Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (947424), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть остатками от деления Р и Д, на этот трехчлен будут, соответственно, их+(3 и ух+ б. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на хе+рх+д делилось выражение ссхл-ф-(Мх+Л)(ух+ Ь) = -уМхэ+(а- ЬМ-уЛь)х,'-(ф — ЙЧ). Выполнив здесь деление, на самом деле, в остатке будем иметь ((ру- Ь)М вЂ” у)ч + и)х-ь (дуМ вЂ” ЬЖ Я. Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким образом, для определения М'и Уч' получим систему из двух линейных 41 2 2. интегРиРОВАние РАциОнАльных ВыРАжений 2741 х — а В случае же, если показатель степени х-а есть 12 1, то, выделив, на основании 1', простую дробь А» (х-а)" мы к оставшейся дроби снова применим 1', выделим простую дробь А» (х-а)»- ' и т.
д., пока множитель х — а вовсе не исчезнет из разложения знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю (х — а)» ()2 -1) будет отвечать группа из 12 простых дробей А2 А2 А» — + — -~-... -~- х-а (х-а)' ' ' (х-а)» (5) Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчерпается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные множители. уравнений; ее определитель РУ-6 -У 22 ух ~ ~у2 )у отличен от нуля.
Действительно, прн у~О его можно написать в виде Я'"(-)"~ но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчлена 4 хач-рх~-д в точке х= — — и, следовательно, не может быть нулем Р \ ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При у=О определитель сведется к б», а в этом случае а заведомо не нуль, поскольку многочлен Д, на х»~-рх-ьд не делится.
Установив указанным путем значении М и 22', многочлен Р, и здесь также определим без труда как частное. Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоремы. Оно сведется к повторному применению предложений 1' и 2', которые обеспечивают возможность последовательного выделения и р ост ы х д р о б е й из данной правильной дроби, вплоть до ее исчерпания. Если множитель х-а входит в (А лишь в первой степени, то, в силу 1' (прн В=1), мы поставим ему в соответствие единственную п р осту ю дро бь вида А 42 ГЛ. УГП. ППРИООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ Аналогично этому, пользуясь 2; квадратичному множителю хе+ рх+ д мы поставим в соответствие одну лишь п р о с т у ю д р о б ь вида Мх-ьдг ь х'+рх+ ч если он входит в первой степени, и группу из гп простых дробей И, ФЛ', М, +ДГ, ьЬГ .
+ДГ,„ + +...+— хь-Ьрх+Ч (хь+рх+Ч)' ' ' ' (хь-~-рх+дуп ' (6) если этот множитель входит с показателем пг 1. То же можно сделать и с прочими квадратичными множителями, если они еще имеются; этим и завершается доказательство теоремы. 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей. Таким образом, зная разложение (3)„мы тем самым знаем з н аме н атели тех простых дробей, на которые разлагается данная дробь †. Остановимся на вопросе об определении ч и с л и т е л е й, т. е.
Коэффициентов А, М, Х Так как числители группы дробей (5) содержат 1с коэффициентов, а числнтели группы дробей (6) 2гп коэффициентов, то ввиду (4) всего их будет и. Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибегают к методу неопределенных коэффициентов, который Р состоит в следующем. Зная форму разложения дроби —, пишут его с буквенными коэффициентами в числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет Д; складывая нх, получим правильную дробь е. Если отбросить теперь слева и справа знаменатель Д, то придем к равенству двух многочленов (и-1)-й степени, тождественному относительно х.
Коэффициентами при различных степенях многочлена справа будут линейные однородные многочлены относительно и коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициентам многочлена Р, получим, наконец, систему и линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того„что возможность разложения на простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не может оказаться противореч и в о й. Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов много- члена Р), то ее определитель необходимо будет отличен от нуля. Иными словами, система всегда оказывается о и р е д е л е н н о й.
Это простое замечание попутно доказывает и единственность * Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой правильную ие дробь. 27б) $2. интнгРиРОВАИНВ РАциОнАльных ВыРАжений 43 разложения правильной дроби на простые дроби.
Поясним сказанное п р и м е р о м. 2х'+ 2х+ 13 Пусть дана дробь . Согласно общей теореме, для нее имеется (х-2)(х'-Ь1)' ожевие 2хг+2х+13 А Вх+С Рх+Е + (х - 2)(х'.ь 1)' х - 2 х'-ь 1 (х'+ 1)' Коэффициенты А, В, С, Р, Е определим, исходя иэ тождества 2х'+ 2х+ 13 А(х'-1-1)'+(Вх+ С)(х*-Ь 1)(х -2)-~-(Рх+ Е)(х — 2). Приравнивая коэффициенты нри одинаковых степенях х слева и справа, придем к системе иэ пти уравнений х' А+В=О, -2В+С-О, 2АРВ-2С,'-Р 2, — 2В-~-С-2Р-~-Е 2, А — 2С-2Е 13, х' хг откуда А 1,  — 1, С- — 2, Р= -3, Е= — 4.
