностей около точек разрыва. В них колебание функции со! а 2) Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенных окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие. Так как функция у'(х) предположена ограниченной, то колебание ее 0 во всем промежутке (а, Ь) будет конечно; колебание же в любом частичном промежутке не превосходит П.
Су у ~оЬЛх, разобьем на две: ~со!Лх, и ~со; Лх,, распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго рода. Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь л, соеЛх! е~Лх; в(Ь вЂ” а). Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестностей, в сумме кв; промежутков же, лишь частично налетающих на них„ может быть не больше 21с, и сумма их длин 2кЬ, а значит и подавно 2!се.
Следовательно, ~сов Лх! П~Лхе 0 ° Зссе. 299) юз З !. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ Таким образом, окончательно, при г)х(«Ь имеем ~ н(()х(. Е[(Ь вЂ” а)+Зйй). ( Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скобка.-х содержится постоянное число, а г произвольно мало. Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функций, не покрывающийся предыдущим. П1. Монотонная ограниченная функция ([х) всегда интегрируема. Доказательство. Пусть лх) — монотонно в озр астающ а я функция. Тогда ее колебание в промежутке [х;, х(+д[ будет и(= Лхьм) -Лх;).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
