Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Здесь пригодна та же подстановка, но проще пользоваться формулами удвоения угла 1 1 1 вш' х сов' х = — яп' 2х(соз 2хн-1)- — зпр 2х сов 2х+ — (1 — сов 4х) 8 8 16 и 1 1 1 ял'ясов'х с)х= — в!лв 2хь — х- — ял4Х-)-С. 48 16 64 ссх 1 г гсх 5) ! —. Пригодна подстановка с=ил х, но проще з вшхяп 2Х 2 " в!л'хвоях прибегнуть к П бюрмуле приведения: 1 ссх 1 ~ 4(х 1 1 ~ 1Х Л1 — — + 1п 18 -+- +С.
2 )в!Ввхсовх 2ялх 2 с совх 2япх 2 ) 12 4) г сх 6) ~ —. Пригодна подстановка с=в!их, но проще дважды прибегнуть " совз х к ! формуле приведения: с(х вш х 3 4(х совв х 4 сов'х 4 ! сов' х в свою очередь, так что гл. ч!и. пш вооы явили пункция ГСО5'Х 7) ~ — Ах. Пригодна подсшновка г-соз Х, нО пРоще воспользоватьсЯ пп' х П и П1 Формулами приведения: СО51 Х соззх 3 Гсо51х — И~= —, -- ~ — Ах, з!Оз х 25нй х 2 пп х СО5" Х 1 ГСО51 Х 1 х — Их= — созгх+)! — 5(х=- — созе х,-соя х+1и !й-~ ФС, 5!их 3 5!пх 3 2 так что (после упрощаюп1ик преобразований) СОЗ' х СО5 Х 3 ~ х! — Их= —, -соз х--1п ~гй-~+С.
зшзх 25шгх 2 ~ 2~ Ых г Ых з) ! — — — =з! . Подстановка г= соя х: Э зш х соз 2х пп х(2 соз' х -1) Их Шг 1 1+1 У2 1 1-5 .= — 1п + — 1п — +С=. 5ШХ(2СО51Х вЂ” !) ) (! — Г'-)(1 — 21') )/2 ! Г !/2 2 1+Г 1 1+ )(2 соз х! х = — 1п +1и гй- +Г. У2 — У2 ~ 2 Г 51П1 Х С05 Х 9) ~ Ых. Так как при изменении знаков у пих и соз х подинзщ Х+ Соя Х тегральиое выршкение не терпит изменения, то пригодна подстановка г-!йх: зш хсозх Г 11АГ ГГ1 1 1 5-1 1 5-1 А-! х= ! ! 41- 51пх.~"сО5х 3 (1+г)(1+г")* .) 14 г+1 4 г'1-1 2 (11+!)51 1 1+г 1 1+г -1и — — — — +С= 4 ~/!+15 4 !+Г' 1 1 - — 1и ! зш х+ соя х ( — соз х(вп х 4 соя х)+ С. 4 4 Ых л х !б) ! при АС вЂ” Вг.
О. Предполагая — — х« —, .1 А СО51 Х+ 2В 51П Х СО5 Х.!" С 51П1 Х 2 2 с помощью подстановки С !и х приведем интеграл к виду Аг А+ 2Вг+ Сг 1 С 1й х.1- В Отвепс агсгй +С'. ")ЯС- В' !/А С В1 288] 1 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 81 11) А ~ Аг а+Ь гнх з (а+ЬсК!+гт) прн 1=18х~- — х -3]. г г]' Разлагая на простые дроби 1 А Вг+С (а4-ьгк1+гв) аььс 1+1' ' для определения коэффвпиентов А, В, С получим уравнения А+ЬВ=О, аВ(ЬС О, А+аС 1, Ь' Ь а откуда А = —, В= — —, С=— атч Ьт* ат+Ьв' а +Ь» а Ь а+Ьг Олтве~тс — агс 18 Г+ — 1п — +С'= атЧ-Ьт ат+Ьт ]г(+ге 1 = — [ах+ Ып ] а сов х+ Ь ип х ]]+ С'.