Окончательно 2х'+2х+13 1 х-~2 Зхч-4 ( -2йх+ц -2 х-1-! (хЧ-!)*' Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспомвная формулы и' 273, имеем 2хе.ь 2х+ ! 3 Ах= (х — 2)(х' '- 1)' дх Гх+2 Г Зхь4 1 3-4х 1 (х-2)' ах= — — + — !и -4агс(ах+С. х-2 "х'.Ь1 3 (х'-Ь1)' 2 х'-Ь! 2 х'41 276. Выделение рациональной часта интеграла. Существует прием, принадлежащий М.
В. Остроградскому, с помощью которого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби значительно упрощается. Этот прием позволяет чисто а л г е б р а и ч ее к им путем выделить рациональную часть интеграла. Алгебраический факт, который мы только что установили, имеет непосредственное применение к интегрированию рацион а л ь н ых д р о б е й. Как мы видели в 273, простые дроби интегрируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через которые выражаются интегралы от целого многочлена и от правильных дробей, то можно сформулировать более точный результат: Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде — с помощью рациональной же функции, логарифма и арктангенса. 1276 ГЛ. ЧПБ ПНРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Мы видели (273), что рациональные члены в составе интеграла получаются при интегрировании простых дробей вида П и 1У.
В первом случае интеграл сразу можно написать А А 1 — — с(х = — — -у С. (х-а)к )с — 1 (х-д)" ' ' (7) Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла Прибегнув к знакомой уже нам подстановке х+ — =б используем р 2 равенства (1), (2) и формулу приведения (б) и' 271 при л =т — 1. Если вернуться к переменной х„то получим Мх+)Ч М'х+)Ч' ( ах (хв+рх+Ч)м (х*+рх+д)м ' ) (х'+рх+Ч)м нх = +а~) а Фх М"хФЖ" Г ох (х*+рх+с)т-1=(х*+рхч-ч)~-к 8 ) (х~+рх+ч)м — ~ и т.
д., пока не сведем показатель трехчлена х'+рх+д в интеграле справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные члены суть правильные дроби. Объединяя нх вместе, получим резуль- тат вида Мх -~-)Ч ( )((х) А ( ах (х'-~-рх+С)м (х'+рх+д)м с ) хкчрх-~-д ' (8) где )1(х) — целый многочлен, степени низшей, чем знаменатель Ф, а А — постоянная.
Р Пусть имеем правильную дробь †, которую будем предполагать несократнмой, и пусть знаменатель ее Д разложен иа простые множители (см. (3)). Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида (5) или (б). Если к (или и) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (5) [или (6)], кроме первой, преобразуются по формуле (7) (или (8)). Объединяя все эти результаты, окончательно придем к формуле вида (9) * См.
сноску на стр. 42. где М', )ч' и а означают некоторые постоянные коэффициенты. По этой же формуле, заменяя и на т — 1, для последнего интеграла най- дем (если ул=2) а761 4 а интвГРиРОЕАние РАционАльных ВыРАжений 45 рациональная часть интеграла — получена от сложения вьщеленных Р, 02 вьппе рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель Д2 имеет разложение 1г,(х) =-(х — а)" '...
(х2 Ррх-Рд) -'... Что же касается дроби —, оставшейся под знаком интеграла, то она Р, получилась от сложения дробей вида 1 и П1, так что она также и р авнльная и 02(х) = (х — а)... (ха -Р рх и о) ., Очевидно 1см. (3)), Д=Д,Д,. Формула (9) и называется формулой О с петроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме (10) Мы видели, что многочлены Д2 и Да легко находятся, если известно разложение (3) многочлена Д.
Но они могут быть определены и без этого разложения. Действительно, так как производная Д' содержит все простые множители, на которые разлагается Д, именно с показателями на единицу меньшими, то Д2 является наибольшим общим делителем Д и Д', так что может быть определено по этим многочленам, например, по способу последовательного деления.
Если Д2 известно, то К определится простым делением Д на Д2. Обратимся к определению числителей Р, и Р, в формуле (10). Для этого также пользуемся методом не о пр еде ленных к о зффнциентов. Обозначим через и, п„ п„ соответственно, степенимногочленов Д, Д2, Д,, так что из-Риз=и; тогда степени многочленов Р, Р, Р, будут не выше и-1, и — 1, и, — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
