Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Имеем С-1 24С 4СЬ2 Се+3 х= —, ~(х= —, х+3= — —, х — хв1= с+1 (с+1)* с+1 (ст1)' [СЗС з+1 [С.тз+~~-1 =— с+1 если — для определенности — счвтать с+1 О (т. е. х 1). Таким образом, (х+3) 4х (' (8с+4) 4с (х'-х+1))схз+х+1 [ (с'-ьз)[сзс'+1 Полученный интеграл разбввается ва два: 8 с с(с 4с +4 (с -ьз) зс +1 .1 (с +з)~Гзс +1 Первьсй легко вычисляется подстановкой л- 'узс*+1 и оказывается равным )0~*+1 '18 асссн ~ +С'. Ко второму првмевим подстановку Абеля 8 Зс и= —, УЗс в+1' 1286 74 ГЛ.
ЧШ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ которая приведет его к виду Остается лишь вернуться к переменном х. (х'+1) )ехе4х+14«'-1 5) е(х. Ухе+«+1-х У к а з а н и е. Представить подюпегральную функцию в вИце 2х'+х-+ 2хе+1 2х'+2х'+ Зхе - 1 («+1) 1(хе+ х+ 1 х -!- 1 2 '+Зх' — З ФЗ 4 =(2хе — х'+ Зх-3) .!.— «+1 "Геле-~«+1 (х+1) 1«е+«41 к третьему слагаемому применить метод л' 284, 1, а к последнему — подстановку 1 х+1= —. ! б 4.
Интегрирование выраженим, содержащих трмгонометрвчеснме н показательную фуикцми 28б. Интегрирование дифференциалов Я(81п х, еоа х) г(х. Дифференциалы этого вида всегда могут быть рационалнзированы подстановкой г=(я- ( — и. х. Я). Действительно, 2 2 е(г е(х = —, 1+!' ' х= 2 агс(я Г, так что 1 !П 2е(г гт(а!и х, сок х) е(х=-гт —, (1+! ' 1+г ~ 14ге ' Таким образом, интегралы типа г((згп х, соз х) с(х всегда берутся в конечном виде; для их выражения, кроме функций, встречающихся лри интегрировании рациональных дифференциалов, нужны лишь еще тригонометрические функции. Упомянутая подстановка, являющаяся у н и в е р с а л ь н о й для интеграла типа (1), приводит иной раз к сложным выкладкам.
Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более х 2 гав 2 21 Б!и «= — — -' х 1-~-ге ' 1-Ь !8!в 2 х гке 2 1 — г' сов х=- — — -= х 1(ет ! +!8'— 2 28б1 ~ 4. ннтвгвнвованнв твигономвггичвских вывАжвнии 75 простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементарные замечания из области алгебры. Если целая или дробная рациональная функция Я(и, е) не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например, и, т. е. если Я( — и, е) =Я(и, е), то она может быть приведена к виду Я(и е) = Я (и' е) содержащему лишь четные степени и. Бслн же, наоборот, прн изменении знака и функция Я(и, е) также меняет знак, т. е. если Я(- и, е) = — Я(и, е), то она приводится к виду Я(и, е) =Як(иа, е)и; это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить л(и, е) к функции 1.
Пусть теперь Я(и, е) меняет знак при изменении знака и; тогда Я(з1п х, сов х) с(х Яе(зпР х, сов х) 51п х Ых= — Яе(1-созз х, сов х) Исоа х, н рационализация достигается подстановкой 1=соз х. П. Аналогично, если Я(и, е) меняет знак прн изменении знака е, то Я(пп х, соз х) йх = Я~в(гйп х, созе х) соз х йх =- Яае(з)п х, 1 — яп' х) й яп х, так что здесь целесообразна подстановка т=в)п х. Ш. Предположим, наконец, что функция Я(и, е) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и и е Я( — и, — е)=Я(и, ). В этом случае, заменяя и на -" е, будем иметь Я(и, е)=Я ~-е,е) =Я*~-, е), По свойству функции Я, если изменить знаки и и е (отношение — при этом не изменится), Я ~-," — )=Я (-, е), а тогда, как мы знаем, Я*(-", е) =Я,*(-",.
). 1287 76 ГЛ. УЦ!. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Поэтому 1 11(яп х, соз х) = Я!и(1й х, созе х) = )1зи (1й х, —,,— ), т. е. попросту Й(з(ах, соз х) =Я(1й х). Здесь достигает цели подстановка (=1ях ~-"- х -1 ибо г й )1(зшх, созх)<(х=Й(!) —, и т. д. Замечание. Нужно сказать, что каково бы нн было рациональное выражение )1(и, е), его всегда можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных выше частнык типов.
Например, можно положить Я(и, и)-Л(-и, и) И(-и. Ф)-й( — и, — и) и(-и. -и)ФД(и, и) Я(и, о) = — ' 2 + 2 + 2 Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака и, второе меняет знак при изменении знака с, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака и и е. Разбив выражение 11(яп х, созх) на соответствующие слагаемые, можно к первому из них црнмеиить подстановку (=сок х, ко второму — подстановку (=яп х, и, наконец, к третьему — подстановку (=!я х. Таким образом, для вычисления интегралов типа (1) достаточно этик трех подставовок. 237. Интегрирование выражений зш" х сових. Будем считать Р и (! рациональными числами, а переменную х — изменяющейся в промежутке ~0, -1 ).