а'+Ьт 12) К этому же интегралу приводятся следующие два: Т,= зшх Й СОВ Х 4(Х Т,= [ асозх+Ьвшх э асовх-1-Ьвшх Впрочем, проще вычислить их, исходя нз связывающих их соотношений ЬТт-РаТв= ~ т(х=х+Ст. е -азшх+Ьсозх -аТ,+ЬТ,= ], т(х= а сов х+Ь в]п х г44(а сов х+Ь вш х) — — =)и [асовхФЬзшх]+Св, а сов х+ Ь в(п х откуда н получаем 1 Т, = — [Ьх — а 1п [а сов х+ Ь вш х]]+ С, а'+ Ьв 1 Т,- — [ах+Ып [асовх+Ьзшх~]4-С'. ат.( ЬЗ 1е 1 — г' 13) — ~ й (О г 1, — л «х л). Примеишн здесь унввер- 2 1-2г оси х+г' сальную подстановку 1 18-. Имеем 2 1[ 1 — г' А1 А-(1- )[ ~ ( - ~)'Ч-( + г)'1' (1 + г ) ( 1 + г х ) -шс48~ — 11+С=атаги ~ — 18-1+С.
г) З Г. М. Фитттвтавьц, т. Н 82 ГЛ. УПК НВРВООБРАЗН*Я ФУНКЦИЯ К атому интегралу приводится и такой: 1 — гсозх гг1 1 1 — г' 1 1 П+г х) г(х= ~ ~ — +— 1 г(х = — т+ агс18 ~ — Гн — ) Ч С. 1 — 2гсозх+г' " "2 2 1 — 2гсозх+гь" 2 2) ~(Х 14) ) —, в предположении, что !а! ~ (Ы ( — л«х л). Э л+Ьс05х Пусть сперва (а)» )Ь| и (что не умаляет общности) а О.
Подстановка с-. гк —, 2 как и в только что рассмотренном частном случае, дает 11Г бх 2 1'1/(а — Ь х 1 — агс18 — -Гй- -)-С. аьЬсозх ~(ль Ьь Ц а-1-Ь 2/ Можно преобразовать зто выражение к виду 1, лсо5х-~-Ь агсюп ч с', ~/аь — Ьь а+Ьсоьх причем нерьний знак берется, если О=ах и, а нижний — если — л хзиО, и значение постоянной С' возрастает на — при проходе х через О.
'Г'ль — Ь' Пусть теперь (а( = ~Ь( и Ь О. Та же подстановка: Их ~ Ь(г 1 )(Ь+а+ згЬ вЂ” аг = — 1и ФС= и+ь соя х 1 (ь+а) — (Ь вЂ” а)г ")Iьь — аь ~ь+ и- ~(ь — аг Х ~(Ь+ат )гЬ-л 18— 2 1 1л )ГЬь: аь х УЬЧ-л- )гб — а18— 2 Это выражение легко преобразуется к визу 1 ~ Ь+ а соз х+ )(Ь' — а' яп х1 +С. ~/Ь -„ь ~ а+Ьсозх Ых л Интеграл 1 приводится к предыдущему подстановкой х=-нг. 1 а+Ьилх 2 г(х 15) Наконец, к интегралу 14) приводится и интеграл 1 Если Г л+Ьсоьх+сяпх ввести угол и под условием, что Ь с СОЗ И 5)П И )гР+ с' ~Ьь+ с' «ар) «4.
иптнгнизоихнин тяигономнтии«>исках вь>зяжи>«ий вз то интеграл перепишется в виде >зх а+ )1Ь'+ с' соз (х — а) подстаноика г =-х-а. И здесь, конечно, ннтересен случай (д! ~ ~ГЬ«ч л«. 289. Обзор других случаев. В 271, 4) мы уже видели, как интегрируются выражения вида Р(х)ьд" «1х, Р(х)в>п Ьх Ых, Р1х) сов Ьх «1х, где Р(х) — целый многочлен. Любопытно отметить, что дробные выражения уже н е и н т е г р и р у ю т с я в к о н е ч н о м в и д е.
С помощью интегрирования по частям легко установить для интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их, соопзе>отвеяно, к трем основным: 1. ~" — «1х = ~ — = й у ь («интегральный логарифме); т ~)пу гяп х 11. ~" — «ух =я х («интегральный синуса); х 111. > — Ых с) х («интегральный косинус«) ь*. х Мы знаем уже 1271, б)) интегралы а яп Ьх — Ь соз Ьх е вш Ьх «1х= д«.~. Ь« Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы хле'"вш!>хгух, ~х е совЬхь>х, где в=1, 2, 3, ...
Именно, интегрируя по частям, получим .л . лазшЬх-ЬсозЬх хле'*вш Ьх ах=х" ла г лЬ г — ~х' 'е в>пЬхгухч — „~х" 'е сов Ьх Ых„ дз+Ь« ~ а' ЬЬ«) л Ь яп Ьхе а соз Ьх хлелз сов Ьх «1х = хл д'+ Ьл лЬ г ла г тл — > лх з)п Ьх «1х тл — >ел« с >в а'+Ь'1 " а+Ь). л Подстановка х — - )п у. «* Впрочем, зо всех трех случаях надлежит еше фиксирояазь произзольну>о постоянную; зто будет сделано впоследствии.
Ф Ф ° 84 12ве ГЛ. УП1. ПВРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Р(х, е"", е"""',, яп Ь'х, з1п Ь"х, ..., соз Ь'х, соз Ь"х,...) Ых, где а', а", Ь', Ь", ... — постоянные. Дело сводится, очевидно, к интегрированию выражения х"е яп" Ь'хаш" Ь"х... соз'"'Ь'х... Если использовагь элементарные тригонометрические формулы 1- оэз 2ьх З1П' ОХ= 2 В!и Ь х В1п Ь"х= — (сок (Ь' — Ь")х — сок(Ь' Ф Ь )х1 1 2 н им подобные, то легко разбить рассматриваемое выражение на сла- гаемые типа Ах"е'* зш Ьх и вх"е'" соз Ьх, с которьгми мы уже умеем справляться.
в 5. Эллиитические интегралы 290. Общие замечания и определения. Рассмотрим интеграл вида ) й(х, у) Ых, где у есть алгебраическая функция от х, т. е. (205) удовлетворяет алгебраическому уравнению Р(,х, у) = О (2) (здесь Р— целый относительно х и у многочлен). Подобного рода интегралы получили название абелевых иатегралов. К ик числу от- носятся интегралы, изученные в й 3, ) Я (х, ~ — ) а1х, ~ Я(х, ~Ы-РЬхФс) Ых.
Действительно, функции пг удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям (ухе Ь)у"-(ах+19) =О, уз-(ахз РЬх+ с) =О. Эти ре кур рентные формулы позволяют свести интересующие нас интегралы к случаю Я=О. Если под Р(...) по-прежнему разуметь целый многочлен, то, как окончательный результат, можно утверждать, что в конечном виде берутся интегралы 290! 1 з. эллиптичвскив интегвьлье ~ Я(х, )еахв -ь Ьхй ч сх ч- д) еех, ~ е! (х, )гихл 9 Ьхв 4 сх' ь дх ь е) еех, (4) содержащих квадратный корень из многочленов 3-й нли 4-й степени и естественно примыкающих к интегралам (3). Интегралы вида (4)— как правило — уже не выражаются в конечном виде через элементарные функции даже при расширенном понимании этого термина.
Поэтому знакомство с ними мы отнесли к заключительному параграфу, чтобы не прерывать основной линии изложения настоящей * Можно дать в чисто геометрическую харвнтернстнву уввкурсввьной кривой, но мы на этом оствнввввввтьсв не буяем. Становясь на геометрическую точку зрения, абелев интеграл (1) считают связанным стой алгебраической кривой, которая определяется уравнением (2). Например, интеграл ! вЕ, ~Ж,'ь, Эг* (3) связан с кривой второго порядка уз=ахал Ьхч с. Если кривая (2) может быть представлена параметрически х=ге(Е).
У=ге(Е) епак, что фУнкции г,(е) и гв(е) оказываютсл Рациональными (в этом случае кривая называется у и и к у р с а л ь и о й *), то в июпеграле (1) становится возможной рационализация подинтегрального выражения; подстановкой х= где) оно приводится к виду А(г,(е), гв(е)) г,'(е) еее. К этому классу и относятся оба упомянутые выше случая.
В частности, возможность рационализации подинтегрального выражения в интеграле типа(3) связана именно стем фактом, что кривая второго порядка уникурсальна (281,282]. Очевидно, что переменные х и Е связаны алгебраическим уравнением, так что Е является алгебраической функцией от х. Если расширить класс элементарных функций, включив в него и все алгебраические функции, то можно сказать, что в случае уникурсальности кривой (2), интеграл (!) всегда выражается через элементарные функции в конечном виде. Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле исключением. В общем случае кривая (2) не уникурсальна, а тогда, как можно доказать, интеграл (1) заведомо не всегда, т. е.
не при всякой функции А, может бветь выражен в конечном виде (хотя не исключена возможность этого при отдельных конкретных е1). С этим мье сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса интеграчов вб ГЛ. УШ. ПВРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ главы, посвященной, главным образом, изучению классов интегралов, берущихся в конечном виде.
Многочлены под корнем в (4) предполагаются имеющими вещественные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать, что у них нет кратвъ[х корней, ибо иначе можно было бы вынести линейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к интегрированию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл выразился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может иметь место иной раз н при отсутствии кратных корней; например, легко проверить, что 1+х4 ах х — - С, 1 х [~[-ха )1 Х4 а[х=хУ2х'Ф [+С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