Тогда подстановка я=з!них, А(э=2 зш хссах а!х дает «-! 1 яп'хсоз" х йх=-з)п зх(1-япз х) з 2япхсоз хйх= 2 и-! †! я) з г ,у 2 такчтодело сводитсякинтегрированию 6 ином и аль н ог о диф- ференциала [2791 и — ! «-!1 ап'хсози х !(х=- (1-з) з г з !гя=- )и-!,— ! ° (2) 2) 2" 2 ' 3 Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциалов, мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется в конеч- Н-1/ в-11 ном виде 1) если — ~или — ! есть целое число, т е.
если д Ф и+ю (или т) есть нечетное целое число, либо же 2) если — есть 2 целое число, т. е. если д+т есть чети о е целое число. Сюда же, в частности„относится случай, когда о б а показателя д и т — целые; впрочем, тогда выражение яп" х сов'х рационально относительно яп х и сов х, т. е. принадлежит классу выражений, уже рассмотренному в предыдущем и'.
В этом случае, если показатель з (илий) будет нечетным, то рационализация сразу достигается подстановкой 1= сов х (нли 1= вш х). Если же оба показателя т и и ч е т и ы е (а также если они оба н еч е т н ы е), то можно для той же цели применить подстановку 1=1я х или Г=с1ях. Заметим, что еслипоказателит и7вобасуть положительные ч е т н ы е числа, то предпочтительнее другой прием, основанный на применении формул 1+сов 2х сове х= — — —— 2 яп 2х вш х сов х = —, 2 1 — соз 2х япв х.=— 2 Именно, если «=2л, д=2т, то прн т~д пишут 1в1п 2х12 1 1-сов 2х М-а вшз" х сов х =(яп х сов х)в'" вша"-'"> х= ~ — ~ ='(г~ ~ г а приз .д (з1п 2х ИМ 1 1+ сов 2х 1'"-" япм х сова'" х-(вш х соз х)в" совл"-'> х- ~ — ~ 2 ~ ~ 2 В развернутом виде получится сумма членов вида С вш" 2х сов"' 2х, где т' ьд'~л~-лв= —. Те члены, у которых хоть один из показа3+и телей т', а' есть н е ч е т н о е число, легко интегрируются по указанному выше способу.
Остальные члены подвергаем подобному же разложению, переходя к яп 4х н сов 4х, и т. д. Так как при каждом разложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то процесс быстро завершается. Вернемся к установленной выше зависимости (2). Мы можем теперь воспользоваться формулами приведения биномиальнык интегралов л-1 з-1 1280), чтобы, полагая там а=1, Ь= — 1, р= —, д= —, установить формулы приведения для интегралов рассматриваемого типа. 2871 в ь интвгзнзовлнив ттигономвтзичзских выл зжвннн 77 [288 гл. еш. пьрвооыазняя екнкция Таким путем получатся следующие формулы (которые, конечно, могут быть выведены и самостоятельно): (1) ) з!и'хсовях Их= виг+'хсовя шх я+я+2 Г . „ + —.) в!и" х сова+в х вГх д+1 до1 ) (П) ) з!и" хсоз" х~Гх= (им — !) з!и'+' х сов~'~' х т+и+ 2 — + — р!п""в х сов" х тГх во1 я+1 (П1) ~ вш" х созе х Фх = (т и — !), 3!о +вхсовя ~х д — 1 à — ) вш" х созв-в х Их (е ! р - О), 3 -!-д ед.) (17) ~ в!и" х сова х й = ый вязовая+вх т — 1 Г -+- — -1в!и'-вхсозяхсГх (е 1-рмО).
т-;д т+д Эти формулы вообще позволяют увеличить нли уменьшить показатель в или Гз на 2 (за указанными исключениями). Если оба показателя е и Гз — целые числа, то последовательным применением формул приведения можно свести дело к одному из девяти элементарных интегралов (отвечающик различным комбинациям из значений т и р, равных — 1, О или 1) б) ~ — Ых= -!п (сов х(, Гвш х 3 совх 4) ~в)пхв(х= -сов х, воши х 5) ~япхсозхтГх= —, 288. Примеры.
1) ~вше х созе х Их. Подввтеграяьвое выражение меняет знак от вамекы сов х на — сов х. Подстановка т-зш х: вшв х Иоз х в)азхсозвхых= ) 1'(1-в*) 4в= — --ос= .—. — — --. +с. 3 5 3 5 1) ~ вГх=х, 2) ~ совхИх=з!ох, 3) 1 — х=1п 1я~-"+-')~, 7) ~ †. 1п ~18 г! ' 8) „" —.'"-Йс=1п ~з!ох(, а зшх 4х .1вшхсовх ~ е ! ' 288! ! 4. ИНТЕ!'РИРОВАНИЕ тРНГОНОМИТРИЧЕОКИХ ВМРАЖЕний 79 гасив х 2) ~ - -- с(х.
Подинтегральное выражеаие меняет знак от замены вш х сов!х на -япх. Подстановка с=совх: нбп'х гг'-2Св+1 2 1 2 1 1--~" — СС--С- — 4 — +С---сов — 4 +С. сов'х с' с Зс' ,совх Зсоз"х ссх 3) ! . Подннтегральное выражение нс изменяет своего значения 3 яп4 Х Ссвз х пря замене япх иа -япх и совх на — совх. Подсшновка с=!ах: г (!+с')' 1 4(С-С- — — — РС= СВХ-2 С!8 Х- — С!84 Х+С. вш' х сов' х Зсз 3 4) ~вш' х сов4 х Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
